7.7 Sätze über Dreiecke 7.160 Für alle Dreiecke ABC gilt, dass der Schnittpunkt zweier Seitensymmetralen von A, B und C gleich weit entfernt ist. Begründe diese Tatsache allgemein! Lösung: Jeder Punkt der Seitensymmetrale mAB ist von A gleich weit entfernt wie von B. Jeder Punkt der Seitensymmetrale mAC ist von A gleich weit entfernt wie von C. Gemeinsam ist den beiden Seitensymmetralen der Punkt U. Also gilt für mAB: _ AU= _ BU, und für mAC gilt: _ AU= _ CU. Daher: _ AU= _ BU= _ CU= r. 7.161 Für alle Dreiecke ABC gilt, dass der Schnittpunkt zweier Winkelsymmetralen von den drei Dreiecksseiten gleich weit entfernt ist. Begründe diese Tatsache allgemein! Lösung: Jeder Punkt der Winkelsymmetrale w α ist von AC gleich weit entfernt wie von AB. Jeder Punkt der Winkelsymmetrale w β ist von BC gleich weit entfernt wie von AB. Gemeinsam ist den beiden Winkelsymmetralen der Punkt I. Der Punkt D liegt auf AB und DI © AB, der Punkt E liegt auf BC und EI © BC, der Punkt F liegt auf AC und FI © AC. Also gilt für w α : _ DI= _ FI, und für w β gilt: _ DI= _ EI. Daher: _ DI= _ EI= _ FI= ρ. 7.162 Für alle Dreiecke ABC gilt, dass die drei Höhen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Begründe diese Tatsache allgemein! Lösung: Das Dreieck DEF wird so konstruiert, dass durch jeden Punkt A, B und C eine Parallele zur jeweils gegenüberliegenden Seite gezeichnet wird. Die Seiten des Dreiecks DEF sind nun doppelt so lang wie die des Dreiecks ABC (siehe Aufgabe 7.116). Die Seitensymmetralen des Dreiecks DEF schneiden einander in einem Punkt (siehe Aufgabe 7.151), diese sind die verlängerten Höhen des Dreiecks ABC. Damit lässt sich erkennen, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks DEF mit dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC übereinstimmt. Aufgaben 7.163 Die Schwerlinien des Mittendreiecks MaMbMc liegen auf den Schwerlinien des Dreiecks ABC. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! 7.164 Spiegelt man den Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks ABC an dessen Dreiecksseiten, liegen die gespiegelten Punkte H1, H2 und H3 auf dem Umkreis des Dreiecks. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! mAC r r r mAB A B U C O A wβ wα α β γ ρ ρ ρ A B I C D E F O A A E D F B C O A O A O A 7 201 Dreiecke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=