Mathematik Lösungswege Bortenschlager | Fischer | Koller | Marsik | Olf | Wittberger 4 Arbeitsheft
Lösungswege 4, Arbeitsheft mit E-Book Schulbuchnummer: 215518 Lösungswege 4, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 215522 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 11. März 2024, Geschäftszahl: 2022-0.7 40.321, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 4. Klassen an Mittelschulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik und für die 4. Klassen an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Brigitte Jug, Graz Herstellung: Alexandra Brych, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth Satz: Da-Tex Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11132-6 (Lösungswege 4, Arbeitsheft mit E-Book) ISBN 978-3-209-13069-3 (Lösungswege 4, Arbeitsheft E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik Arbeitsheft 4 www.oebv.at Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung der 3. Klasse_________ 3 A Die reellen Zahlen_______________ 6 Die Menge der rationalen Zahlen___________ 6 Die Menge der reellen Zahlen ___________ 8 Rechnen mit Quadratwurzeln____________ 10 Rechnen mit Kubikwurzeln______________ 12 B Der Lehrsatz des Pythagoras______ 14 Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkeligen Dreieck _______________ 14 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras in ebenen Figuren____________________ 15 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras bei Körpern_________________________ 16 Der Höhen- und der Kathetensatz_________ 18 C Terme und Bruchterme_ __________ 20 Terme aufstellen und interpretieren_______ 20 Rechnen mit Termen__________________ 22 Faktorisieren von Termen_______________ 24 Bruchterme_________________________ 26 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen_ ______________________ 28 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen__ 30 Die vier Grundrechnungsarten mit Bruchtermen_ ______________________ 32 D Statistik_ ______________________ 34 Statistische Kennzahlen und Boxplot _ _____ 34 Histogramme und Stängel-Blatt-Diagramme__ 36 E Gleichungen und Bruchgleichungen 38 Lineare Gleichungen in einer Variablen_ ____ 38 Bruchgleichungen____________________ 40 Textgleichungen_____________________ 42 F Der Kreis_ ______________________ 44 Der Umfang des Kreises________________ 44 Der Flächeninhalt des Kreises____________ 45 Kreisring und Kreissektor_______________ 46 Kreissektor und Kreisbogen_ ____________ 47 Zusammengesetzte Figuren_____________ 48 G Funktionen_____________________ 50 Zusammenhänge aus dem Alltag_________ 50 Funktionen – Grundbegriffe_____________ 52 Darstellung von Funktionen_____________ 54 Lineare Funktionen___________________ 56 Nicht lineare Funktionen_______________ 58 H Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten_____________ 60 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten__ 60 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten graphisch lösen________ 62 Rechnerische Lösungsverfahren_ _________ 64 Textaufgaben zu linearen Gleichungs- systemen mit zwei Unbekannten_ ________ 66 I Zylinder, Kegel, Kugel_____________ 68 Das Volumen des Drehylinders___________ 68 Die Oberfläche des Drehylinders__________ 70 Das Volumen des Drehkegels____________ 72 Die Oberfläche des Drekegels____________ 74 Volumen und Oberfläche der Kugel________ 76 Zusammengesetzte Körper_ ____________ 78 J Wiederholung der Inhalte der Sekundarstufe 1_ ___________________ 80 Wiederholung: Zahlen und Maße_ ________ 80 Wiederholung: Arbeiten mit Variablen______ 82 Wiederholung: Arbeiten mit Modellen und Statistik_ _________________________ 84 Wiederholung: Arbeiten mit Figuren und Körpern___________________________ 86 Themenzentrierte Aufgaben_____________ 87 Aufgabe über das gesamte Schuljahr_ _______________________ 88 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 2 Inhalt Zum Arbeitsheft Dieses Arbeitsheft ergänzt das Schulbuch Lösungswege 4. Es bietet vielfältige motivierende Aufgaben, um den Lehrstoff zu festigen. • Die Wiederholung der 3. Klasse ist ein idealer Einstieg in die 4. Klasse. • Zu allen 45 Kapiteln des Schulbuchs werden Aufgaben angeboten. Die Ergebnisse können direkt in das Arbeitsheft geschrieben werden. Zudem gibt es auf allen Seiten Selbstkontrollen für die Schülerinnen und Schüler. • Auf der Abschlussseite des Arbeitsheftes findet sich eine vernetzte Aufgabe, die mehrere Themenbereiche des Schuljahres abdeckt. • Die Lösungen zu allen Aufgaben sind in der Mitte des Arbeitshefts beigelegt und können herausgetrennt werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung der 3. Klasse Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in der Tabelle unten. Markiere die Buchstaben darunter und du erhältst einen englischen Lösungssatz. 1 Vereinfache die Aufgaben und berechne die Ergebnisse. a) [(– 4) + (– 3)] · (+ 15) – (– 6) : (– 4) = b) [(+ 10) · (– 14) – (– 12) : (– 3)] · (+ 3) = c) [(+ 48) : (– 8) – (– 51) : (+ 3)] – (+ 40) = 2 Gegeben ist ein Koordinatensystem. a) Gib an, welcher Punkt im 3. Quadranten liegt. b) Spiegle den Punkt D an der y-Achse. Gib den Quadranten und die Koordinaten des neuen Punktes Dq an. Quadrant: D´= ( | ) c) Verbinde die Punkte A, C und D zu einem Dreieck und berechne den Flächeninhalt. A = 3 Löse die Textaufgabe. a) Multipliziere die Summe von (– 3,8) und (– 2,9) mit (– 0,5). b) Dividiere die Differenz von (– 4,5) und (+ 0,9) durch den Quotienten von (– 13,5) und (+ 0,3). 4 Löse die Aufgaben. Beachte dabei die Vorrangregeln für Potenzen. a) 43 + 4 · (– 8) = b) 10 + 42 – (– 2) · 6 = c) (2 + 11)2 + (3 + 1)2 = d) (5 + (– 3))3 – 14 · 2 = 48 cm2 C 32 4,55 (– 4 | 4) D 14 cm2 3 – 432 2 A B A U C H K E T O 0,12 36 (4 | – 4) – 29 38 185 – 20 3,35 – 106,5 2 _ 3 S T U C H O O L ! ? LÖSUNGSSATZ: H2 H1, H2, H3 B C A 0 x y 1 2 3 4 5 – 1 – 2 – 3 – 1 – – 2 – 3 – 4 – 5 6 1 3 4 5 6 D 2 H2 H2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle befinden sich alle Ergebnisse unten verkehrt im Kästchen. 5 Bei einer Befragung wird 20 Schülerinnen und Schülern die Frage gestellt, wie viele Minuten sie für die letzte Mathematikhausübung benötigt haben. Die Antworten werden in einer geordneten Datenliste dargestellt: 5; 10; 10; 15; 20; 25; 30; 45; 55; 55; 55; 55; 55; 60; 60; 75; 80; 95; 100; 120 (Angaben in Minuten) a) Ermittle das Minimum, das Maximum und die Spannweite. min: max: r: b) Berechne das arithmetische Mittel und den Median. arith. Mittel: Median: 6 Vereinfache den Term. a) a + b + a + b = b) 2 x2 + 3 x2 + x = c) w (3 w – 5) = 7 Wende die drei binomischen Formeln an und ergänze die Lücken. a) (b + 3 c)2 = b) (a2 – c)2 = c) (e – 2 f) (e + 2 f) = d) (5 i – )2 = – + k2 8 Löse die Gleichung. Mache auch die Probe. a) 25 b – 10 = 24 + 8 b Probe: b) f + 48 = – 2 f – 6 Probe: c) 30 – 5 c = 15 – 9 c Probe: H2 H2 H2 H2 55 min 25 i2 – 3,75 2 a + 2 b 40 = 40 5 x2 + x e2 – 4 f2 – 18 115 min a4 – 2 a2 c + c2 3 w2 – 5 w k 120 min 30 = 30 48,75 = 48,75 10 ki 2 b2 + 6 bc + 9 c2 51,25 min 5 min 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind die Ergebnisse der Aufgaben in einem Pfeil unten. Welche Farbe hat der Pfeil? 9 Sonja und Julia sind zusammen 34 Jahre alt. Sonja ist um 4 Jahre jünger als Julia. Berechne das Alter der beiden Jugendlichen. Stelle zu dieser Textaufgabe eine Gleichung auf und löse sie. Sonja: Julia: 10 Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck STU. a) Gib die Buchstaben an, mit welchen die folgenden Seiten beschriftet sind. Hypotenuse: längere Kathete: b) Der Satz des Pythagoras lautet für ein Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c: a2 + b2 = c2. Verändere den Satz so, dass er zu dem abgebildeten Dreieck passt. c) Die Seitenlängen t = 26 cm und s = 10 cm sind gegeben. Berechne die Seite u. u = 11 Berechne den Prozentwert. Kreuze das passende Kästchen an. a) 20 % der 30 Mädchen in der 4A tragen eine Zahnspange. A 2 Mädchen B 3 Mädchen C 6 Mädchen D 4 Mädchen E 8 Mädchen d) 40 % von 400 € werden gespart. A 106 € B 166 € C 147 € D 160 € E 153 € 12 Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen des Prismas. O = V = H2 U T S t u s 90° H2, H3 H2 2,5 cm 4 cm 5 cm 0,5 cm 2,5 cm 2 cm 2,5 cm H2 s 15 71,75 28 37,5 A D 19 u s2 + u2 = t2 t 15 71,75 24 37,5 C D 19 u s2 + u2 = t2 t 16 63,75 24 27,5 C B 18 s s2 + u2 = t2 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
A – Die reellen Zahlen Die Menge der rationaen Zahlen Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einem Kästchen unten angegeben. Einige falsche Werte sind auch dabei. Gib an, welche. 13 Kreuze die richtigen Aussagen an A 2,5 ist eine ganze Zahl. D 7,1 ist eine endliche Dezimalzahl. B 6,3˙ ist eine periodische Dezimalzahl. E 10 ist eine ganze Zahl. C – 6 ist eine natürliche Zahl. 14 Gegeben sind rationale Zahlen in Bruchschreibweise bzw. Dezimalschreibweise. Ergänze jeweils die andere Darstellung. Bruchdarstellung 1 _ 5 3 _ 8 4 _ 5 – 1 _ 9 – 17 _ 100 Dezimaldarstellung 0,35 0,75 7,5 – 0,006 15 Vereinfache die Aufgaben und berechne die Ergebnisse. a) (+ 0,8) · (– 3) + (+ 5,1) = b) (– 3,2) · (+ 5,5) – (– 8) : (+ 0,5) = 16 Vereinfache die Aufgaben und berechne die Ergebnisse. a) 4 2 – 3 _ 4 3 + 2 – 2 _ 5 3 5 · 2 + 4 _ 10 3 = b) 4 2 – 3 _ 4 3 – 2 – 2 _ 3 3 5 · 2 – 12 _ 15 3 = 17 Setze das passende Zeichen ein. a) – 3,4 ℤ b) – 1 _ 2 ℚ c) 5,2 ℕ d) – 4 1 _ 2 ℚ e) – 10,24 ℤ f) 7 ℕ g) 3 _ 4 ℕ h) – 2 ℤ 18 Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl liegt. 3 – 1,2 2 _ 5 – 24 _ 8 1 _ 8 56 _ 16 9 _ 50 – 6,1˙ – 4 ℕ ℤ ℚ 1 H3 H2 H2 H2 H2 H2 13 Kreuze * * * * B D –0,46 1 _ 15 2,7 – 1,6 – 0,17 E 0,2 6 – 0,1˙ 0,375 0,8 + + + + 35 _ 100 3 _ 4 – 6 _ 1000 7 1 _ 2 0,3 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind in einem Kästchen unten Hinweise und Ergebnisse angegeben. 19 Gegeben sind einige Zahlen. – 3 _ 4 1 _ 3 – 4 – 7 1 _ 9 – 7,6 – 1 2,4˙ 9 – 8,4 7,6 – 6 2 _ 3 4 1 _ 5 2 _ 9 – 4 8 _ 10 0 Gib ganze Zahlen an: Gib periodische Dezimalzahlen an: 20 Setze das passende Zeichen ein. a) – 0,01 ℕ b) 1,25 ℤ c) – 5 ℤ d) 3 _ 10 ℚ e) | – 6,3 | ℤ f) – 13 _ 10 ℚ g) 0,02 ℚ h) 83 ℕ i) – 4,11 ℚ j) 26 _ 10 ℤ k) | – 2,5 | ℚ l) – 6 _ 8 ℕ 21 Trage die Ergebnisse der Rechnungen an den richtigen Stellen im Diagramm rechts ein. 1) 1 _ 4 + 3 _ 4 = 6) 10 _ 8 – – 4 _ 5 = 2) – 8 · 2 _ 4 = 7) 1 _ 2 – 1 _ 8 = 3) 3 _ 8 + 2 _ 4 = 8) 0 · 7 _ 8 = 4) 1 _ 6 · 9 _ 6 = 9) 6 _ 3 · (– 4) = 5) 2 _ 10 · 5 _ 4 = 10) 4 _ 8 – – 12 _ 8 = 22 Schreibe die Zahlen an die passenden Stellen in der Graphik. a) – 20; 0,2; – 12; – 6 2 _ 10 ; 4; 6,8; – 14 3 _ 5 b) 7; – 2,4; 3,6; – 14; – 1 2 _ 6 ; 4 1 _ 5 ; 2 _ 10 ; 88; – 4 8 _ 10 ; 0 H3 H2 H2 Q N Z H1, H3 Q N Z Q N Z ℤ (ohne N): eine Zahl bzw. zwei Zahlen ℚ (ohne N bzw. Z): vier Zahlen bzw. sechs Zahlen ganze Zahlen: vier Zahlen + + * 2,51 * + * * * * + * + periodische Dezimalzahlen: 5 Zahlen ℕ: eine Zahl bzw. drei Zahlen Q N Z 7 A – Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Die Menge der reellen Zahlen Zur Selbstkontrolle befinden sich unten in der Denkblase Hinweise. 23 Ziehe die Quadratwurzel. a) 9 __ 462 = b) 9 ___ 0,152 = c) 9 __ 392 = d) 9 __ 172 = e) 9 __ 36 = f) 9 __ 100 = g) 9 __ 225 = h) 9 __ 64 = 24 Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl liegt. 2 9 _ 2 3 _ 7 – 30 _ 5 9 __ 0,5 42 _ 14 5 _ 100 – 2,3˙ 9__ 16 ℕ ℤ ℚ I ℝ 25 Gegeben sind einige Zahlen. Trage die angegebenen Zahlen richtig in die Grafik ein. a) 9 _ 4 ; 9 _ 5; –2; 5; 8,9; 1 _ 3 ; 7; 0,4; 9 _ 2 _ 5 b) 1 _ 7 ; 5,3; 9; 0; 9_ 6 ; 9 ___ 0,36 ; 9 _ 2 ; 4 _ 9 ; 9 __ 9 _ 64 26 Setzte * oder + ein. a) 9 __ 25 ℝ b) 9 ___ 0,144 I c) 9 __ 0,3 ℚ d) 9 __ 100 ℝ e) 0, 4˙ ℚ f) 9 __ 16 ℚ g) 9 ___ 0,25 I h) 9 __ 0,5 ℝ i) 9 __ 13 I j) 9_ 7 _ 7 I 27 Kreuze die passenden Aussagen an. Aussage richtig A Alle irrationalen Zahlen sind reelle Zahlen. B Jede natürliche Zahl ist auch eine irrationale Zahl. C Jede ganze Zahl ist auch eine reelle Zahl D Alle rationalen Zahlen sind ganze Zahlen. E Jede reelle Zahl ist auch eine irrationale Zahl. 2 H2 H3 H1, H3 Q I R Q I R H3 H3 23) 9 __ a2 = a 24) N: 3 Zahlen; Z: 4 Zahlen; Q: 7 Zahlen; I: 2 Zahlen; R: 9 Zahlen 25) Q: 7 Zahlen; I: je 2 Zahlen 26) 8 *; 2 + 27) 2 korrekte Lösungen 8 A – Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind unten im Kästchen Hinweise angegeben. 28 Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl liegt. 6,4 – 5 9 _ 7 – 30 _ 11 1 _ 2 9__ 50 9 __ 169 – 2,3˙ 3 ℕ ℤ ℚ I ℝ 29 Gegeben sind einige Zahlen. Trage die angegebenen Zahlen richtig in die Grafik ein. a) 8; 9 _ 9; –1; 2 _ 3 ; 9__ 17; 21,5; 3 _ 7 ; 8 _ 4 ; 9 ___ 0,25 ; 9 _ 8 b) 9 __ 40 ; 9 __ 36 ; 9 ___ 1,44; 0,8˙ ; 13; 1 _ 12 ; 4 _ 9 ; 7 _ 19 ; 6,6 30 Gegeben ist die „Schnecke des Pythagoras“. Zeichne die Schnecke nach (1 entspricht 1 cm). H3 H1, H3 Q Z N I R Q Z N I R H1, H2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9_ 2 9_ 3 9 _ 4 9_ 5 9_ 6 9_ 7 9_ 8 9_ 9 9__ 10 9__ 11 9__ 12 9 __ 13 9__ 14 9__ 15 9__ 16 Anzahl der Zahlen: 28) N: 2; Z: 3; Q: 7; I: 2; R: alle 29) N: 2 bzw. 3; Z: 0 bzw. 1; Q: 5 bzw. 6; I: 1 bzw. 2 z. B. 9 ____ 12 + 12 = 9 _ 2 ; 9 _____ 9 __ 13 2 + 12 = 9 __ 14 9 A – Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Rechnen mit Quadratwurzeln Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einem Aquarium unten. Fisch sie heraus! 31 Rechne im Kopf. a 900 10 000 1 600 400 2 500 1 000 000 6 400 640 000 4 900 9_ a 32 Berechne die Aufgabe mit dem Taschenrechner. a) 9 ___ 19,36 = b) 9 ___ 56,25 = c) 9 ____ 334,89 = d) 9 _____ 637,5625 = e) 9 _____ 3 080,25 = f) 9 ____ 171,61 = g) 9 ____ 1 354,24 = h) 9 _____ 0,000 001 = 33 Gib an, zwischen welchen beiden natürlichen Zahlen die gegebene Quadratwurzel liegt, ohne dabei einen Taschenrechner zu verwenden. a) < 9 __ 21 < b) < 9 __ 30 < c) < 9 _ 7 < d) < 9 __ 45 < e) < 9 __ 10 < f) < 9 _ 2 < g) < 9 __ 90 < h) < 9 __ 128 < 34 Kreuze alle zutreffenden Aussagen an. a) A 9 ____ 20+4=9 __ 20 + 9 _ 4 b) A 9 ___ 9–1=9 _ 9 – 9 _ 1 B 9 ___ 36 · 9 = 9 __ 36 · 9 _ 9 B 9 ____ 60+2=9 __ 60 + 9 _ 2 C 9 ___ 100·7= 9 __ 100 · 9 _ 7 C 9 ___ 7–3=9 _ 7 – 9 _ 3 D 9 __ 81 _ 5 = 9 __ 81 _ 9 _ 5 D 9 __ 18 _ 6 = 9 __ 18 _ 9 _ 6 35 Vereinfache durch partielles Quadratwurzelziehen. Verwende keinen Taschenrechner, sondern zerlege den Radikanden in Faktoren. a) 9 ___ 9 800 b) 9 __ 700 c) 9 ___ 1 000 d) 9 __ 675 e) 9 ___ 4 500 f) 9 __ 120 3 H2 H2 H2 H3 H2 10 A – Die reellen Zahlen 36,8 25,25 30 · 9 _ 5 1; 2 100 4,4 10 · 9 _ 7 13,1 1000 11; 12 2 · 9 __ 30 80 18,3 0,001 15 · 9 _ 3 30 10 · 9 __ 10 2;3 4;5 50 20 5;6 D 9;10 7,5 B,C,D 3;4 800 6; 7 70 70 · 9 _ 2 55,5 40 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse unter den Süßigkeiten zu finden. Nimm sie dir! 36 Rechne im Kopf. a 0,25 0,81 1,44 6,25 0,01 0,04 0,36 2,25 1,96 9_ a 37 Berechne die Aufgabe mit dem Taschenrechner. Runde auf zwei Dezimalstellen. a) 9 _ 3 _ 7 = b) 9 __ 5 _ 12 = c) 9 _ 3 _ 5 = d) 9 __ 4 _ 16 = e) 9 __ 10 _ 33 = f) 9 __ 49 _ 64 = g) 9 __ 122 _ 169 = h) 9 __ 25 _ 100 = 38 Gib an, zwischen welchen beiden natürlichen Zahlen die gegebene Quadratwurzel liegt, ohne dabei einen Taschenrechner zu verwenden. a) < 9 __ 130 < b) < 9 __ 70 < c) < 9 __ 240 < d) < 9 __ 88 < e) < 9 __ 51 < f) < 9 __ 170 < g) < 9 __ 208 < h) < 9 __ 192 < 39 Kreuze an, welche Aussagen zutreffend sind. a) A 9 ____ 0,36 + 4= 9 ___ 0,36 + 9 _ 4 b) A 9 ___ 16–1=9 __ 16 – 9 _ 1 B 9 ____ 0,81 · 9 = 9 ___ 0,81 · 9 _ 9 B 9 ___ 60 · 2 = 9 __ 60 · 9 _ 2 C 9 ____ 0,09·7= 9 ___ 0,09 · 9 _ 7 C 9 __ 7 · 3 = 9 _ 7 · 9 _ 3 D 9 __ 64 _ 5 = 9 __ 64 _ 9 _ 5 D 9 __ 25 _ 9 = 9 __ 25 _ 9 _ 9 40 Vereinfache durch partielles Quadratwurzelziehen. Verwende keinen Taschenrechner, sondern zerlege den Radikanden in Faktoren. Alle Unbekannten sind > 0. a) 9 ___ 48 w 2 _ 20 p2 b) 9 __ 72 r 2 _ 16 t3 c) 9 ___ 108 u 4 _ x9 d) 9 ___ 21 v 12 _ 169 k5 e) 9 ___ 225 u90 _ 44 p f) 9 ___ 162 r 9 _ 75 s6 g) 9 ___ 32 x2 h) 9 ___ 18 v4 i) 9 ___ 200 x7 j) 9 ___ 28 q2 k) 9 ___ 50 r4 l) 9 ___ 24 f5 H2 H2 H2 H2 H2 w · 9__ 12 _ p · 9 _ 5 3 r · 9_ 8 _ 4 t · 9 _ t 6 u 2 · 9 _ 3 _ x4 · 9_ x 2 x 9 _ 8 v6 · 9 __ 21 __ 13 k2 · 9 _ k 15 u 45 _ 2 · 9 __ 11 p 2 q 9 _ 7 9 r 4 · 9 __ 2 r __ 5 s3 · 9 _ 3 B, C, D B, C, D 0,5 11; 12 8; 9 2 f2 9 __ 6 f 15; 16 9; 10 7; 8 10 x3 9 __ 2 x 13; 14 14; 15 13; 14 0,5 0,9 1,2 2,5 0,1 0,2 0,6 1,5 5 r2 9 _ 2 3 v2 9 _ 2 1,4 0,65 0,65 0,77 0,5 0,55 0,88 0,85 11 A – Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Rechnen mit Kubikwurzeln Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einem Tier unten. Welches Tier ist es? 41 Ergänze die Tabelle a 0 3 5 9 13 0,5 0,2 a3 3 9 __ a3 42 Gegeben ist ein Würfel mit V = 15,625 cm3. a) Gib die Seitenlänge des Würfels an. b) Multipliziere die Seitenlänge mit 2. c) Berechne das Volumen des Würfels mit doppelter Seitenlänge. d) Gib an, um welchen Faktor sich das Volumen verändert hat. e) Ziehe die Kubikwurzel aus diesem Faktor. 43 Ziehe die Kubikwurzel. a) 3 9__ x18 = b) 3 9__ z12 = c) 3 9__ x9 = d) 3 9 __ y24 = e) 3 9__ a36 = c) 3 9 __ y42 = 44 Kreuze die zutreffenden Aussagen an. a) A 3 9 _ 8 · 3 9 _ 1 = 3 9 __ 8 · 1 b) A 3 9 __ 64 : 3 9 _ 8 = 3 9__ 64 _ 8 B 3 9 _ 8 + 3 9 _ 1 = 3 9 ___ 8 + 1 B 3 9 __ 64 – 3 9 _ 8 = 3 9 ____ 64 – 8 C 3 9 _ 8 – 3 9 _ 1 = 3 9 ___ 8 – 1 C 3 9 __ 64 · 3 9 _ 8 = 3 9 ___ 64 · 8 D 3 9 _ 8 : 3 9 _ 1 = 3 9_ 8 _ 1 D 3 9 __ 64 : 3 9 _ 8 = 3 9 ___ 64 · 8 E 3 9 _ 8 : 3 9 _ 1 = 3 9 __ 8 : 1 E 3 9 __ 64 + 3 9 _ 8 = 3 9 ____ 64 + 8 4 H2 H2 H2 H3 0; 0; 2; 8; 3; 5; 9; 27; 125; 729; 13; 0,5; 0,2; 2197; 0,125; 0,008 2,5 cm 5 cm 125 cm3 x6 z4 x3 y8 a12 y14 A, A, C, D, D, E 0; 0; 4; 8; 3; 5; 9; 27; 125; 729; 13; 0,05; 0,2; 2397; 0,125; 0,008 2,5 cm 7,5 cm 125 cm3 x6 z4 x3 y8 a12 y14 A, B, C, D, D, E 12 A – Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse bei den Buntstiften unten. In welchem sind keine korrekten Werte? 45 Ergänze die Tabelle. a 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 3 9_ a 46 Kreise alle Kubikwurzeln, die eine irrationale Zahl darstellen, ein. 47 Vereinfache durch Wurzelziehen. a) 3 9__ 8 a3 = b) 3 9___ 27 x12 = c) 3 9 ___ 64 y15 = d) 3 9____ 216 z42 = e) 3 9 ___ 125 u9 = f) 3 9____ 1 000 u3 = 48 Ziehe die Kubikwurzel, ohne den Taschenrechner zu verwenden. a) 3 9__ – 8 _ 64 = b) 3 9___ 1 _ – 216 = c) 3 9___ – 125 _ 1 000 = d) 3 9__ 512 _ 729 = e) 3 9___ 64 _ 1 000 = f) 3 9__ – 1 _ – 8 = 49 Vereinfache durch partielles Wurzelziehen. a) 3 9___ 48 a5 = b) 3 9 ___ 54 x13 = c) 3 9 ___ 54 y17 = d) 3 9___ 80 z40 = e) 3 9 ____ 750 u10 = f) 3 9 _____ 5 000 y17 = H2 H2 3 9 _ 1 3 9 __ 25 3 9 __ 81 3 9 __ 100 3 9 ___ 8 000 3 9 __ 125 3 9 ___ 1 000 3 9 __ 34 3 9 _ 0 3 9 ___ 27 00 3 9 __ 27 3 9 __ 64 3 9 __ 20 3 9 ____ 27 000 3 9 __ 500 3 9 __ 800 3 9 __ 216 3 9 __ 512 H2 H2 H2 0 2 a 3 9 __ 6 a2 1 3 x4 3 9 __ 2 x 8 3 y5 3 9 __ 2 y2 27 2 z13 3 9 __ 10z 64 5 u3 3 9 __ 6 u 216 2 a 343 1 _ 2 512 2 _ 5 729 8 _ 9 – 1 _ 2 0 – 1 _ 6 125 10 y5 3 9 __ 5 y2 1 – 1 _ 2 2 3 9__ 25 ; 3 9__ 100 ; 3 9__ 34 ; 3 9___ 2700; 3 9__ 20 ; 3 9__ 500 ; 3 9__ 800 3 3 x4 4 4 y5 5 6 z14 6 5 u3 7 8 9 10 u 3 x 5 h2 9_ 4 20 y4 2 _3 13 A – Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
B Der Lehrsatz des Pythagoras Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkeligen Dreieck Zur Selbstkontrolle sind die zu berechnenden Ergebnisse in einer Tabelle. Markiere die Buchstaben darüber und du erhältst ein Lösungswort. 50 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck. i) Male die Hypotenuse blau und die Katheten rot an. ii) Vervollständige den pythagoräischen Lehrsatz. a) r2 + b) v2 = c) m2 = iii) Berechne die gesuchte Seitenlänge. a) t = b) w = c) k = P E U U I T L S 10 4 2 15 9 __ 32 20 9 __ 18 29 LÖSUNGSWORT: Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in der Tabelle unten. Markiere die Buchstaben über den richtigen Lösungen und du erhältst als Lösungswort eine Farbe. 51 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit a = 5 cm. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 20 cm2. a) Berechne die Länge der Seite c. c = b) Ermittle die Länge der Seite b. b = 52 In der Schweiz gibt es die steilste Zahnradbahn. Sie führt auf den Pilatus. Auf einen Streckenabschnitt mit 1130 m horizontaler Länge überwindet die Seilbahn einen Höhenunterschied von 489 m. Berechne, wie viele Meter die Bahn in diesem Abschnitt zurücklegt. B R E O L T E 1 540,81 9 __ 89 11 1 231,27 34 8 9 __ 51 LÖSUNGSWORT: 5 H2, H3 s = 21 cm r = 20 cm a) b) c) t = ? w = ? v = 7 cm u = 9 cm m = 5 cm k = ? l = 3 cm C B A b c a 90° H2 H2 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras in ebenen Figuren Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in der Tabelle unten. Markiere sie. Welche Zahlen bleiben übrig? Du erhälst ein Lösungswort. 53 Bei einem gleichschenkligen Trapez sind zwei Seitenlängen und die Länge der Höhe gegeben. a) Berechne die Länge der Seite b (b = d). b = b) Ermittle den Flächeninhalt des Trapezes. A = 54 Bei einer Raute sind die Längen der beiden Diagonalen e und f gegeben. a) Berechne die Seitenlänge a. a = b) Ermittle den Umfang der Raute. u = R E I U L P E 36,9 45,5 7,6 5,3 21,2 2,94 7,43 LÖSUNGSWORT: Zur Selbstkontrolle sind alle Lösungen in einem der Pfeile auf der Seite. Welche Farbe hat der Pfeil mit allen richtigen Ergebnissen? 55 Ein Platz vor einem Rathaus soll neu gepflastert werden. a) Ermittle die Länge der fehlenden Seite. x = b) Berechne den Flächeninhalt des Platzes. A = 56 Eine Hauswand soll neu gestrichen werden. Zur Berechnung des Flächeninhaltes benötigt man die Höhe des Daches. a) Berechne die Länge der Höhe des Daches. h = b) Ermittle den Flächeninhalt der Hauswand. A = 57 Bei einem Parallelogramm sind die Längen der Seite b und der Diagonale f, sowie der Höhe ha gegeben. a) Gib eine Formel zur Berechnung der Längen der Teilstücke x und y an. x = y = b) Gib eine Formel zur Berechnung der Länge der Diagonale f an. f = 6 4 m 9 m 7 m H2 H2 5,6 cm 9 cm 11,4 m 8,5 m 8 m 4 m H2 11,6 18,5 10,8 11,6 H2 a b b x y f h a H3 4,92 7 264,55 64,4 9 ____ b2 – h a 2 9 ____ f2 – h x 2 9 ____ y2 + h a 2 4,94 7 264,55 85,4 9 ____ b2 – h a 2 9 ____ f2 – h a 2 9 ____ y2 + h a 2 4,94 6 329,3 81,4 9 ____ b2 – h a 2 9 ____ f2 – h a 2 9 ____ y2 – h a 2 15 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras bei Körpern Zur Selbstkontrolle hat eine Jugendliche oder ein Jugendlicher unten alle Ergebnisse. Wie heißt sie oder er? 58 Gegeben ist ein geometrischer Körper. Berechne die Länge der roten Strecke. Ergänze dazu in der Zeichnung das rechtwinklige Dreieck, das du verwendest, in grüner Farbe. a) b) 59 In einem quaderförmigen Aquarium (l = 50 cm; b = 30 cm; h = 40 cm) schwimmt ein Fisch von vorne oben rechts nach hinten unten links und wieder zurück. Berechne die Länge der zurückgelegten Strecke. 60 Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Länge der Flächendiagonale _ AC= 224m und die Länge der Seitenkante 212 m sind bekannt. Berechne die Länge der Höhe der Pyramide. Chris Jürgen Mirella 7 H2 15 cm 17 cm 18 cm a s d ha 14 cm 20 cm 16 cm H2 B A C D S M H2 16,5 29,2 150 141,42 19,5 19,2 170 161,42 19,5 29,2 180 141,42 16 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einer Tabelle unten angegeben. Markiere die Buchstaben über den richtigen Lösungen und du erhältst ein Lösungswort. 61 Markus hat eine Kiste, die 30 cm lang, 20 cm hoch und 20 cm breit ist. Der Bub möchte einen 40 cm langen Stab in der Kiste verstauen. Berechne, ob der Stab in die Kiste passt. 62 Bei einem Trinkpäckchen ist auf der Seite der Strohhalm festgeklebt. Das Trinkpäckchen ist 5 cm lang, 3 cm breit und 7cm hoch. a) Berechne, wie lang der Strohhalm maximal sein darf, wenn er 1,5 mal die Länge der Seitendiagonale hat. b) Georg hat Angst, dass ihm der Trinkhalm in das Trinkpäckchen rutscht und er ihn nicht mehr hinausbekommt. Gib an, ob dies bei diesen Maßen möglich ist. 63 Vor dem Louvre in Paris befindet sich eine gläserne quadratische Pyramide. Sie ist 21,6 m hoch und hat eine Grundfläche von 1 254,6 m2. a) Berechne die Länge der Höhe ha der Pyramide. ha = b) Ermittle die Länge der Seitenkante s. s = D E I N C H K A E 33,07 12,90 15,4 250,91 nein 57,10 ja 28,33 27,93 LÖSUNGSWORT: H2 H2 H2 17 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Der Höhen- und der Kathetensatz Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse (ohne Einheiten) im Smartphone unten. Zwei falsche Werte sind auch dabei. Welche sind das? 64 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und der Höhe h. Berechne die Länge des anderen Hypotenusenabschnitts und gib die Länge der Hypotenuse (c = q + p) an. a) q = 12,5 cm; h = 25 cm p = c = b) h = 8 m; p = 12 m q = c = c) h = 26 dm; q = 14 dm p = c = 65 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne die fehlende Länge mit Hilfe des Kathetensatzes. a) c = 15 cm; p = 5,4 cm a = b) c = 45 cm; q = 28,8 cm b = 66 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck. Ermittle die fehlenden Längen. a = h = 67 Wende für das rechtwinklige Dreieck a, b, c den Höhensatz und den Kathetensatz an. Ergänze die Tabelle. a) a b) a b b c c p 16,2 cm p 8,1 cm q 28,8 cm q h h 10,8 cm 8 H2 H2 H2 C h B A b = 5 cm c = 6,25 cm q = 4 cm p = 2,25 cm a H2 50 5, ˙ 3 48,29 9 36 3 3,75 27; 36; 45; 21,6 13,5; 18; 22,5; 14,4 30,7; 2,5 62,5 17, ˙ 3 62,3 18 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse im Bleistift unten. Markiere sie, wenn du sie richtig hast. 68 Wende für das rechtwinklige Dreieck a, b, c den Höhensatz und den Kathetensatz an. Ergänze die Tabelle. 69 Bestimme die Länge der Seite x. a) b) x = x = 70 Kreuze für das rechtwinklige Dreieck a, b, c (s. Abb. zu Aufgabe 68) die beiden zutreffenden Aussagen an. A Die Länge der Höhe ist das Produkt der Abschnitte p und q. B Wenn man die Längen von p und c multipliziert, bekommt man die Länge der Seite a zum Quadrat. C Wenn man die Längen von q und c multipliziert, bekommt man die Länge der Seite b. D Die Länge der Seite a ist das Produkt der Längen p und c. E Wenn man die Längen von q und c multipliziert, bekommt man die Länge der Seite b zum Quadrat. H2 C h B A b c q p a a) a 4 m b) a b b 4 m c c p p q q h h A 28 m2 A 128 m2 H2 2,5 3,5 x 3 4 x H3 B; E 14 1,1 13,46 14 64,12 3,85 14,56 4 2,4 64 14,56 3,85 5 0,25 13,46 63,88 1 _ 3 19 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
C TERME UND BRUCHTERME Terme aufstellen und interpretieren Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einer Sprechblase unten. Welche/r Jugendliche hat alle richtigen Lösungen? 71 Schreibe als Term. a) Verdopple die Zahl x und ziehe daraus die Quadratwurzel. b) Vermindere die Hälfte der Zahl y um 9 _ 2 . c) Vermehre ein Drittel von a um 88. d) Viertle die Summe von u2 und 6. 72 Stelle Terme zur Berechnung des Umfangs der geometrischen Figur auf. a: c: b: d: 73 Familie Geier hat viele Tiere. Sie besitzen x Katzen, y Hunde und z Wellensittiche. a) Stelle einen Term für den beschriebenen Sachverhalt auf. i) Gesamtanzahl der Tiere ii) Gesamtanzahl der Füße der Wellensittiche iii) Gesamtanzahl der Säugetiere iv) Gesamtanzahl der Beine aller Haustiere v) Anzahl der Ohren aller Katzen b) Interpretiere die Terme. i) 2 z ii) x _ 2 Dion Kai Anna 9 H1 H2 c d 12 cm 13 cm 9 cm 8 cm a b x x x x x x x H1 2 x 4 x 9 _ 3 2 x + 22 y _ 2 – 9 _ 2 9_ x x + 8 2 z 4(x + y) + 2 z u2 + 6 _ 4 2 x + 24 9_ 3 y _ 2 – 2 x + 22 9 _ 3 4 x x + 24 9 _ 2 x + y y _ 2 2 x + 8 4(x+y)+2z 9__ 2 x 2 x 2 x + 8 u2 + 6 _ 4 2 x + 22 a _ 3 + 88 4 x 2 x + 24 9 __ 2 x x + y y _ 2 – 9_ 2 2 x 2 x + 8 2 z u2 + 6 _ 4 4(x + y) + 2 z x + y + z 20 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einer Sprechblase unten. Welche/r Jugendliche hat alle richtigen Lösungen? 74 Wähle eine Variable und schreibe als Term. a) Subtrahiere 8 vom Dreifachen einer Zahl und ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis. b) Bilde die Summe von zwei und dem Fünffachen einer Zahl und quadriere das Ergebnis. c) Bilde das Produkt der Quadratwurzel einer Zahl und 17. d) Bilde den Kehrwert aus der Summe von 33 und dem Quadrat einer Zahl. 75 Stelle einen Term zur Berechnung des Umfangs des Grundstücks (Angaben in m) auf. a) b) 76 Es ist Abverkauf. Tanja möchte einen Rock, ein T–Shirt und ein Paar Stiefel kaufen. Interpretiere den Term, wenn P der Preis des Kleidungsstücks ist. a) Rock: P – 2 _ 10 P b) T–Shirt: 0,87 · P c) Paar Stiefel: P – 30 Birgit Michaela Tom H1, H2 H2 x x x + 2 2 x 1 1 3 x 2 x 2 x H3 87 (2 x + 5)2 x · 17 8 x + 4 2 _ 10 1 _ 33 + x2 30 9 __ 3x 4x+8 9 ____ 3x–8 2 _ 10 (2 + 5 x)2 9_ x · 17 87 4 x + 8 8 x + 8 30 1 _ 33 + x2 30 9 ____ 3 x – 8 2 _ 10 (2 x + 5) 2 8 x + 8 9_ x · 17 1 _ 31 x2 4 x + 4 85 21 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Rechnen mit Termen Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse verkehrt in einem Kästchen unten. Zwei falsche Ergebnisse sind auch dabei. Wie lauten diese? 77 Vereinfache den Term. a) e + e + 0,5 e = b) – 2 m – 3 m + 4 m = c) 12 x – 2 x + 4 x = d) 2 g + 4 g – g = e) 3 r + 5 r – 2 r = f) 15 a + 2 a – a + 2 a = 78 Vereinfache den Term. a) 2 x2 + 3 x2 = b) 7 x3 + 4 x3 = c) 8 b2 + 4 b2 = d) –10 b3 + b3 – b3 = e) 9 f4 – f4 – 4 f4 = f) 4 p2 + 2 p2 – p2 = 79 Löse die Klammer auf. a) 4 f · (3 f – 2) = b) 4 a · (3 a – 2) = c) 6 h · (3 h – 4) = d) 4 z · 4 u + (u – z) = e) 2 · (4 s + r) = f) 5 v · (4 v – 5) = 80 Wende die binomischen Formeln an. a) (b – 4)2 = b) a2 + 10 a + 25 = c) d2 – p2 = d) (7 – t)2 = e) s2 – 14 s + 49 = f) (2 – t) (2 + t) = 81 Bestimme das Produkt. Mache auch die Probe (x = 1; y = 2). a) xy2 (x – 1) – x2y (y + 1) = b) (2 x – 1) (3 x + 1) – 2 x(1 + 3 x) = 10 H2 H2 H2 H2 H2 16 u z + u – z 12 a2 – 8 a b2 – 8 b + 16 – x2 y – x y2 – 6 = – 6 20 v2 – 25 v 6 r 4 – t2 5 x2 12 f2 – 8 f – 3 x – 1 – 4 = – 4 18 a 5 f2; (d – p)2 4 f4 – m 8 s + 2 r 11 x3 2,5 e 12 b2 (d – p) (d + p) 49 – 14 t + t2 5 g 18 h2 – 24 h (s – 7)2 (a + 5)2 14 x 5 p2 – 10 b3 22 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse verkehrt in einem Kästchen unten. Zwei falsche Ergebnisse sind auch dabei. Wie lauten diese? 82 Löse die Aufgaben. Achte dabei auf die Rechenregeln. Ordne sie der Tabelle zu. 1: – x · (– 3 y) · 3 x · (– 7 y) · 2 y 2: x · (– 3 y) · 3 x · 7 y · y 3: – x · (– 3) y · 3 y · 7 y · 2 y 4: x · (– 3) · 3 x · 7 y · 2 y 83 Vereinfache den Term a) (x – 5 y) (2 y – x) – (y – 3 x) (– 9) = b) (x2 – 3) (x + y) + (x2 + y) (– 8) = c) (– 3 y + x) (y – 6 x) – x2 – y2 = d) (y2 + 6)(–x + y) + 6x –7y(–3) = e) (5 x – y2)2 – (2 y2 – 1) (3 y + 2 x) = f) (x – 3 y)2 + (y – y) (x + y) = 84 Wende die drei binomischen Formeln an und ergänze die Lücken. a) ( + 2 c)2 = a2 + + b) (f2 – )2 = – 2 bf2 + c) ( + 2 e)2 = + 12 ae + d) (7 i – )2 = – + k2 e) ( + )2 = 9 + + c6 f) (5 g – )2 = – 10 go2 + g) (8 r – ) (8 r + ) = + t4 h) (7 a + 3 b) ( – ) = – H2 A – 63 x2 y2 B – 126 x2 y2 C – 126 x2 y3 D 126 xy4 E – 126 xy3 F – 63 x2 y3 H2 H2 y3 – x y2 + 27 y – 7 x2 – 4 y2 + 19 x y x2 + 9 y2 – 6 x y y4 – 6 y3 – 14 x2 y + 25 x2 + 2 x + 3 y 3; c3; 6 c3 3 a; 9 a2; 4 e2 – x2 – 10 y2 +7xy–27x+9y x3 + x2 y – 8 x2 – 3 x – 11 y 25 g2; go2 o4 7 a; 3 b; 49 a2; 9 b2 1C, 2F, 3D, 4B a; 4 a c; 4 c2 t2; t2; 64 r2 6 x2 – 3 x y + 4 y2; 2A k; 49 i2; 14 ki b; f4; b2 23 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Faktorisieren von Termen Zur Selbstkontrolle befinden sich alle Ergebnisse in der Tabelle auf der Seite. Markiere die Buchstaben daneben. Dann erhälst du von oben nach unten gelesen einen Lösungssatz. 85 Hebe den gemeinsamen Faktor heraus. a) 2 x + 12 y = b) 7b–14a= c) 3 b – 6 k + 3 c = d) 6 m + 3 n – 9 c = e) – 2 x – 30 y + 4 z = f) 6 u – 18 v + 6 w = g) 10 x + 5 y = h) 2 b – 4 a = i) 3 b – 6 n + 12 m = j) 6 k + 3 c – 12 p = k) – 22 p – 11 h + 11 z = l) 16 u – 4 r + 8 g = 86 Hebe den gemeinsamen Faktor heraus. a) 2 x2 + 5 x3 = b) 6 a3 – 4 a2 = c) 3 b4 – 6 b2 + 12b3 = d) 6 c2 + 3 c3 + 9 c4 = e) – 2 z4 + 3 z3 + 6 z2 = f) 6 u3 + 10u2 + 8 u4 = g) 2 x2 + 12 x = h) 7 a3 – 14a2 = i) 7 b4 – 21b2 + 7 b3 = j) 9 c2 + 30c3 – 18c4 = k) – 2 z2 – 4 z3 + 2 z = l) 6 u3 – 7 u2 + u4 = LÖSUNGSSATZ: 11 A 3 b2 (b2 + 6 + 12 b) D 7(b – 2a) U x2 (2 + 5 x) B 11 (– 2 p – 11 h + z) H z2 (– 2 z2 + 3 z + 6) A 3 (2 m + n – 3 c) U 7(b + 2a) S 3 b2 (b2 – 2 + 4 b) T 6 (u – 3 v + w) D u2 (6 u – 7 + u2) A 3 (b – 2 k + c) U 3 c2 (2 + 3 c + 3 c2) M 2 (x – 6 y) S 11 (– 2 p – h + z) S 2 (b – 2 a) T 3 (b – 12 n + 6 m) E 4 (4 u – r + 2 g) H – 2 (x + 15 y – 2 z) R 2 a2 (3 a – 2) G 3 (2 k + c – 4 p) E 3 c2 (2 c + c + 3 c2) U 3 (b – 2 n + 4 m) T – 2 z (z + z2 – 1) G 3 c2 (2 + c + 3 c2) E 2 x (x + 6) I 3 c2 (3 + 10 c + 6 c2) M 2 (x + 6 y) A 7 b2 (b2 – 3 + b) U 2 (b – 2 n + 6 m) S 3 (2 k + c + 4 p) C 5 (2 x + y) H 7 a2 (a – 2) T 3 c2 (3 + 10 c – 6 c2) ! 2 u2 (3 u + 5 + 4 u2) H2 H2 24 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle befinden sich alle Ergebnisse in der Tabelle unten. Markiere die richtigen Lösungen. Welche Terme bleiben übrig? 87 Hebe den gemeinsamen Faktor heraus. a) 9 xy + 15 y = b) 20 xy + 15 xz = c) 14ab+21bc–7bd= d) 4 a2 – 2 a = e) x3 – 2 x2 + 2 x = f) 10 x4 + 5 x2 – 20 x = g) 24 a2b – 12 ab2 = h) 18 x3y2 + 30x2y = 88 Hebe den gemeinsamen Faktor heraus. a) 21 xz + 28 yz + 35 z = b) 2 a3b2 – 6 ab2 + 8 ab = c) 50 xz2 + 30 yz + 25 z = d) 25 a3b2 – 10 ab2 + 5 ab = e) 6 xy + 18 y2 z + 30 y = f) 5 ab2 – 20 a2 b2 + 5 a2 b = g) 4 x3 + 28 xz + 40 x2 = h) 9 a2 b2 – 36b2 + 45 ab = 7b(2a + 3c – d) 6 y (x + 3 yz + 5) 2 a (2 a – 1) 4 x (x2 +7z + 10x) 3 y (3 x + 5) 2 ab (a2 b – 3 b + 4) 6 x2 y (3 xy + 5) 7z(3x + 4y + 5) 5 ab (5 a2 b + 2 b + 1) 6 y (x + 3 yz + 5) 12 ab (2 a – b) 5 x (4 y + 3 z) x (x2 – 2 x + 2) 5 z (10 xz + 6 y + 5) 9 b (a2 b – 4 b + 5 a) 5 ab (b – 4 ab + a) 5 x (2 x3 + x – 4) 5 ab (5 a2 b – 2 b + 1) H2 H2 25 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Bruchterme Zur Selbstkontrolle sind in der Denkblase alle Ergebnisse. 89 Markiere alle Bruchterme im Kästchen. 90 Ordne jedem Bruchterm eine passende Definitionsmenge zu. a) b) 1 4 x _ x + 3 A ⅅ = ℝ \{3} 1 x2 _ x + 6 A ⅅ = ℝ \{3} 2 2 _ x + 1 B ⅅ = ℝ \{– 3} 2 2 _ 2 x – 1 B ⅅ = ℝ \{– 3} 3 3 _ 3 – x C ⅅ = ℝ \{0} 3 5 x _ 1 + x C ⅅ = ℝ \{0,5} 4 4 _ 3 x D ⅅ = ℝ \{– 1} 4 4 x _ 2 x + 6 D ⅅ = ℝ \{– 1} E ⅅ = ℝ \{+ 1} E ⅅ = ℝ \{+ 1} F ⅅ = ℝ \{4} F ⅅ = ℝ \{– 6} 91 Kürze den Bruchterm so weit, wie möglich. a) 12 x _ 36 y = b) 6 x2 _ 2 x3 = c) 6 y _ 15 xy = d) 12 x2 y _ 18 xy2 = 92 Hebe aus Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren heraus und kürze dann den Bruchterm. a) 5 x + 5 _ 9 x + 9 = b) 7 a – 21 _ 5 a – 15 = c) 10 r – 30 __ 15 r – 60 = d) 4 y + 12 _ 2 y + 6 = e) 4 x + 4 y __ 7 x + 7 y = 12 H3 H3 H2 H2 4 _ y2 2 _ 5 x 1F, 2C, 3D, 4B 9 _ y 2 x _ 3 y 2 (r − 3) _ 3 (r − 4) 1 _ x y 4 _ x 8 _ 8 x x _ y 7 _ 5 2 x _ 4 x ; 3 _ x 4 _ 7 x _ 3 y 6 _ 3 x 6 x _ 2 x 5 _ 9 1B, 2D, 3A, 4C 7 _ y 9 _ x y 26 C TERME UND BRUCHTERME 4 _ 2 x _ 4 4 _ x x _ y y2 _ 2 6 _ 3 x 4 _ y2 8 _ 8 x 1 _ xy 10 _ 7 3 _ 2 x _ 4 x 2 5 x _ 4 3 _ 1 7 _ y y _ 5 6 x _ 2 x 5 _ 5 y 9 _ y 9 _ xy x _ 11 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind in der Denkblase alle Ergebnisse. 93 Gib die Definitionsmenge zu den Bruchtermen an. a) 15 ___ (2 x + 1) · (x – 4) b) y + 1 __ y3 · (5 – 4 y) c) z + 9 ___ 5 z · (2 z + 8) (3 z – 1) d) (x – 22) ___ (5 x – 1) (2 x + 6) e) 2 · (6 y + 1) __ (2 y – 32) f) z + y ___ 0,5 · (z + 2) (2 z – 1) 94 Kürze die Bruchterme so weit, wie möglich. a) 12 a2 b3 _ 6 a3 b = b) 15 abc __ 75 a2 b2 c2 = c) 48 a 4b3 _ 12 a2 b4 = d) 10 a2 c __ 45 a2 b2 c2 = e) 32 a2 b2 c3 __ 16 a2 b4 c5 = f) 2 ab2 c __ 16 a2 b4 c5 = 95 Faktorisiere Zähler und Nenner. Kürze dann den Bruchterm. a) 4 k2 – 12 kr + 9 r2 ___ 8 k – 12 r = b) 2 2 k2– r2 3 __ k2 + 2 kr + r2 = c) 5 m · 2 (m + n) __ m2 + 2 m n + n2 = d) m2 – 3 m __ m2 – 6 m + 9 = H2 H2 H2 1 _ 8 a b2 c4 D = ℝ\{ 4,5 } 10 m _ m + n D = ℝ\{ − 3; 1 _ 5 } 2 _ b2 c2 D = ℝ\{0; 5 _ 4 } 1 _ 5 a bc D = ℝ\{– 0,5; 4} m _ m − 3 4 a2 _ b 2 k − 3 r _ 4 D = ℝ\{ − 4; 0; 1 _ 3 } 2 b2 _ a 2 b 2 _ a 2 k − 2 r _ k + r D = ℝ\{ − 2; 0,5 } 2 _ 9 b2 c 27 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse im Pfeil unten dargestellt. Zwei falsche Terme sind auch dabei. Wie lauten diese? 96 Multipliziere die Bruchterme. Kürze dann. a) 3 _ a ∙ 6 _ 9 b = b) 8 c _ a ∙ 5 a _ 2 bc = c) 7 _ 2 m ∙ 8 m _ 28 n2 = d) k 2 _ 6 h2 ∙ 2 h _ 3 k = 97 Multipliziere den Bruchterm mit der Variablen. a) a – 1 _ b + 1 ∙ a = b) x – 1 _ y + 1 ∙ z = c) m + 4 n _ 2 n ∙ m = 98 Multipliziere die Bruchterme. a) a + 1 _ 2 ∙ 1 _ a + 2 = b) a – 1 _ 4 ∙ 2 _ a – 2 = c) a + 3 _ 9 ∙ 3 _ a + 3 = 99 Führe die Multiplikation durch. Kürze vor dem Multiplizieren. a) 4 · (a + 1) __ 8 a ∙ 2 _ a + 1 = b) 3 b __ 5 · (b – 3) ∙ b – 3 _ 6 = 100 Berechne den Quotienten und vereinfache das Ergebnis. a) 3 _ a : 27 _ a2 = c) 18 m2 _ 2 n : 6 m _ 4 n2 = b) 8 _ 2 b : 16 _ 4 a2 = d) 2 x 2t _ 10 : t2 _ 6 x = 101 Berechne den Quotienten und vereinfache das Ergebnis. a) 3 _ a2 : 9 = b) 3 a _ b : 4 a = c) 6 m2 _ n2 : 2 m = d) k 2 _ h3 : 5 k = 13 H2 H2 H2 H2 H2 H2 a − 1 _ 2 a − 4 3 _ 4 b k _ 9 h 1 _ 3 6 m n a − 1 _ a + 4 ; 3 m _ m + n xz − z _ y + 1 2 _ a b a 2 − a _ b + 1 a2 _ b 3 m _ n2 m 2 + 4 m n __ 2 n 1 _ n2 a + 1 _ 2 a + 4 k _ 5 h3 a _ 9 20 _ b 6 x 3 _ 5 t 1 _ 3 a2 1 _ a b _ 10 28 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse im Pfeil unten dargestellt. Einige falsche Terme sind auch dabei. Wie lauten diese? 102 Vereinfache den Term. a) 4 x + 2 y __ 9 x – 18 y · 3 x – 6 y __ 2 x + y = b) 15 x + 9 y __ 4 x – 6 y · 2 x – 3 y __ 5 x + 3 y = 103 Vereinfache den Bruchterm so weit, wie möglich. a) x + 2 _ 3 + x · x2 + 4 x + 4 __ 6 x + 12 = b) y2 – 25 _ x + y · x2 – y2 _ y + 5 = 104 Vereinfache den Bruchterm so weit, wie möglich. a) x + 3 _ 2 x – 2 : 2 x + 6 __ 5 (x – 1) = b) 10 x + 30 __ 4 (2 – y) : 5 x + 15 _ 6 – 3 y = 105 Vereinfache den Bruchterm so weit, wie möglich. a) 4 x2 + 20 x + 25 __ x – 3 : 2 x + 5 _ x2 – 9 = b) y2 – 16 y + 64 __ y + 8 : y2 – 64 _ y – 8 = 106 Vereinfache den Doppelbruch. a) 5 a _ a + 9 b _ 10 b = b) x – 7 _ x2 – 49 _ x _ (x + 7)2 = H2 H2 H2 H2 H2 3 _ 2 1 _ 3 ; y − 8 _ 8 ; x _ x + 6 2 x 2 + 11 x + 15 5 _ 4 (x + 2)2 _ 18 + 6 x x y − 5 x − y2 + 5 y (y − 8)2 _ (y + 8)2 2 _ 3 X x + 7 _ x 3 _ 2 50 a b _ a + 9 b 29 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einer Tabelle unten. Markiere die passenden Felder farbig und du erhältst ein Muster. 107 Vervollständige die Tabelle. Erweitere dazu den Bruchterm mit dem angegebenen Term. a) 5 _ xz b) 3 _ x + 2 c) 4 _ x – 1 d) xy _ y – 2 3 x xy 108 Führe die Rechnung mit Bruchtermen durch. a) 15 x + y _ y + 1 + 6 x – 4 y __ y + 1 = b) 5 x + 2 y __ x + y – 4 y – 3 x __ x + y = c) 9 x + 3 _ x + 6 – y + 2 x _ x + 6 = d) x + 5 _ 2 y + 4 x – y _ 2 y = 109 Bringe die Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner und führe dann die Rechenoperation aus. a) 4 + b _ 8 a + 2 b + a _ 16 a = b) 2 – b _ 3 a + a – b _ 6 a = c) 9 _ a – 2 – 5 _ 2 a – 4 = d) 1 + b _ 6 b – 3 – b _ 3 b = 4 x _ x2 − x 7x+3−y __ x + 6 15 _ 3 x z 3 x y __ x2 y + 2 x y 5 x _ x2 z 3 x y _ 3 y − 6 4 x y __ x2 y − x y x2 y2 __ x y2 − 2 x y 9 _ 3 x + 6 24 _ 3 x 12 _ 3 x − 3 x y __ x y2 – 2 x y 8 x − 2 y __ x + y 9 _ 3 x + 3 21 x − 3 y __ y + 1 3 x y __ x y2 + 2 x y 21 x – 3 y __ y + 1 8 x – 2 y __ x + y 7x+3–y __ x + 6 5 x + 5 – y __ 2 y a + 4 b + 8 __ 16 a 4 + a – 3 b __ 6 a 13 _ 2 a – 4 – 5 + 3 b __ 6 b 5 x + 5 − y __ 2 y x2 · y _ 2 x x2 y __ x y − 2 x 5 x2 · y _ x y z 5 x y _ x2 y z 5 x _ x z 3 x _ x2 + 2 x 4 x _ x – x2 14 H2 H2 H2 30 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einer Tabelle unten. Markiere die passenden Felder farbig und du erhältst ein Muster. 110 Vereinfache die Addition bzw. die Subtraktion so weit, wie möglich. a) 9 x2 __ x2 + 2 xy + 4 x _ x + 2 y = b) xy + y __ y2 – 4 xy – 3 + x _ y – 4 x = c) 12 _ x – y – 5 _ x2– y2 = d) 7 _ y – 1 + 3 _ y2– 1 = e) 3 __ 9 n2 + 3 n – n _ 3 n + 1 = 111 Bringe die Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner und führe dann die Rechenoperation aus. a) 4 a __ 3 a + 3 b – 5 a _ a2 – b2 = b) 8 a __ 2 a + 6 b + 3 __ a2 + 6 ab + 9 b2 = 2 – n2 __ 9 n2 – 3 n – 2 y __ y2 – 4 xy y + 10 _ y – 1 12 x _ x2 + y2 15 _ n + n2 4 a2 – 4 ab – 15 a ___ 3 a2 – 3 b2 8 a + 24 a b __ (a + 3 b)2 13 x 2 __ x2 + 2 xy 3 – x _ 9 x 12 x + 12 y – 5 __ x2 – y2 12 x + 12 y __ x2 – y2 3 – 3 n2 __ 9 n2 + 3 n a2 – 4 a b __ 2 b + 1 8 a2 + 24 ab + 6 __ 2 (a + 3 b)2 a2 + b2 _ a – b y2 – 1 _ 1 + y x + y _ x y2 7 y + 10 _ y2 – 1 4 x _ x2 + y2 y _ y2 – 4 10 _ y2 + 1 H2 H2 31 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Die vier Grundrechnungsarten mit Bruchtermen Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in der Tabelle unten dargestellt. Markiere die Wörter darüber und du erhältst einen Lösungssatz. 112 Vereinfache die Rechnung. a) 4 _ b – 3 _ b2 ∙ b _ 2 = b) b + 1 _ b ∙ 5 – 2 _ 3 = c) 7 _ b ∙ 3 b _ 10 – 6 _ b2 ∙ b _ 5 = d) 2 1 – 2 _ b 3 : 5 _ 2 b – 2 _ b = e) 8 – b _ b2 : 16 b _ 2 – 1 _ b = 113 Ordne die Bruchterme richtig zu. a) 1 2 _ a – 3 _ a ∙ a _ b = A 3 (a + b) __ ab b) 1 4 _ x + 2 x _ 4 ∙ 4 x _ 2 3 = A 4 _ x – 8 2 3 _ a + 2 _ a ∙ a _ b = B 9 _ a2 + 1 2 2 4 _ x + x _ 4 3 ∙ 4 x _ 2 = B 4 x _ 3 3 3 _ a ∙ 3 _ a + a _ a = C 3 b + a3 _ a2 b 3 4 _ x + 2 x _ 4 : 2 x _ 4 3 = C 4 _ x + 1 _ 2 4 3 _ a – 2 _ a : a _ b = D 2 _ a – 3 _ b 4 4 _ x – 2 4 _ x ∙ 4 x _ 2 3 = D 2 + x2 _ 3 x E 3 _ a + 2 _ b E x 2 _ 2 + 4 _ x F – 2 b _ a2 + 3 _ a F x2 _ 2 + 8 Das hast er du heute sehr super gut gerechnet ! 5 _ 2 b 13 b + 15 __ 3 b 21 b + 12 __ 10 b 21 b – 12 __ 10 b 2 b2 – 4 b – 10 __ 5 b 8 b2 – b + 8 __ 8 b3 1A; 2E; 3B; 4C 1D; 2E; 3B; 4F 1E; 2F; 3C; 4A 1E; 2F; 3A; 4C LÖSUNGSSATZ: 15 H1, H2 H1, H2 32 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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