Merke Muster 4 Quadratwurzeln mit Variablen Man kann Potenzen mit Variablen quadrieren. Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens, daher kann man auch Wurzeln aus Potenzen mit Variablen ziehen: ( x 8 ) 2 = x 8 · 2 = x 16 , also gilt 9 __ x 16 = x 16 : 2 = x 8 Man kann also die Quadratwurzeln aus Potenzen mit geradem Exponenten ziehen, indem man den Exponenten halbiert. 83 Ergänze die Lücken. a) 9 __ x 10 = x , weil ( x ) 2 = x b) 9 __ x 16 = x , weil ( x ) 2 = x c) 9 __ x 42 = x , weil ( x ) 2 = x d) 9 __ x 6 = x , weil ( x ) 2 = x 84 Berechne und mache jeweils die Probe. a) 9 __ 16 = 9 __ x 16 = b) 9 __ 36 = 9 __ x 36 = c) 9 __ 64 = 9 __ x 64 = 85 Berechne die Quadratwurzel. a) 9 __ a 2 b) 9 _ t 8 c) 9 __ s 30 d) 9 __ k 100 e) 9 __ u 38 f) 9 __ j 42 g) 9 __ b 140 86 Kreuze wahr oder falsch an? a) 9 __ x 16 = x 4 æ wahr æ flasch b) 9 __ x 36 = x 18 æ wahr æ flasch c) 9 __ x 64 = x 8 æ wahr æ flasch Rechengesetze mit Quadratwurzeln 87 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an. æ 9____ 36 + 4 = 9 __ 36 + 9 _ 4 æ 9 ___ 36 · 4 = 9 __ 36 · 9 _ 4 æ 9 ____ 36 – 4 = 9 __ 36 – 9 _ 4 æ 9 __ 36 _ 4 = 9__ 36 _ 9_ 4 Da das Quadratwurzelziehen die Umkehrung des Quadrieren ist, gelten hier die gleichen Zusammenhänge wie beim Quadrieren. Z.B.: 9 __ 4 · 9 = 9 _ 4 · 9 _ 9 = 2 · 3 = 6 und 9 _ 4 _ 9 = 9_ 4 _ 9_ 9 = 2 _ 3 Rechenregeln für Wurzeln 9___ a · b = 9_ a · 9 _ b (a, b ≥ 0) 9 _ a _ b = 9_ a _ 9_ b (b ≠ 0) Beachte: 9 ___ a + b ≠ 9_ a + 9 _ b 9 ___ a – b ≠ 9_ a – 9 _ b 88 Ziehe die Quadratwurzeln, ohne den Taschenrechner zu verwenden. a) 9 ____ 4 · 100 b) 9 __ 9 _ 16 c) 9____ 4 · 144 d) 9 __ 100 _ 121 e) 9____ 16 · 25 f) 9 __ 36 _ 49 g) 9____ 25 · 100 h) 9 __ 36 _ 16 i) 9____ 25 · 144 j) 9 __ 121 _ 16 89 Berechne die Quadratwurzel. a) 9 ___ 4 x 16 b) 9 __ 9 t 6 _ u 10 c) 9 ___ 4 y 6 z 8 d) 9 ___ 100 r 12 _ 9 s 4 e) 9 ____ 16 u 2 v 8 f) 9 ___ 36 m6 _ 49 n8 In den folgenden Beispielen stehen die Variablen nur für Zahlen größer oder gleich 0. H2 H2 H2 H2 H2 ÓErklärvideo 7g92gw Merke Ó Erklärvideo 7gh9f8 H2 H2 Beachte, dass in der verkürzten Schreibweise die Multiplikationssymbole weggelassen werden! 9___ x 8 y 16 = 9 __ x 8 · 9 __ y 16 13 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen æ Ich kann Bruchterme multiplizieren. æ Ich kann Bruchterme dividieren. Bruchterme multiplizieren Beim Multiplizieren von Bruchtermen gelten die gleichen Regeln wie beim Multiplizieren von Brüchen. Es gilt a _ b · c _ d = a · c _ b · d sprich „Zähler 1 · Zähler 2“ durch „Nenner 1 · Nenner 2“. Multipliziere und vereinfache so weit wie möglich. a) 2 _ a · 3 _ b = b) 4 _ m · 5 m _ 6 n = a) 2 _ a · 3 _ b = b) 4 _ m · 5 m _ 6 n = = 2 · 3 _ a · b = 6 _ ab = 4 · 5 m _ m · 6 n = 10 _ 3 n 367 Multipliziere die Bruchterme. a) 3 _ a · 5 _ b = _ b) 3 _ c · e _ d = _ c) f _ g · h _ i = _ d) 2 j _ k · 3 l _ m = _ e) 6 _ n · 7 _ n = _ f) 3 p _ 7 s · 5 q _ 8 t = _ 368 Multipliziere die Bruchterme und vereinfache so weit wie möglich. i) Schreibe die Bruchterm auf einen Bruchstrich. ii) Kürze zuerst und multipliziere danach. a) 3 _ a · 5 _ 6 b = b) 4 c _ a · 5 a _ 2 b = c) 7 _ 2 m · 8 m _ 21 n = d) k2 _ 6 h2 · 2 h _ k = e) pq _ 6 · 9 _ 2 p = 369 Multipliziere die Bruchterme. Achte auf die Potenzen. a) 9 a2 b _ c · 5 a2 c _ b2 = b) 4 d2 e3 _ 3 f2 · 9 df _ 8 e2 = c) 7 g _ 2 h2 i2 · 8 gh2 _ 14 i = d) k 2 j2 l2 · jl2 _ k = e) m3 _ 4 no2 · n2 o _ 4 m2 = 370 Kontrolliere die beiden Lösungswege. i) Wurde richtig gerechnet? ii) Worin besteht der Unterschied? iii) Welcher Lösungsweg ist einfacher? Begründe. Lösungsweg 1: Lösungsweg 2: 12 a2 _ 14 b3 · 21 b2 18 a2 = 12 a2 _ 14 b3 · 21 b2 _ 24 a2 = 12 a2 _ 14 b3 · 21 b2 _ 24 a2 = 252 a2b2 __ 336 b2a2 = 126 _ 168 b = 3 _ 4 b 12 a2 _ 14 b3 · 21 b2 _ 24 a2 = 3 _ 4 b 371 Berechne das Produkt. a) a _ b · 2 = b) x _ y · z = c) 3 · 2 m _ n · = d) y · 5 _ x2 = e) 4 · 4 _ s = f) c · 2 c _ 3 e2 · = g) 5 f _ g · 6 = h) k 2 · 5 _ h2 = Merke Ó Arbeitsblatt 8hy3rj Muster 2 3 ÓErklärvideo 7ja59i H2 H2 H2 H2, H4 126 168 63 84 12 4 2 2 1 3 9 3 H2 Eine Zahl oder Variable kann man einfach in einen Bruch verwandeln: a _ b · c = a _ b · c _ 1 = a · c _ b Leon kann sich noch an das Bruchrechnen aus der 2. Klasse erinnern. „In der zweiten Klasse haben wir auch schon Brüche multipliziert. Das ging so: 2 _ 5 · 3 _ 7 = 2 · 3 _ 5 · 7 = 6 _ 35 .“ Ist die Rechnung von Leon richtig? Leon überlegt: „Wenn dieser Lösungsweg für das Multiplizieren mit Brüchen richtig ist, dann gilt er sicher auch für das Multiplizieren von Bruchtermen!“ Was vermutest du? Gelten hier die gleichen Regeln? Bruchrechnen a _ b · c _ d = a · c _ b · d Merke 74 So arbeitest Du mit Lösungswege 4 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigen soll, wo einem der Inhalt dieses Kapitels im Alltag begegnet. Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, um die folgenden Aufgaben gut lösen zu können. Ein Muster-Beispiel zeichnet einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Aufgaben genutzt werden kann. 198 200 203 202 Die Punkte neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Punkt bedeutet leicht, zwei Punkte bedeuten mittel und drei Punkte bedeuten schwer. 198 200 203 202 Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen, weil man diese in der Aufgabe anwenden soll. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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