53 Setzte ein * oder + ein. 9 __ 16 ℝ 9 ___ 0,25 ℝ 9 __ 0,5 ℝ 9 __ 13 ℝ 9 _ 3 _ 3 ℝ 0, 7˙ ℝ 2 _ 9 ℝ 9 __ 16 I 9 ___ 0,25 I 9 __ 0,5 I 9 __ 13 I 9 _ 3 _ 3 I 0, 7˙ I 2 _ 9 I 54 Magda erzählt ihrer Freundin: „9 _ 2ist keine rationale, sondern eine irrationale Zahl.“ Ihre Freundin möchte nun wissen, warum 9 _ 2keine rationale Zahl ist. Welche der folgenden Argumente sind zutreffend, welche nicht? richtig falsch 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil die Quadratwurzel einer Zahl nie rational ist æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil man 9 _ 2nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen schreiben kann æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl niemals eine rationale Zahl sein kann æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil 9 _ 2in Dezimalschreibweise unendlich, aber nicht periodisch, ist æ æ 55 In der Abbildung rechts siehst du das Ergebnis einer Rechnung auf einem Taschenrechnerdisplay. Matthias behauptet: „Das Ergebnis ist eine rationale Zahl, weil der Taschenrechner die Zahl als endliche Dezimalzahl darstellt.“ Stimmst du seiner Argumentation zu? Begründe deine Antwort. 56 Für Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsmöglichkeiten. So ist etwa 1 _ 2 = 0,5 als endliche Dezimalzahl oder 1 _ 6 = 0,16˙ als periodische Dezimalzahl darstellbar. Unten sind Aussagen zur Darstellungsmöglichkeiten verschiedener Zahlen gegeben. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. æ J ede rationale Zahl lässt sich als endliche Dezimalzahl oder als periodische Dezimalzahl darstellen. æ Jede reelle Zahl kann als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. æ Jeder Bruch zweier ganzer Zahlen kann als endliche Dezimalzahl dargestellt werden. æ Es gibt rationale Zahlen, die man nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann. æ Es gibt Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Für positive Zahlen ist das Quadratwurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann in den reellen Zahlen nicht gezogen werden, weil das Produkt aus zwei gleichen reellen Zahlen nie negativ sein kann. Z.B.: 9 __ – 4kann nicht (– 2) sein, weil (– 2)2 = + 4. Es kann auch nicht (+ 2) sein, weil (+ 2)2 = + 4. Daher ist die Rechenoperation „Quadratwurzelziehen“ auf die Menge der positiven reellen Zahlen ℝ+ und 0 beschränkt. Es gilt: 9 __ – 4 + ℝ und damit auch 9 __ – 4 + ℚ und 9 __ – 4 + I. 57 Eva hat 9 __ – 9in die Mengenabbildung eingezeichnet. Stimmst du ihr zu? Begründe, dass 9 __ – 9nicht in der Menge der reellen Zahlen liegen kann. 58 In welchen Mengen liegen diese Zahlen? Kreuze alle entsprechenden Mengen an. − 9 _ 4 * æ ℝ æ ℚ æ I 9 __ – 4 * æ ℝ æ ℚ æ I 9 _ 2 * æ ℝ æ ℚ æ I H2 H3, H4, 9 _ 2= 0,14285714286… 2nd % +/– M+ C/AC 4 · = 6,92820 9 _ 3 H4 H3 ÓErklärvideo 7g5t9a H4 I 9__ – 9 Q Z N R H3 17 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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