Löse die Gleichung: 6 _ x = 8 _ x + 1 . 1. Schritt: Zuerst bestimmt man die Definitionsmenge. Die beiden Nenner dürfen nicht Null sein, daher ist x ≠ 0 und x + 1 ≠ 0 ¥ x ≠ –1. Also gilt: D = ℝ \ { – 1; 0 } 2. Schritt: Um die Gleichung lösen zu können multipliziert man sie mit den einzelnen Nenner- Termen: 6 _ x = 8 _ x + 1 | · x Als Abkürzung kann man sich Folgendes merken: 6 = 8 _ x + 1 · x | · (x + 1) Äquivalenzumformung: 6 · (x + 1) = 8 · x a _ b = c _ d | · b · d (kreuzweises Multiplizieren) 6 x + 6 = 8 x | – 6 x a · d = b · c 6 = 2 x | : 2 3 = x 3. Schritt: Abschließend muss immer überprüft werden, ob die Lösung auch wirklich in der Definitionsmenge liegt. In diesem Fall ist 3 in der Definitionsmenge enthalten, also ist x = 3 wirklich die Lösung der Gleichung. ¥ L = { 3 } 531 Ordne die äquivalenten Bruchgleichungen einander zu. Ein Buchstabe kann zweimal auftreten. a) 1 70 _ x = 14 _ x + 2 A 70 · 14 = (x + 2)x b) 1 x _ 2 = 5 _ 9 – x A 5 x = 2 (9 – x) 2 x + 2 _ 70 = 14 _ x B 70 · (x + 2)= 14 x 2 5 _ x = 2 _ 9 – x B (9 – x)x = 5·2 3 70 _ 14 = x + 2 _ x C (x + 2)· 14 = 70 x 3 2 _ x = 5 _ 9 – x C 2x = (9 – x)·5 4 x _ 70 = 14 _ x + 2 4 5 _ 2 = 9 – x _ x 532 Bestimme die Definitionsmenge dieser Bruchgleichung und gib die Lösungsmenge an. a) 18 _ 2 = 3 _ x b) 70 _ x = 14 _ 2 c) 5 _ 2 = 45 _ 9 x d) 1 _ 2 x = 3 _ 18 e) 42 _ 2 x = 14 _ 2 f) 6 _ 42 = 10 _ 5 x 533 Gib die Definitionsmenge an und löse die Bruchgleichung. Mache auch die Probe. a) a _ a – 1 = 2 b) f – 2 _ f = 2 c) 4 _ t = 2 _ t – 1 d) 3 _ 2 k – 3 = 1 _ k + 1 e) 4 = 2 x _ x – 2 f) 3 – n _ n = 5 g) 8 _ u = 16 _ u – 4 h) 9 _ 2 v – 5 = 1 _ v + 1 534 Bestimme die Definitionsmenge dieser Bruchgleichung und gib die Lösungsmenge an. a) 3 _ x = 6 _ x + 1 b) 6 _ x + 3 = – 2 x _ x + 3 c) 100 _ x + 2 = 120 _ x d) 42 _ x + 14 = – 3 x _ x + 14 e) 6 _ 2 x = 24 _ x + 1 f) 5 _ x + 9 = 12 _ 3 x g) – 8 _ x + 2 = 4 x _ x + 2 h) 40 _ x = 50 _ x + 1 i) 4 _ x = 5 _ x + 20 j) 5 _ 2 x – 3 = 1 _ x 535 Bestimme die Definitionsmenge dieser Bruch und gib die Lösungsmenge an. a) g _ g – 3 = g + 6 _ g b) 3 z – 3 _ 2 z + 3 = 3 z – 5 _ 2 z + 4 c) 2 t + 8 _ t + 3 = 2 t – 2 _ t – 3 d) l + 2 _ l – 2 = l – 4 _ l + 2 e) k – 3 _ k + 5 = k – 1 _ k + 1 f) 2 p – 3 _ 3 p + 3 = 2 p – 2 _ 3 p + 4 Muster Ó Erklärvideo 7pj4f5 H3 H2 H2 Falls der gefundene x-Wert nicht in der Definitionsmenge ist, dann ist die Lösungsmenge leer. Z.B: 3 _ x – 2 = x + 1 _ x – 2 ¥ x = 2 aber x + D = ℝ \ { 2 } ¥ L = {} H2 H2 113 E Gleichungen und Bruchgleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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