Lösungswege 4, Schulbuch

1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2024 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Roman Miksch, Wien Herstellung: Alexandra Brych, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Satz: Da-Tex Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN978-3-209-11128-9 (Lösungswege 4, Schülerbuch und E-Book) ISBN978-3-209-11140-1 (Lösungswege 4, Schülerbuch mit E-Book+) ISBN978-3-209-13071-6 (Lösungswege 4, Schülerbuch E-Book Solo) ISBN978-3-209-13073-0 (Lösungswege 4, Schülerbuch E-BOOK+ Solo) Lösungswege 4, Schülerbuch und E-Book Schulbuchnummer: 215517 Lösungswege 4, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 215519 Lösungswege 4, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 215520 Lösungswege 4, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer: 215521 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 11. März 2024, Geschäftszahl: 2022-0.7 40.321, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 4. Klassen an Mittelschulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik und für die 4. Klassen an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die reellen Zahlen..................... 6 Die Menge der rationalen Zahlen.. . . . . . . . . . . . 7 Die Menge der reellen Zahlen.. . . . . . . . . . . . . . . 14 Rechnen mit Quadratwurzeln.. . . . . . . . . . . . . . . . 20 RechnenmitKubikwurzeln.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Zusammenfassung .......................... 28 Selbstkontrolle.............................. 29 B Der Lehrsatz des Pythagoras......... 32 Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkeligen Dreieck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras inebenenFiguren........................... 36 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras beiKörpern.................................. 42 Der Höhen- und der Kathetensatz.. . . . . . . . . . . . 48 Zusammenfassung .......................... 50 Selbstkontrolle.............................. 51 C Terme und Bruchterme 54 Terme aufstellen und interpretieren.. . . . . . . . . . 55 RechnenmitTermen......................... 60 FaktorisierenvonTermen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Bruchterme.................................. 70 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen................................ 74 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen................................ 78 Die vier Grundrechnungsarten mit Bruchtermen................................ 82 Zusammenfassung .......................... 84 Selbstkontrolle.............................. 85 D Statistik................................ 88 Statistische Kennzahlen und Boxplot.. . . . . . . . . 89 Histogramme und Stängel-Blatt-Diagramme.. . 96 Zusammenfassung .......................... 100 Selbstkontrolle.............................. 101 DIGI Statistische Kennzahlen und Boxplot mit Excel ................................... 104 E Gleichungen und Bruchgleichungen . . 106 Lineare Gleichungen in einer Variablen .. . . . . . 107 Bruchgleichungen........................... 112 Textgleichungen............................. 116 Zusammenfassung .......................... 120 Selbstkontrolle.............................. 121 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 Inhalt Zahlen und Maße Variablen, funktionale Abhängigkeiten Geometrische Figuren und Körper Statistische Darstellungen und Kenngrößen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

F Der Kreis................................ 124 DerUmfangdesKreises...................... 125 Der Flächeninhalt des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . 130 DerKreisring................................ 134 DerKreissektor.............................. 138 Zusammengesetzte Figuren.. . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Zusammenfassung .......................... 146 Selbstkontrolle.............................. 147 G Funktionen............................. 150 Zusammenhänge aus dem Alltag.. . . . . . . . . . . . 151 Funktionen – Grundbegriffe.. . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Darstellung von Funktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . 162 LineareFunktionen.......................... 165 NichtlineareFunktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Zusammenfassung .......................... 182 Selbstkontrolle.............................. 183 DIGI Analyse von Funktionen mit Excel ............ 186 H Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.................. 188 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.. . 189 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten graphisch lösen.. . . . . . . . . . 194 Rechnerische Lösungsverfahren .. . . . . . . . . . . . . 198 Textaufgaben zu linearen Gleichungs- systemen mit zwei Unbekannten 204 Zusammenfassung .......................... 212 Selbstkontrolle.............................. 213 I Zylinder, Kegel, Kugel.................. 216 Das Volumen des Drehzylinders.. . . . . . . . . . . . . . 217 Die Oberfläche des Drehzylinders.. . . . . . . . . . . . 220 Das Volumen des Drehkegels.. . . . . . . . . . . . . . . . 224 Die Oberfläche des Drehkegels .. . . . . . . . . . . . . . 228 Volumen und Oberfläche der Kugel .. . . . . . . . . . 232 Zusammengesetzte Körper.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Zusammenfassung .......................... 240 Selbstkontrolle.............................. 241 J Wiederholung der Inhalte der Sekundarstufe 1 .......................... 244 ZahlenundMaße............................ 245 ArbeitenmitVariablen....................... 248 Arbeiten mit Modellen und Statistik .. . . . . . . . . 250 Arbeiten mit Figuren und Körpern .. . . . . . . . . . . 252 Themenzentrierte Aufgaben.. . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Anhang Lösungen der Selbstkontrollaufgaben . . . . . . . . 260 Sachregister................................ 269 Bildnachweis............................... 271 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Merke Muster 4 Quadratwurzeln mit Variablen Man kann Potenzen mit Variablen quadrieren. Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens, daher kann man auch Wurzeln aus Potenzen mit Variablen ziehen: ( x 8 ) 2 = x 8 · 2 = x 16 , also gilt 9 __ x 16 = x 16 : 2 = x 8 Man kann also die Quadratwurzeln aus Potenzen mit geradem Exponenten ziehen, indem man den Exponenten halbiert. 83 Ergänze die Lücken. a) 9 __ x 10 = x  , weil ( x  ) 2 = x  b) 9 __ x 16 = x  , weil ( x  ) 2 = x  c) 9 __ x 42 = x  , weil ( x  ) 2 = x  d) 9 __ x 6 = x  , weil ( x  ) 2 = x  84 Berechne und mache jeweils die Probe. a) 9 __ 16 = 9 __ x 16 = b) 9 __ 36 = 9 __ x 36 = c) 9 __ 64 = 9 __ x 64 = 85 Berechne die Quadratwurzel. a) 9 __ a 2 b) 9 _ t 8 c) 9 __ s 30 d) 9 __ k 100 e) 9 __ u 38 f) 9 __ j 42 g) 9 __ b 140 86 Kreuze wahr oder falsch an? a) 9 __ x 16 = x 4 æ wahr æ flasch b) 9 __ x 36 = x 18 æ wahr æ flasch c) 9 __ x 64 = x 8 æ wahr æ flasch Rechengesetze mit Quadratwurzeln 87 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an. æ 9____ 36 + 4 = 9 __ 36 + 9 _ 4 æ 9 ___ 36 · 4 = 9 __ 36 · 9 _ 4 æ 9 ____ 36 – 4 = 9 __ 36 – 9 _ 4 æ 9 __ 36 _ 4 = 9__ 36 _ 9_ 4 Da das Quadratwurzelziehen die Umkehrung des Quadrieren ist, gelten hier die gleichen Zusammenhänge wie beim Quadrieren. Z.B.: 9 __ 4 · 9 = 9 _ 4 · 9 _ 9 = 2 · 3 = 6 und 9 _ 4 _ 9 = 9_ 4 _ 9_ 9 = 2 _ 3 Rechenregeln für Wurzeln 9___ a · b = 9_ a · 9 _ b (a, b ≥ 0) 9 _ a _ b = 9_ a _ 9_ b (b ≠ 0) Beachte: 9 ___ a + b ≠ 9_ a + 9 _ b 9 ___ a – b ≠ 9_ a – 9 _ b 88 Ziehe die Quadratwurzeln, ohne den Taschenrechner zu verwenden. a) 9 ____ 4 · 100 b) 9 __ 9 _ 16 c) 9____ 4 · 144 d) 9 __ 100 _ 121 e) 9____ 16 · 25 f) 9 __ 36 _ 49 g) 9____ 25 · 100 h) 9 __ 36 _ 16 i) 9____ 25 · 144 j) 9 __ 121 _ 16 89 Berechne die Quadratwurzel. a) 9 ___ 4 x 16 b) 9 __ 9 t 6 _ u 10 c) 9 ___ 4 y 6 z 8 d) 9 ___ 100 r 12 _ 9 s 4 e) 9 ____ 16 u 2 v 8 f) 9 ___ 36 m6 _ 49 n8 In den folgenden Beispielen stehen die Variablen nur für Zahlen größer oder gleich 0. H2 H2 H2 H2 H2 ÓErklärvideo 7g92gw Merke Ó Erklärvideo 7gh9f8 H2 H2 Beachte, dass in der verkürzten Schreibweise die Multiplikationssymbole weggelassen werden! 9___ x 8 y 16 = 9 __ x 8 · 9 __ y 16 13 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen æ Ich kann Bruchterme multiplizieren. æ Ich kann Bruchterme dividieren. Bruchterme multiplizieren Beim Multiplizieren von Bruchtermen gelten die gleichen Regeln wie beim Multiplizieren von Brüchen. Es gilt a _ b · c _ d = a · c _ b · d sprich „Zähler 1 · Zähler 2“ durch „Nenner 1 · Nenner 2“. Multipliziere und vereinfache so weit wie möglich. a) 2 _ a · 3 _ b = b) 4 _ m · 5 m _ 6 n = a) 2 _ a · 3 _ b = b) 4 _ m · 5 m _ 6 n = = 2 · 3 _ a · b = 6 _ ab = 4 · 5 m _ m · 6 n = 10 _ 3 n 367 Multipliziere die Bruchterme. a) 3 _ a · 5 _ b = _ b) 3 _ c · e _ d = _ c) f _ g · h _ i = _ d) 2 j _ k · 3 l _ m = _ e) 6 _ n · 7 _ n = _ f) 3 p _ 7 s · 5 q _ 8 t = _ 368 Multipliziere die Bruchterme und vereinfache so weit wie möglich. i) Schreibe die Bruchterm auf einen Bruchstrich. ii) Kürze zuerst und multipliziere danach. a) 3 _ a · 5 _ 6 b = b) 4 c _ a · 5 a _ 2 b = c) 7 _ 2 m · 8 m _ 21 n = d) k2 _ 6 h2 · 2 h _ k = e) pq _ 6 · 9 _ 2 p = 369 Multipliziere die Bruchterme. Achte auf die Potenzen. a) 9 a2 b _ c · 5 a2 c _ b2 = b) 4 d2 e3 _ 3 f2 · 9 df _ 8 e2 = c) 7 g _ 2 h2 i2 · 8 gh2 _ 14 i = d) k 2 j2 l2 · jl2 _ k = e) m3 _ 4 no2 · n2 o _ 4 m2 = 370 Kontrolliere die beiden Lösungswege. i) Wurde richtig gerechnet? ii) Worin besteht der Unterschied? iii) Welcher Lösungsweg ist einfacher? Begründe. Lösungsweg 1: Lösungsweg 2: 12 a2 _ 14 b3 · 21 b2 18 a2 = 12 a2 _ 14 b3 · 21 b2 _ 24 a2 = 12 a2 _ 14 b3 · 21 b2 _ 24 a2 = 252 a2b2 __ 336 b2a2 = 126 _ 168 b = 3 _ 4 b 12 a2 _ 14 b3 · 21 b2 _ 24 a2 = 3 _ 4 b 371 Berechne das Produkt. a) a _ b · 2 = b) x _ y · z = c) 3 · 2 m _ n · = d) y · 5 _ x2 = e) 4 · 4 _ s = f) c · 2 c _ 3 e2 · = g) 5 f _ g · 6 = h) k 2 · 5 _ h2 = Merke Ó Arbeitsblatt 8hy3rj Muster 2 3 ÓErklärvideo 7ja59i H2 H2 H2 H2, H4 126 168 63 84 12 4 2 2 1 3 9 3 H2 Eine Zahl oder Variable kann man einfach in einen Bruch verwandeln: a _ b · c = a _ b · c _ 1 = a · c _ b Leon kann sich noch an das Bruchrechnen aus der 2. Klasse erinnern. „In der zweiten Klasse haben wir auch schon Brüche multipliziert. Das ging so: 2 _ 5 · 3 _ 7 = 2 · 3 _ 5 · 7 = 6 _ 35 .“ Ist die Rechnung von Leon richtig? Leon überlegt: „Wenn dieser Lösungsweg für das Multiplizieren mit Brüchen richtig ist, dann gilt er sicher auch für das Multiplizieren von Bruchtermen!“ Was vermutest du? Gelten hier die gleichen Regeln? Bruchrechnen a _ b · c _ d = a · c _ b · d Merke 74 So arbeitest Du mit Lösungswege 4 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigen soll, wo einem der Inhalt dieses Kapitels im Alltag begegnet. Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, um die folgenden Aufgaben gut lösen zu können. Ein Muster-Beispiel zeichnet einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Aufgaben genutzt werden kann. 198 200 203 202 Die Punkte neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Punkt bedeutet leicht, zwei Punkte bedeuten mittel und drei Punkte bedeuten schwer. 198 200 203 202 Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen, weil man diese in der Aufgabe anwenden soll. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 Partielles Quadratwurzelziehen Manchmal ist es sinnvoll, einen Radikanden in ein Produkt zu zerlegen. Zieht man nur aus einem Faktor des Radikanden die Wurzel, so spricht man von partiellem Wurzelziehen. z.B.: 9 __ 63 = 9 __ 9 · 7 = 9 _ 9 · 9 _ 7 = 3 · 9 _ 7 90 Vereinfache durch partielles Wurzelziehen. a) 9 ___ 16 · 3 = b) 9 ___ 2 · 64 c) 9 ____ 169 · 3 = d) 9 ____ 11 · 121 91 Vereinfache durch partielles Wurzelziehen. a) 9__ 4 x = b) 9 __ 3 x2 c) 9 __ 81 s = d) 9 ___ 121 s 92 Vereinfache durch partielles Quadratwurzelziehen. Zerlege den Radikanden in Faktoren. a) 9 ___ 4 900 b) 9 ___ 8 100 c) 9 __ 100 d) 9 __ 225 e) 9 ___ 4 900 f) 9 __ 12 g) 9 __ 24 h) 9 __ 45 i) 9 __ 32 j) 9 __ 28 k) 9 __ 117 l) 9 __ 275 Vereinfache 9 ____ 75 x 3 y 4 durch partielles Quadratwurzelziehen so weit, wie möglich. Lösung: 9 _______ 25 · 3 · x 2 · x · y 4 = 5 · 9 _ 3 · x · 9_ x · y 2 = 5 x y 2 9 __ 3 x 93 Vereinfache durch partielles Quadratwurzelziehen. Zerlege den Radikanden in Faktoren. a) 9 ____ 49 x 2 y 3 b) 9 ____ 9 u 3 v 4 c) 9 ___ 100 x 7 d) 9 _____ 144 p 8 q 2 e) 9 ____ 28 r 4 s 8 f) 9 ____ 12 f 5 h 9 g) 9 ____ 24 w 2 p 2 h) 9 ____ 45 r 2 t 5 i) 9 ____ 32 u 4 x 9 j) 9 _____ 28 v 12 w 11 k) 9 _____ 117 u 90 v 3 l) 9 _____ 125 r 45 s 7 94 Vereinfache durch partielles Quadratwurzelziehen. Zerlege den Radikanden in Faktoren. a) 9 ___ 9 x _ 32 y 2 b) 9 ___ 3 u 2 _121 v c) 9 ___ 100 x _ 16 y d) 9 ___ 20 x 2 _14 y e) 9 __ 28 r 4 _ s 8 f) 9 ___ 12 f 5 _ 24 h 9 g) 9 ___ 24 w 2 _9 p 2 h) 9 __ 45 r 2 _ 8 t 3 i) 9 ___ 32 u 4 _ x 9 j) 9 ___ 28 v 12 _ 16 k 4 k) 9 ___ 117 u 90 _p l) 9 ___ 225 u 42 _ p 13 Gecheckt? æ Ich kann mit Quadratwurzeln rechnen. 95 Berechne die Quadratwurzel. a) 9 __ 49 = b) 9 __ 36 = c) 9 __ y 4 = d) 9 ___ 81 y 8 = æ Ich kenne die Rechenregeln für das Wurzelziehen und kann sie anwenden. 96 Vereinfache durch partielles Wurzelziehen. a) 9 ___ 49 x 4 _ 15 x 3 = b) 9 __ 56 _ 27 x 4 = c) 9 __ 16 x 4 _ 23 = d) 9___ 144 x 8 = Als Radikand bezeichnet man den Term unter der Wurzel. ÓErklärvideo 7gm7nh H1, H2 H1, H2 H2 Verwende Quadratzahlen. ÓArbeitsblatt 7ep7cb Muster H2 H2 H2 H2 Ó Arbeitsblatt 7zm55k 23 A Die reellen Zahlen Eine WortspeicherBox gibt Auskunft, warum manche Worte in der Mathematik genutzt werden, oder erklärt einfach nur schwierige Begriffe. Eine Check-it-Box gibt nützliche Tipps, um die Aufgabe zu lösen. Der Code bei diesem Symbol führt zu zusätzlichen Materialien im Lehrwek Online. Ó Der Gecheckt?-Bereich ist der Abschluss eines Kapitels. Hier kann man überprüfen, ob der Inhalt des Kapitels verstanden wurde. Die History-Box bzw. eine derart formatierte Aufgabe geben Einblicke in die Geschichte der Mathematik. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Reden wir darüber … – Kennst du Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann? – Gibt es eigentlich mehr ganze Zahlen als natürliche Zahlen? – Zwischen zwei ganzen Zahlen können endlich viele ganze Zahlen liegen. Gilt diese Eigenschaft auch für die Menge der rationalen Zahlen? – Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen? Schreibe links neben jeder Lupe vier Zahlen an, die man unter der Lupe sehen kann. Beschrifte auch alle Markierungen auf den unteren Zahlengeraden. Zeichne die periodische Zahl 0,3333… möglichst genau auf einer Zahlengeraden ein. Wie viele Lupen müsste man zusätzlich zu diesen vier verwenden, um die Zahl 0,0000001 als markierten Schritt zu sehen? 012345678910 0 0,1 0,5 1 0 0,01 0,05 0,1 0 0,001 0,01 0 A Die reellen Zahlen Du hast bereits die ganzen Zahlen als Erweiterung der natürlichen Zahlen kennengelernt. Diese hast du dann zu den rationalen Zahlen erweitert. Du wirst lernen, dass sich nicht alle Zahlen als Bruch darstellen lassen. Es wird die Menge der rationalen Zahlen zu der Menge der reellen Zahlen erweitert. Es gibt Zahlen, die unendlich viele Nachkommatstellen besitzen aber nicht periodisch sind. Z.B.: 9 _ 2= 1,4142135624… oder π = 3,14159… Ihre Nachkommastellen gehen unendlich weiter. Es dauert unendlich lange um alle Nachkommastellen aufzuzählen. In der Mathematik nennt man sie irrationale Zahen. ÓLesetext 7z662t 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kenne die rationalen Zahlen und kann diese beschreiben ææ Ich kann rationale Zahlen als Dezimalzahlen und Bruchzahlen anschreiben ææ Ich kenne die Zusammenhänge zwischen den Zahlenmengen und kann diese beschreiben In den letzten Jahren hast du schon einige verschiedene Zahlenmengen kennen gelernt: ℕ, Z und Q. Zahlenmengen Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = { 0, 1, 2, 3, … } Die Menge der ganzen Zahlen: ℤ = { …, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, … } Die Menge der rationalen Zahlen ℚ: Jede Zahl, die man als Bruch ganzer Zahlen anschreiben kann, nennt man rationale Zahl. Jede rationale Zahl kann man entweder als endliche (z.B. 3,0; 4,23; …) oder als periodische Dezimalzahl (z.B. 2,3˙ ) anschreiben. Rechnen mit rationalen Zahlen in Dezimaldarstellung 1 Bemale alle Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind. Gib die rationale Zahl als Dezimalzahl an. a) − 2 _ 6 b) − 1 _ − 5 a) − 2 _ 6 = − (2 : 6) = − 0,3333… = − 0,3˙ b) − 1 _ − 5 = (− 1) : (− 5) = + (1 : 5) = 0,2 2 Schreibe den Bruch als Dezimalzahl an, und gib an, ob es sich um eine endliche oder eine periodische Dezimalzahl handelt. a) − 4 _ 15 b) + 5 _ 9 c) – 3 _ 8 d) − 2 _ 9 e) – 5 _ – 3 f) – 2 _ 3 g) 3 _ 4 h) − 12 _ – 9 i) + 8 _ – 25 j) 1 _ 7 k) + 5 _ – 7 l) – 3 _ – 7 m) 5 _ 6 n) 23 _ 125 Stelle die rationale Zahl als Bruch dar. a) 1,2 b) − 0,205 Achte auf den Stellenwert der kleinsten Nachkommastelle und kürze dann. a) 1,2 = 12 Zehntel = 12 _ 10 = 6 _ 5 b) − 0,205 = − 205 Tausendstel = − 205 _ 1000 = − 41 _ 200 3 Stelle die rationale Zahl als Bruch dar. a) 0,4 b) – 0,021 c) – 2,4 d) – 42,42 e) 0,0012 f) 0,25 g) 0,05 ÓArbeitsblatt 7z7fi9 Q Z N 42 – 42 – 0,7 – 0,25 – 3 – 101 1 205 13 13 _ 6 1, 3˙ 101 _ 500 – 2 _ 3 Merke Ó Erklärvideo 7f59r7 H1, H3 5 _ 4 2 _ 1 22 3 _ 4 42 1,25 0,75 10 _ 5 (− 3)2 Muster H2, H3 Muster H2 1 Die Menge der rationalen Zahlen Elvira und Benji unterhalten sich darüber, was sie schon über Zahlenmengen und Darstellungen gelernt haben. Benji: „Wir wissen schon, dass periodische Zahlen als Bruch dargestellt werden können. Z.B.: 0,1˙ = 1 _ 9 und 0,9˙ = 9 _ 9 . Aber es ist auch so: 9 _ 9 = 1.“ Elvira: Stimmt! Aber ist dann 0,9˙ eine rationale Zahl? Oder eine natürliche? Oder beides? 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Gegeben sind rationale Zahlen in Bruch- bzw. Dezimalschreibweise. Ergänze jeweils die andere Darstellung. Bruchdarstellung 1 _ 10 3 _ 4 2 _ 5 1 _ 2 − 3 _ 100 Dezimaldarstellung 0,25 0,125 1,5 – 0,001 5 Gegeben sind rationale Zahlen in Bruch- bzw. Dezimalschreibweise. Ergänze jeweils die andere Darstellung. Bruchdarstellung 7 _ 9 − 31 _ 40 20 _ 55 101 _ 200 − 7 _ 20 Dezimaldarstellung 0,3 0,05 − 1,044 − 0,302 6 Stelle die Zahl 0,9˙ als Bruch dar und kürze vollständig. Welche natürliche Zahl erhältst du? In welche Zahlenmenge gehört daher die Zahl 0,9˙ ? Bringe zunächst auf die Kurzform und berechne anschließend. a) (– 0,3) + (– 1,07) b) (+ 12) – (+ 0,005) a) (– 0,3) + (– 1,07) = NR: 0,30 b) (+ 12) – (+ 0,005) = NR: 12,000 1,07 – 0,005 = – 0,3 – 1,07 = – 1,37 1,37 = 12 – 0,005 = 11,995 11,995 7 Bringe zunächst auf die Kurzform und berechne dann. a) (– 0,02) + (– 42,2) = b) (– 12,3) − (− 13,01) = c) (+ 102) – (– 3,04) = d) (– 1,4) – (– 42,2) = e) (+ 12,3) – (+ 13,01) = f) (– 102) + (– 3,04) = 8 Setze <, > oder = ein. a) (– 0,2) + (– 42,2) (– 0,2) – (– 42,2) b) (+ 0,2) – (– 42,2) (– 0,2) – (– 42,2) c) (+ 0,2) + (– 42,2) (– 0,2) – (+ 42,2) d) (– 0,2) + (– 42,2) (+ 0,2) – (– 42,2) 9 Bringe zuerst auf die Kurzform, berechne anschließend. Kürze das Ergebnis so weit wie möglich. a) − 2 _ 3 – (– 5 _ 3 ) = b) − 3 _ 4 + (– 5 _ 4 ) = c) + 7 _ 8 – (+ 5 _ 8 ) = d) (– 2 _ 3 ) – (+ 7 _ 3 ) = e) (+ 5 _ 12 ) + (– 11 _ 12 ) = f) (– 3 _ 18 ) + (– 5 _ 18 ) = g) (– 34 _ 17 ) + (– 8 _ 17 ) = h) + ( 7 _ 5 ) – (+ 24 _ 5 ) = i) (– 11 _ 6 ) + (+ 13 _ 6 ) = 10 Berechne und kürze das Ergebnis so weit wie möglich. a) − 2 _ 3 – (– 5 _ 6 ) = b) − 3 _ 8 + (– 5 _ 4 ) = c) + 7 _ 10 – (+ 5 _ 8 ) = d) − 2 _ 7 – (+ 7 _ 3 ) = e) + 5 _ 12 + (– 1  2 _ 9 ) = f) − 1  1 _ 9 + ( – 5 _ 6 ) = 11 Bemale den passenden Text, die Rechnung und das Ergebnis in derselben Farbe. Welches Ergebnis bleibt übrig? H2 H2 H3 Muster 1 1 1 Kurzformen: a + (+ b) = a + b a + (– b) = a – b a – (+ b) = a – b a – (– b) = a + b Achte auf die Stellenwerte! H2 H2, H3 H2 Bringe die Brüche zunächst auf den gleichen Nenner und addiere anschließend H2 H1, H3 Tantiemen sind Einkünfte, die abhängig von Verkaufszahlen sind − 33,47 + 62,71 = Der Inhaber eines Kontos mit einem Saldo von – 33,47€ erhält Tantiemen in der Höhe von 62,71 € gutgeschrieben. 96,18 − 29,24 33,47 – 62,71 = + 13,24 − 33,47 – 62,71 = Bei einem Kontostand von − 62,71 € wird die Handyrechnung in der Höhe von 33,47€ abgezogen. Auf einem Konto mit 33,47€ Guthaben wird eine Gasrechnung in der Höhe von 62,71 € verbucht. + 29,24 8 1 Die Menge der rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

12 Auf dem Konto von Max waren vor einer Woche 536,20 €. Folgende Transaktionen fanden statt: • Eine Abbuchung von 76,80€ von der Tankstelle und eine weitere von 39,90€ vom Telefonanbieter. • Für die Strom- und Gasrechnung wurden 74,33 € abgezogen. • Einkäufe mit der Kreditkarte belasteten das Konto mit weiteren 632,47€. • Dafür bekam Max als Tantiemen für ein Buch eine Gutschrift in der Höhe von 295,40 €. Was ist sein Kontostand nach diesen Geldbewegungen? 13 Yehias Kontostand betrug – 350 Euro bevor die Transaktionen in der Abbildung stattfanden. Berechne den Kontostand nach diesen Abbuchungen bzw. Gutschriften. a) b) c) Berechne. a) (– 3 _ 4 ) · (– 2 _ 9 ) = b) (– 2 _ 5 ) : (+ 6 _ 10 ) = c) (– 1,2) : (– 0,4) = Überlege zuerst, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss. Z.B: (–) · (–) = (+) Schreibe dann in Kurzform an und kürze so früh wie möglich. a) (– 3 _ 4 ) · (– 2 _ 9 ) = b) (– 2 _ 5 ) : (+ 6 _ 10 ) = c) (– 1,2) : (– 0,4) = + (1,2 : 0,4) = = + ( 3 _ 4 · 2 _ 9 ) = + 1 _ 6 = – ( 2 _ 5 · 10 _ 6 ) = – 2 _ 3 = + (12 : 4) = + 3 14 Berechne und kürze so weit, wie möglich. a) (– 12 _ 7 ) · (+ 14 _ 10 ) = b) (– 2 _ 3 ) : (+ 8 _ 9 ) = c) (– 13 _ 11 ) · (– 77 _ 26 ) = d) (+ 15 _ 16 ) : (+ 5 _ 8 ) = e) (+ 14 _ 8 ) : (– 4 _ 16 ) = f) (– 7 _ 8 ) · (– 10 _ 35 ) = 15 Schreibe in Kurzform an und berechne. a) (– 13,2) : (+ 3,2) = b) (– 3,05) · (– 4,2) = c) (– 0,72) : (+ 3,2) = d) (+ 0,005) · (+ 0,01) = e) (– 42) : (– 1,4) = f) (– 13,2) · (– 4,2) = 16 Schreibe in Kurzform an und berechne danach. a) (− 13,2) : 2 + 14 _ 10 3 = b) 2 − 2 _ 3 3 · (− 4,2) = c) (− 0,72) : 2 − 13 _ 11 3 = d) 2 − 4 _ 16 3 · (+ 0,01) = e) (− 42) : 2 + 5 _ 8 3 = f) (− 13,2) · 2 − 10 _ 35 3 = H1, H2 H2 E§3 Arbeitgeber GmbH Co. KG. € 5.240,00 14.06.2024 Beleg 0358 0037043675 20... (Sonstiges Einkommen) IL € 4.354,77 E§3 -€ 2.892,54 ArbeitgeberBonus;... 14.06.2024 (Gehalt/Lohn) Opa Karl 13.06.2024 Rechnung Nr. 42412133 (Unkategorisiert) @ -€ 14,80 □ •>) �Q -€ 5,00 □ •>) �Q -€ 1,30 □ •>) Geschäft GmbH 13.06.2024 Bezahlung mit Karte 1 am 12. J... (Trafik, Rauchen) Restaurant 12.06.2024 Bezahlung mit Karte 1 am 11. Ju... (Restaurant, Kaffeehaus, Heuriger) Buffet 12.06.2024 Bezahlung mit Karte 1 am 11. Ju... (Restaurant, Kaffeehaus, Heuriger) Neue Überweisung eBank -€ 911,97 E§] € 6,00 -€ 50,00 .. _ 0 -€ 24,90 @) -€ 43,49 @) -€ 117,23 04.06.2024 s Kreditkartenrechnung Mai... (Kreditkarten Rechnung) Freundschaftsüberweisung 04.06.2024 Netflix (Sonstiges Einkommen) Bankomatauszahlung 04.06.2024 Abhebung mit Karte 1 am 3. J... (Barbehebungen) Fitnesscenter Beitrag 03.06.2024 Lastschrifteinzug FITINN ANS... (Hobbies, Sport) Versicherungs AG Motorradversicherung 03.06.2024 SEPA-Lastschrift A80857934... (Versicherungsprämien) Versicherungs AG Autoversicherung 03.06.2024 SEPA-Lastschrift A80845413... Neue Überweisung E[) -€ 1.035,35 -€ 17,90 Baumarkt GmbH 17.05.2024 so 241763675160 (Unkategorisiert) Bäckerei 17.05.2024 bl • > > Bezahlung mit Karte 1 am 16.... a -€ 7,00 bl • > > E[) € 740,00 ( GARAGE 17.05.2024 Bezahlung mit Karte 1 am 15. M... (Parken) Bonuszahlung 17.05.2024 Beleg 0358 0037043402 2024 (Sonstiges Einkommen) 0� -€ 420,00 G, Lt € 3.186,69 Vermieterin 15.05.2024 Miete (Miete, Pacht) Arbeitgeber GmbH; ... 15.05.2024 (Gehalt/Lohn) Neue Überweisung Muster 1 2 3 1 1 1 3 2 H2 H2 H2 9 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zusammenhänge zwischen den Zahlenmengen 17 Gib alle ganzen Zahlen an, die du für x einsetzen kannst. a) – 3 < x < 5 b) – 4,5 < x ≤ 0 c) – 13 _ 2 < x < 2,5 Die Abbildung rechts zeigt, wie die bereits bekannten Zahlenmengen zusammenhängen. Es gilt: Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. Aber: Nicht jede rationale Zahl ist auch eine ganze Zahl. Es gibt rationale Zahlen, die auch ganze Zahlen sind. z.B.: –1 = –1 _ 1 * ℚ und – 1 * ℤ aber z.B.: – 1 _ 3 * ℚ und – 1 _ 3 + ℤ Man spricht für –1 * ℤ: „–1 ist ein Element der Menge der ganzen Zahlen.“ 18 Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl liegt. 2 – 2,5 3 _ 7 − 30 _ 5 1 _ 2 42 _ 14 5 _ 100 − 2,3˙ − 3 ℕ æ æ æ æ æ æ æ æ æ ℤ æ æ æ æ æ æ æ æ æ ℚ æ æ æ æ æ æ æ æ æ 19 Setze * bzw. + ein. 1 _ 2 ℕ − 2 ℕ 2 ℕ − 4 _ 2 ℕ − 0,3 ℕ 0,25 ℕ 1 _ 2 ℤ − 2 ℤ 2 ℤ − 4 _ 2 ℤ − 0,3 ℤ 0,25 ℤ 1 _ 2 ℝ − 2 ℝ 2 ℝ − 4 _ 2 ℝ − 0,3 ℝ 0,25 ℝ 20 Kreuze alle Zahlen an, die ganze, aber keine natürlichen Zahlen sind. æ 42 æ – 42 æ 13 æ – 13 æ – 7 æ – 16 21 Kreuze alle Zahlen an, die rationale, aber keine ganzen Zahlen sind. æ 10 _ 5 æ – 42 _ 21 æ 7 _ 3 æ – 13 _ 2 æ – 7 _ 1 æ – 16 _ 42 Zeige anhand von zwei Rechnungen, dass die Differenz zweier rationaler Zahlen eine ganze Zahl sein kann, aber nicht muss. 0,4 – 1,4 = –1 w – 1 * Z w Die Differenz zweier rationaler Zahlen kann eine ganze Zahl sein. 0,4 – 1,3 = – 0,9 w – 0,9 + Z w Die Differenz zweier rationaler Zahlen muss keine ganze Zahl sein. 22 Zeige anhand von zwei Rechnungen, dass die Summe zweier rationaler Zahlen eine ganze Zahl sein kann, aber nicht sein muss. 23 Zeige anhand einer Rechnung, dass die Summe zweier rationaler Zahlen eine ganze Zahl sein kann, aber nicht sein muss. Q Z N 42 – 42 – 0,7 – 0,25 – 3 – 101 1 205 13 13 _ 6 1, ˙ 3 101 _ 500 – 2 _ 3 H1 Merke ÓErklärvideo 7fs5pp H2, H3 H2, H3 H3 H3 Muster H3, H4 H3, H4 10 1 Die Menge der rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

24 Hilf Markus dabei, seine Antwort zu begründen. 25 Welches der drei Diagramme setzt die Zahlenmengen sinnvoll in Beziehung? Begründe deine Antwort. 26 Trage die gegebenen Zahlen jeweils an der richtigen Stelle im Diagramm ein. a) − 1,25; – 4 _ 2 ; 16 _ 4 ; 2 _ 5 ; – 4,5; – 42 _ 14 b) − 1,05; – 2; 27 _ 9 ; 1 _ 4 ; 14; 12 _ 13 c) − 100; – 8 _ 2 ; 16 _ 3 ; 1 _ 5 ; 2,5; – 420 _ 10 27 Trage die Ergebnisse der Rechnung an der richtigen Stelle im Diagramm rechts ein. a) 3 _ 5 + 2 _ 5 = b) 1 _ 2 + 3 _ 8 = c) 1 _ 3 – 6 _ 3 = d) – 4 + 3 _ 4 = e) − 4 · 3 _ 4 = f) − 12 _ 15 · 5 _ 4 = g) 1 _ 2 : 1 _ 8 = h) 3 _ 10 : – 6 _ 40 = Aussagen über Zahlenmengen Wenn man entscheiden soll, ob eine mathematische Aussage wahr oder falsch ist, hilft es oft, sich einfache Gegenbeispiele zu überlegen. Der Satz: „Jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl.“ ist falsch, weil man ein einfaches Gegenbeispiel nennen kann: „Die Zahl – 3 ist eine ganze, aber keine natürliche Zahl.“ Finde ein Gegenbeispiel um zu zeigen, dass folgende Aussage falsch ist: „Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist immer auch eine ganze Zahl.“ Der Quotient ist das Ergebnis einer Division. Suche ein Beispiel mit einfachen ganzen Zahlen als Divisor und Dividend, sodass das Ergebnis keine ganze Zahl ist. z.B.: 1 : 2 = 1 _ 2 = 0,5 und 0,5 + Z w Die Aussage ist falsch, denn es kann sein, dass der Quotient zweier ganzer Zahlen keine ganze Zahl ist. H4 H4 Q Z N Q Z N N Z Q H3 Q Z N Q Z N Q Z N Q Z N H2 Muster Z N Z N Ich hab ein Rätsel für dich Welches der beiden Bilder passt zu der Aussage, die wir gelernt haben – „Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl“? 11 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

28 Finde ein Gegenbeispiel, um zu zeigen, dass folgende Aussage falsch ist: „Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist immer auch eine natürliche Zahl.“ 29 Kreuze richtig oder falsch an. Gib bei falschen Aussagen jeweils ein Gegenbeispiel als Begründung an. Aussage richtig falsch Gegenbeispiel Jede rationale Zahl ist auch eine natürliche Zahl æ æ Jede rationale Zahl ist auch eine ganze Zahl æ æ Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl æ æ Jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl æ æ Jede natürliche Zahl ist auch eine rationale Zahl æ æ Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl æ æ 30 Kreuze richtig oder falsch an. Gib bei falschen Aussagen jeweils ein Gegenbeispiel als Begründung an. Aussage richtig falsch Gegenbeispiel Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl æ æ Der Quotient zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl æ æ Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist immer eine natürliche Zahl æ æ Die Summe zweier ganzer Zahlen ist immer eine natürliche Zahl æ æ Jeder Bruch lässt sich als endliche oder periodische Dezimalzahl darstellen æ æ Die Differenz zweier rationaler Zahlen ist immer eine rationale Zahl æ æ 31 Vervollstandige den folgenden Satz, sodass er richtig ist. Der Quotient zweier  Zahlen ist immer eine  Zahl.   ganzer æ ganze æ natürlicher æ natürliche æ rationaler æ rationale æ 32 Vervollstandige den folgenden Satz, sodass er richtig ist. Die Differenz zweier  Zahlen ist immer eine  Zahl.   ganzer æ ganze æ natürlicher æ natürliche æ rationaler æ negative rationale æ H4 H1, H3 H1, H3 H3 H3 12 1 Die Menge der rationalen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

33 Yousef und Louise unterhalten sich über die verschiedenen Zahlenmengen. Yousef ist etwas Merkwürdiges aufgefallen. Gibst du den beiden recht? Begründe deine Antwort. Gecheckt? ææ Ich kenne die rationalen Zahlen und kann diese beschreiben 34 Diese Definition der rationalen Zahlen ist durcheinander geraten. Bringe die Satzbausteine wieder in Ordnung. ææ Ich kann rationale Zahlen als Dezimalzahlen und Bruchzahlen anschreiben 35 Stelle die rationale Zahl i) 0,25 als Bruch ii) – 3 _ 7 als Dezimalzahl dar. ææ Ich kenne die Zusammenhänge zwischen den Zahlenmengen und kann diese beschreiben 36 Trage die Zahlen – 1 _ 2 ; 0,2; – 12; – 6,2; 10; 4; – 6,8˙ ; in die Abbildung ein. 37 Kreuze richtig oder falsch an. Gib bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an. Aussage richtig falsch Gegenbeispiel Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist immer eine ganze Zahl æ æ Das Produkt zweier rationaler Zahlen ist immer eine natürliche Zahl æ æ Das Produkt zweier natürlicher Zahlen ist immer eine rationale Zahl æ æ Die Differenz zweier rationaler Zahlen ist immer eine ganze Zahl æ æ H4 Yousef Louise Stimmt! Zwischen zwei rationalen Zahlen sind immer unendlich viele andere rationale Zahlen! Zwischen 0 und 0,1 ist zum Beispiel 0,01 und 0,001 und immer so weiter! Louise! Die rationalen Zahlen sind schon anders als die natürlichen und die ganzen Zahlen Denn zwischen zwei natürlichen Zahlen gibt es immer nur endlich viele natürliche Zahlen Zum Beispiel sind zwischen 7 und 13 genau fünf Zahlen Dasselbe gilt für die ganzen Zahlen Aber nicht für die rationalen! H1 ganzer Zahlen darstellen aus allen Zahlen, welche man Zahlen der rationalen Die Menge besteht Bruch zweier kann. als H2 Q Z N H3 Ó Arbeitsblatt 7z7z92 H1, H3 13 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Die Menge der reellen Zahlen ææ Ich kann die Menge der reellen Zahlen angeben und beschreiben ææ Ich kenne die Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlenmengen Quadratwurzelziehen Wird eine Zahl mit sich selbst multipliziert, so nennt man diesen Rechenvorgang quadrieren. Zum Beispiel: 4 · 4 = 42 = 16. Wird umgekehrt eine positive Zahl in zwei gleich große Faktoren aufgeteilt, nennt man diesen Rechenvorgang Quadratwurzelziehen. Zum Beispiel gilt: 9 __ 16= 4, weil 4·4 = 16 Quadratzahl und Quadratwurzel Die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl x ist jene nicht negative Zahl a, die zum Quadrat wieder x ergibt. Man schreibt: 2 9_ x= a, weil a2 = x, statt 2 9_ xschreibt man auch kurz 9_ x . Das Quadrat einer natürlichen Zahl nennt man auch Quadratzahl. Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ergibt wieder eine natürliche Zahl. Beispiel: Die Quadratzahlen sind 1; 4; 9; … weil 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; … Für alle Zahlen a ≥ 0 ist das Quadratwurzelziehen die entgegengesetzte Rechenart zum Quadrieren und umgekehrt: 38 Ergänze die Tabelle. a 0 3 5 9 13 0,5 0,2 a2 9 __ a2 39 Schreibe die ersten fünfzehn Quadratzahlen in dein Heft, indem du die natürlichen Zahlen 1 bis 15 quadrierst. 40 Berechne ohne Taschenrechner. a) 9 __ 42 = b) 9 __ 72 = c) 9 ___ 0,222 = d) 9 __ 642 = e) 9 __ 132 = f) 9 __ 0,42 = g) 9 ____ 0,0032 = h) 9 ___ 1332 = 41 Bestimme die Quadratwurzel. Kontrolliere mit dem Taschenrechner. a) 9 _ 4 = b) 9 __ 49 = c) 9 __ 100 = d) 9 __ 64 = e) 9 __ 289 = f) 9 __ 484  = g) 9 __ 529  = h) 9 __ 361  = ÓArbeitsblatt 7z8uv4 Merke Quadrieren Quadratwurzelziehen a a2 a 9_ a Quadratwurzelziehen Quadrieren H2 H1, H2 H2 H2 Wie lang ist die Diagonale in einem Quadrat mit Seitenlänge 1? Gib das Ergebnis mit möglichst vielen Nachkommastellen an. Was fällt dir Besonderes auf? Kann man diese Dezimalzahl als Bruch schreiben? 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

42 Bestimme die Quadratwurzel mit dem Taschenrechner. a) 9 ___ 2 500 = b) 9 ___ 6 400 = c) 9 ____ 14 400 = d) 9 ___ 8 281 = e) 9 ___ 27,04 = f) 9 ___ 70,56 = g) 9 ___ 3,61 = h) 9 ___ 42,25 = 43 Gegeben ist der Flächeninhalt eines Quadrats. Bestimme die Seitenlänge des Quadrats. a) A = 12,25 cm2 b) A = 1024m2 c) A = 0,81 m2 d) A = 1,69 m2 e) A = 210,25 m2 f) A = 1764dm2 g) A = 17,64 cm2 h) A = 110,25 m2 i) A = 216,09 m2 j) A = 2,56 m2 44 Vervollständige den folgenden Satz, sodass er richtig ist. Es gilt  , weil  a)   b)   9 __ 144= 12 æ 132 = 144 æ 9 __ 169 = 12 æ 132 = 169 æ 9 __ 144 = 13 æ 122 = 144 æ 9 __ 169 = 13 æ 122 = 169 æ 9 __ 144= 144 æ 1442 = 144 æ 9 __ 169= 169 æ 1692 = 169 æ 45 Welches der beiden Kinder hat recht? Kannst du mit diesem „Trick“ auch die Wurzel aus i) 0,36 ii) 0,25 und iii) 0,01 berechnen? iv) Funktioniert der Trick auch mit 0,016? Wenn ja warum bzw. wenn nein, warum nicht? 46 Ziehe die Quadratwurzel und überprüfe die Ergebnisse anschließend mit dem Taschenrechner. a) 9 ___ 0,36 b) 9 ___ 0,25 c) 9 ___ 0,09 d) 9 ___ 0,04 e) 9 ___ 0,81 f) 9 ___ 0,64 g) 9 ___ 12,25 h) 9 ___ 30,25 i) 9 ___ 1 024 j) 9 ___ 6 561 k) 9 ___ 16,81 l) 9 ___ 10,24 Irrationale Zahlen (Löcher in Q) Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus allen Zahlen, die sich als ganzzahligen Bruch schreiben lassen. Also aus allen endlichen und allen periodischen Dezimalzahlen. Man kann aber auch Zahlen finden, die zu keiner dieser beiden Gruppen gehören und sich daher auch nicht als Bruch schreiben lassen. Eine Methode, so eine Zahl zu finden, ist durch ein regelmäßiges Muster: Die Zahl 0,101001000100001000001…… erhält man, indem zwischen zwei Einser immer eine Null mehr geschrieben wird. Sie ist aber nicht periodisch, denn die Einser werden immer durch eine andere Anzahl von Nullen getrennt. Diese Zahl ist weder endlich, noch periodisch und kann damit keine rationale Zahl sein. Es gilt daher 0,1010010001… + ℚ. Man kann auch zeigen, dass 9_ 2= 1,414213562… + ℚ, also keine rationale Zahl ist. Diese Zahlen sind Beispiele der Menge der irrationalen Zahlen (man schreibt für diese Menge I). Sie bilden sozusagen Löcher auf der Zahlengeraden der rationalen Zahlen. Erweitert man die rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen, erhält man die Menge der reellen Zahlen (ℝ). Die Menge der reellen Zahlen besteht also aus allen Dezimalzahlen, den endlichen, den periodischen und den unendlichen, aber nicht periodischen Dezimalzahlen. H2 H2 H3 H2, H3 Nein es ist 0,4 weil 0,4 · 0,4 = 0,16 Sareyla Anton Die Wurzel aus 0,16 ist 0,04 weil die Wurzel aus 16 ist 4 H2 15 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Irrationale Zahlen Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Sie lassen sich nicht als Bruch ganzer Zahlen anschreiben. Die Menge der irrationalen Zahlen wird mit I abgekürzt. Die Wurzel jeder natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine irrationale Zahl: z.B.: 9 _ 2 , 9 __ 13 , 9 __ 42 … Reelle Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen zusammengenommen mit der Menge der irrationalen Zahlen nennt man die Menge der reellen Zahlen. 47 Berechne folgende Wurzeln und ordne sie dann passend zu. 9 _ 2 ; 9 _ 3 ; 9 _ 4 ; 9 _ 8 ; 9 _ 9 ; 9 __ 10 ; 9 __ 12 ; 9 __ 16 ; 9 __ 19 ; 9 __ 20 ; 9 __ 25 ; 9 __ 27 ; 9 __ 28 ; 9 __ 29 ; 9 __ 31 ; 9 __ 36 ; 9 __ 42 ; 9 __ 49 Rationale Zahlen: Irrationale Zahlen: 48 Gib drei Zahlen an, i) die rational sind und zwischen 1,3 und 1,9 liegen. ii) die natürliche Zahlen sind und deren Wurzel wieder eine natürliche Zahl ist. iii) die rationale Zahlen sind und deren Wurzel eine irrationale Zahl ist. 49 Kreise alle irrationalen Zahlen ein. 9 __ 16  9 __ 13  9 __ 26  9 __ 42  9 __ 69  9 __ 144 9 __ 250 9 __ 121 9 __ 12  9 __ 19  9 __ 36  9 __ 25  9 __ 84  9 __ 75 50 Kreuze die richtigen Aussagen an. æ Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist eine irrationale Zahl. æ Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist eine rationale Zahl. æ Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine irrationale Zahl. æ Die Quadratwurzel einer Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist eine rationale Zahl. 51 Kreuze die beiden rationalen Zahlen an. a) − 1 _ 2 æ b) 9_ 7 _ 7 æ c) − 42 æ d) − 5 _ 2 æ 3, 5˙  æ 1 _ 9 æ 14,13 _ 12 æ 9 _ 3 _ 6 æ 9 _ 5 æ 9 __ 13 æ 9 _ 8 æ 9 _ 5 æ 9_ 2 _ 4 æ – 9_ 2 _ 4 æ 9 _ 3 _ 3 æ 3, 8˙  æ 52 Trage die gegebenen Zahlen an der passenden Stelle im Bild ein. a) b) Q R I Π – 1,5 0,101001… 9_ 2 3 _ 4 – 42 _ 100 0, _ 27 Merke Ó Erklärvideo 7g4ss5 H2, H3 H1, H3 H2 H2 Quadratzahlen sind die Zahlen, die entstehen, wenn man natürliche Zahlen quadriert: 12 = 1, 22 = 4, … Also: 1, 4, 9, 16, … H2 H3 Q I R 9 _ 2 ; 9 __ 16 ; 9 __ 36 ; 9_ 2 _ 2 ; 1 _ 2 ; 4 _ 9 ; 0,121221222…; 0, _ 35; 9 __ 15 Q I R 9 __ 15 ; 9 __ 49 ; 9 __ 144 ; 9 __ 84 ; 0,9˙ ; 31, _ 31; 4 _ 12 ; 9 _ 3 _ 3 ; 16; 9__ 16 16 2 Die Menge der reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

53 Setzte ein * oder + ein. 9 __ 16 ℝ 9 ___ 0,25 ℝ 9 __ 0,5 ℝ 9 __ 13 ℝ 9 _ 3 _ 3 ℝ 0, 7˙  ℝ 2 _ 9 ℝ 9 __ 16 I 9 ___ 0,25 I 9 __ 0,5 I 9 __ 13 I 9 _ 3 _ 3 I 0, 7˙  I 2 _ 9 I 54 Magda erzählt ihrer Freundin: „9 _ 2ist keine rationale, sondern eine irrationale Zahl.“ Ihre Freundin möchte nun wissen, warum 9 _ 2keine rationale Zahl ist. Welche der folgenden Argumente sind zutreffend, welche nicht? richtig falsch 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil die Quadratwurzel einer Zahl nie rational ist æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil man 9 _ 2nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen schreiben kann æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl niemals eine rationale Zahl sein kann æ æ 9 _ 2ist keine rationale Zahl, weil 9 _ 2in Dezimalschreibweise unendlich, aber nicht periodisch, ist æ æ 55 In der Abbildung rechts siehst du das Ergebnis einer Rechnung auf einem Taschenrechnerdisplay. Matthias behauptet: „Das Ergebnis ist eine rationale Zahl, weil der Taschenrechner die Zahl als endliche Dezimalzahl darstellt.“ Stimmst du seiner Argumentation zu? Begründe deine Antwort. 56 Für Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsmöglichkeiten. So ist etwa 1 _ 2 = 0,5 als endliche Dezimalzahl oder 1 _ 6 = 0,16˙ als periodische Dezimalzahl darstellbar. Unten sind Aussagen zur Darstellungsmöglichkeiten verschiedener Zahlen gegeben. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. æ J ede rationale Zahl lässt sich als endliche Dezimalzahl oder als periodische Dezimalzahl darstellen. æ Jede reelle Zahl kann als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. æ Jeder Bruch zweier ganzer Zahlen kann als endliche Dezimalzahl dargestellt werden. æ Es gibt rationale Zahlen, die man nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann. æ Es gibt Quadratwurzeln natürlicher Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Für positive Zahlen ist das Quadratwurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann in den reellen Zahlen nicht gezogen werden, weil das Produkt aus zwei gleichen reellen Zahlen nie negativ sein kann. Z.B.: 9 __ – 4kann nicht (– 2) sein, weil (– 2)2 = + 4. Es kann auch nicht (+ 2) sein, weil (+ 2)2 = + 4. Daher ist die Rechenoperation „Quadratwurzelziehen“ auf die Menge der positiven reellen Zahlen ℝ+ und 0 beschränkt. Es gilt: 9 __ – 4 + ℝ und damit auch 9 __ – 4 + ℚ und 9 __ – 4 + I. 57 Eva hat 9 __ – 9in die Mengenabbildung eingezeichnet. Stimmst du ihr zu? Begründe, dass 9 __ – 9nicht in der Menge der reellen Zahlen liegen kann. 58 In welchen Mengen liegen diese Zahlen? Kreuze alle entsprechenden Mengen an. − 9 _ 4 * æ ℝ æ ℚ æ I 9 __ – 4 * æ ℝ æ ℚ æ I 9 _ 2 * æ ℝ æ ℚ æ I H2 H3, H4, 9 _ 2= 0,14285714286… 2nd % +/– M+ C/AC 4 · = 6,92820 9 _ 3 H4 H3 ÓErklärvideo 7g5t9a H4 I 9__ – 9 Q Z N R H3 17 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Übersicht über die Zahlenmengen Die Graphik rechts zeigt, wie die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ zusammenhängen. Alle Zahlen, die in ℕ liegen, sind auch in ℤ enthalten. Alle Zahlen, die in ℤ liegen, sind auch in ℚ enthalten. Die Menge der Zahlen I, also Zahlen, die eine unendliche und nicht periodische Dezimaldarstellung haben, liegen außerhalb von ℚ. Die Zahlenmenge ℝ entsteht, indem man ℚ und I zusammenfügt. 59 Trage die gegebenen Zahlen an der passenden Stelle im Diagramm ein. a) b) 60 In der folgenden Tabelle sind verschiedene Zahlen gegeben. Kreuze in jeder Zeile alle Zahlenmengen an, in der die Zahl enthalten ist. 1 – 1 2 _ 3 9_ 2  0,4 9_ 1  − 4 9_ 4 9 _ 2 4 _ 2 9__ 12   9_ 4 _ 9 _ 9 9 __ 42  9 _ 3 _ 3 9__ 25  9_ 4 _ 3 − 9__ 49  ℕ ææææææææææææææææ æ ℤ ææææææææææææææææ æ ℚ ææææææææææææææææ æ I ææææææææææææææææ æ ℝ ææææææææææææææææ æ 61 Vervollständige den folgenden Satz, sodass er richtig ist. Die Zahl – 9_ 2 _ 4 ist eine  Zahl, weil die Darstellung  .   rationale æ ein Bruch ist æ irrationale æ ein Wurzelzeichen enthält æ ganze æ als Bruch zweier ganzer Zahlen nicht möglich ist æ 62 Welche beiden Aussagen über Zahlen und Zahlenmengen sind richtig? Gib bei falschen Aussagen jeweils ein Gegenbeispiel an. a) Aussage richtig b) Aussage richtig Jede reelle Zahl ist eine irrationale Zahl æ Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl æ Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl æ Jede ganze Zahl ist eine reelle Zahl æ Jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl æ Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl æ Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl æ Jede rationale Zahl ist eine irrationale Zahl æ Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl æ Jede reelle Zahl ist eine natürliche Zahl æ Q Z N 1 – 42 0,25 0,3 – 5 13 I 0,1010010001… 3,141592… 0, 9˙ 9__ 16 3 _ 1 – 9 _9 – 6 _ 2 1 _ 2 1 _ 9 42 _ 4 9_ 3 9___ 0,25 9_ 2 _ 3 9__ 20 R Merke Ó Erklärvideo 7g6a6n H3 Q Z N I R Q Z N I R H3 H3 H3 9 _ 3 ; 9 __ 16 ; – 4,5; 1 _ 3 ; – 4 _ 2 ; 9_ 2 _ 2 ; – 9_ 9 ; – 0,9˙ ; – 16 _ 4 ; 42; 9__ 42 ; – 3 _ 7 ; – 3 _ 9 _ 7 9 _ 9 ; 9 __ 25 ; 1 _ 2 ; – 9 _ 3 ; 9 _ 2 _ 4 ; – 9 _ 2 ; 4; 16 _ 2 ; 9 __ 36 _ 6 ; 9__ 13 ; – 2 _ 7 ; – 9_ 4 _ 2 ; 9__ 144 18 2 Die Menge der reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

63 Welche beiden Aussagen über Zahlen und Zahlenmengen sind richtig? a) Aussage richtig b) Aussage richtig Die Zahl – 1 _ 3 liegt in ℤ, aber nicht in ℕ æ 9 _ 9 _ 2 ist eine rationale Zahl æ Die Zahl 9 _ 2liegt in I æ − 9 __ 100ist eine ganze Zahl æ Die Zahl 0,9˙ liegt in ℝ aber nicht in ℚ æ 9 __ 15hat eine endliche Dezimaldarstellung æ Die Zahl π liegt nicht in ℝ æ 9 _ 2ist eine rationale Zahl æ Die Zahl 9 _ 3liegt nicht in ℝ æ − 4 ist kein Quadrat einer reellen Zahl æ 64 Kreuze zutreffende Aussagen an. Aussage richtig falsch Die Wurzel einer natürlichen Zahl kann wieder eine natürliche Zahl sein æ æ Das Produkt zweier Quadratwurzeln kann eine natürliche Zahl sein æ æ Der Quotient zweier reeller Zahlen ist immer eine rationale Zahl æ æ Die Differenz zweier reeller Zahlen ist immer eine rationale Zahl æ æ 65 Zeichne die Zahl 9 _ 2= 1,414213562… , 0,1010010001… möglichst genau auf der Zahlengeraden ein. Begründe, dass deine Markierung nicht exakt sein kann. 66 Nathalie behauptet: „Ich habe eine geometrische Methode entwickelt, mit der man 9 _ 2exakt auf der Zahlengeraden einzeichnen kann!“ i) Erkläre, wie ihre Methode funktioniert. ii) Finde eine ähnliche Methode, um 9 _ 5exakt einzuzeichnen. Gecheckt? ææ Ich kann die Menge der reellen Zahlen angeben und beschreiben ææ Ich kenne die Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlenmengen 67 Trage die gegebenen Zahlen an die richtigen Stellen im korrekten Diagramm ein und streiche das falsche Diagramm durch. 3 _ 2 , 9__ 13 , 9 _ 4, –42, 1 _ 9 68 Begründe mit einem Gegenbeispiel, dass diese Aussage falsch ist. „Die Quadratwurzel einer rationalen Zahl ist immer eine rationale Zahl.“ H3 H1, H4 H2 H4 x 0 0,1 0,5 1 1,5 2 2,5 3 H1 H4 x 0 1 1 2 3 9__ 2 Zirkel ¥ H3 Z N Q Z N I R Q I R H4 ÓArbeitsblatt 7zg4xx 19 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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