Verhältnisse und Ähnlichkeit Das Verhältnis zweier Größen a und b ist der Quotient aus diesen: a : b = a _ b Ein Verhältnis kann als Division oder Bruch angegeben werden. Man spricht dieses als „a zu b“ aus. Das Ergebnis der Division nennt man Verhältniszahl oder Proportionalitätsfaktor. Josef und Shakira vergleichen die Höhe ihres Taschengeldes Shakira erhält 12 Euro und Josef 8 Euro Um zu berechnen, um das Wievielfache Shakiras Taschengeld höher ist, führen sie eine einfache Division durch: Taschengeld Shakira ___ Taschengeld Josef = 12 : 8 = 12 _ 8 = 3 _ 2 = 1,5 ¥ Shakiras Taschengeld ist 1,5‑Mal so hoch, wie Josefs Man sagt auch: Das Verhältnis von Shakiras Taschengeldes zu Josefs ist 12 zu 8 bzw 3 zu 2 Ähnliche Figuren Wenn zwei Figuren gleich große Winkel haben und die Seitenlängen paarweise im selben Verhältnis zueinander stehen, dann sind sie zueinander ähnlich. Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, können sich aber in ihrer Größe unterscheiden. Stimmen sie auch in ihrer Größe überein, dann handelt es sich um kongruente Figuren. Figur A Figur B Ähnliche Dreiecke Wenn man überprüfen will, ob zwei Dreiecke ähnlich sind, genügt es: – entweder zu überprüfen, ob die Winkel paarweise übereinstimmen – oder zu überprüfen, ob die Seiten paarweise im selben Verhältnis stehen. Proportionales Vergrößern und Verkleinern Ähnliche Figuren erhält man durch proportionales Vergrößern bzw. Verkleinern. Die Verhältniszahl zwischen den Längen im neuen Bild zu den entsprechenden Längen im Originalbild nennt man Proportionalitätsfaktor k. Z. B.: Ein Foto wurde digital vergrößert. Gib den Proportionalitätsfaktor an. Breite des neuen Bildes: 2,6 cm. Breite des originalen Bildes: 1,3 cm. w k = 2,6:1,3 = 2 w Der Proportionalitätsfaktor ist 2. Das neue Bild ist also doppelt so groß wie das alte. Zentrische Streckung Durch zentrische Streckung durch ein Streckungszentrum Z um den Streckungsfaktor k entsteht immer eine proportional vergrößerte oder verkleinerte Figur. Diese ist zum Originalbild ähnlich. Alle ihre Seiten sind k‑mal so lang wie die entsprechenden Seiten des Originals. Z A B C 2 cm A’ B’ C’ c b 188 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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