Gleichungen und Formeln Gleichung Zwei Terme, zwischen denen „=“ steht, bilden eine Gleichung. 4 x + 1 = 2 x – 3 Lösung einer Gleichung/Lösungsmenge Eine Zahl, für die die Gleichung richtig ist, heißt Lösung der Gleichung. Diese Zahl steht in der Lösungsmenge L. 4 x + 1 = 2 x – 3 Die Zahl x = ‒ 2 ist die Lösung der Gleichung, da gilt: 4 · (‒ 2) + 1 = 2 · (– 2) − 3 ‒ 7 = ‒ 7 L = {– 2} Äquivalenzumformungen Auf beiden Seiten einer Gleichung – wird derselbe Term addiert bzw. subtrahiert. – wird mit derselben Zahl (ungleich Null) multipliziert bzw. durch dieselbe Zahl dividiert. Die Lösungsmenge ändert sich dadurch nicht. 3 x + 1 – 1 = 5 − 1 | – 1 3 x : 3 = 4 : 3 | : 3 x = 4 _ 3 Spezielle Lösungsfälle einer Gleichung Eine Gleichung kann – keine Lösung besitzen. Die Lösungsmenge ist leer. Man schreibt: L={} – unendlich viele Lösungen besitzen. Die Lösungsmenge ist die Menge der rationalen Zahlen. Man schreibt: L = ℚ 3 (x − 1) = 3 x + 5 3 x − 3 = 3 x + 5 | – 3 x − 3 = 5 … falsch dh L = {} 2 x + 1 = 2 (x − 1) + 3 2 x + 1 = 2 x − 2 + 3 2 x + 1 = 2 x + 1 | – 2 x 1=1 … richtig dh L= ℚ Lösen einer Textgleichung – Lies den Text aufmerksam durch und wähle für die gesuchte Größe eine Variable, z.B. x. – Übertrage die Informationen aus dem Text in eine Gleichung. – Löse die Gleichung. – Überprüfe anhand des Textes, ob die berechnete Lösung der Gleichung zum Text passt. – Schreibe einen Antwortsatz. Das Dreifache einer Zahl ist um vier größer als 23 x … gesuchte Zahl; 3 x = 23 + 4 3 x = 27 | : 3 x = 9 Das Dreifache von neun ist 27 Die Zahl 27 ist um vier größer als 23 Die gesuchte Zahl ist 9 Formel Eine Formel ist eine besondere Gleichung. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen mehreren Variablen, die für Größen stehen. Umfang u des Dreiecks mit den Seitenlängen x, y und z: u = x + y + z Formeln umformen Durch Äquivalenzumformungen kann jede Variable durch die anderen ausgedrückt werden. 9 a – 2 b = c | + 2 b 9 a = c + 2 b | : 9 a = (c + 2 b) : 9 a = c + 2 b _ 9 122 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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