558 Susi „beweist“ Pia und Zlatko, dass 5 = 2 ist. Finde den Fehler und erkläre ihn. a) 5=2+3 | · (5 – 2) 5 · (5 – 2) = (2 + 3) · (5 – 2) | ausmultiplizieren 25 – 10 = 10 + 15 – 4 – 6 | – 15 25 – 10 – 15 = 10 – 4 – 6 | faktorisieren 5 · (5 – 2 – 3) = 2 · (5 – 2 – 3) | : (5 – 2 – 3) 5 = 2 Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen Beim Lösen von Gleichungen mit Äquivalenzumformungen kann es vorkommen, dass alle Variablen wegfallen. Das führt zu zwei Sonderfällen bei den Lösungen dieser Gleichungen: 1. Sonderfall: 4 (2 x − 1) + 3 = 2 (1 + 4 x) 8 x − 4 + 3 = 2 + 8 x 8 x − 1 = 2 + 8 x | – 8 x ‒ 1 = 2 Die Variable fällt weg, und man erhält eine falsche Gleichung D. h die Ausgangsgleichung hat keine Lösung Die Lösungsmenge ist die leere Menge L = {} 2. Sonderfall: 2 x + 3 (1 − x) = ‒ x + 3 2 x + 3 − 3x = ‒ x + 3 ‒ x + 3 = ‒ x + 3 | + x 3 = 3 Die Variable fällt weg, und man erhält eine richtige Gleichung D. h jede mögliche rationale Zahl ist eine Lösung der Gleichung Die Lösungsmenge besteht aus unendlich vielen Zahlen L = ℚ 559 Welcher Lösungsfall liegt vor? a) 6 x = 3 · (2 x − 1) + 3 b) 5 · (2 − 3 x) + 1 = ‒ 15 x c) 3 (4 x − 1) = 2 (1 + 6x) d) 3 (2 x – 1) + 3 – 6 x = 0 e) 3 (– x + 7) – 1 = – 3 x + 20 f) 2 (4 x – 1) + 2 x = 2 (5 x – 2) g) 2 (x – 1) – 4 x = –2 (x + 1) h) 3 (1 – x) –2 (x + 3) = – 5 x i) 3 + 4 (1 – x) + 4 x = 7 Gecheckt? ææ Ich weiß, was Gleichungen sind und kann die Lösung einer Gleichung erkennen 560 Kreise alle Gleichungen ein. 6 x − 2 = 0 x + 1 ‒ 2 x + 1 = x 15 – 6 8 x = 5 x – 4 2·10 – 8 2 x – 1 = 7 561 Kreise die Gleichungen ein, die die Lösungsmenge L = {5} besitzen. i) 2 ( x − 1) = x + 3 ii) x (x − 5) = x2 − 25 iii) 3 x + 2 = x − 1 iv) 2 (x − 1) + 2 = 3 x v) x2 + 15 = x (x + 3) ææ Ich weiß, was Äquivalenzumformungen sind 562 Ergänze die passende Äquivalenzumformung. a) 3 x + 4 = 25 | b) 16 = 2 x | c) 6 – 3 x = 2 x + 1 | 3 x + 1 = 22 4 = 1 _ 2 x 6 = 5 x + 1 | 5 = 5 x | 1 = x ææ Ich kann die Lösung einer Gleichung mit Äquivalenzumformungen bestimmen und Lösungsfälle erkennen 563 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. a) 2 (x + 4) − 3 x = 2 (x + 7) + 30 b) 4 (2 − x) + 3 = ‒ 2 (2 x + 1) c) 14 x − 6 = 2 (‒ 3 + 4 x) + 6 x H4 H2 Ó Komplettlösung p5np2r H1 H2 H2, H3 H2 Ó Arbeitsblatt fj48ez 115 F Gleichungen und Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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