553 Gib die Äquivalenzumformung an, die durchgeführt wurde. a) 2 x – 5 = 10 b) 7 – 4 x = ‒ 8 c) 9 = 12 x + 27 d) 4 x – 7 = 21 e) 6 y + 8 = ‒ 10 2 x + 5 = 20 ‒ 7 + 4 x = 8 3 = 4 x + 9 4 x – 14 = 14 6 y = ‒ 18 554 Finde die Fehler, die Tom beim Lösen der Gleichung gemacht hat. Stelle sie richtig und mache die Probe. a) b) c) Löse die Gleichung 5 x – 12 = 8 x + 30 mittels Äquivalenzumformungen. Mache die Probe. 5 x − 12 = 8 x + 30 | – 8 x 1. Schritt: Bringe die Variablen z.B. auf die linke Seite und ‒ 3 x – 12 = 30 | + 12 die Zahlen auf die rechte Seite der Gleichung. ‒ 3 x = 42 | : (‒ 3) 2. Schritt: Dividiere auf beiden Seiten durch ‒ 3, um die Lösung zu erhalten. x = ‒ 14 L = {‒ 14} Probe: 5 · (‒ 14) − 12 = 8 · (‒ 14) + 30 w ‒ 70 − 12 = ‒ 112 + 30 w ‒ 82 = ‒ 82. Die Gleichung ist richtig. 555 Löse die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen. a) 4 a + 7 = 13 – 8 a b) 15 b – 10 = 12 + 13 b c) 24 – 6 c = 21 – 8 c d) 25+7d= ‒ 3d − 5 e) e + 34 = ‒ 3 e − 6 f) ‒ 21 + 5 f = 9 – 15 f g) 5 g + 10 = 4 g + 8 h) – 22 + 6 h – 20 Kommen in den Termen einer Gleichung Klammern vor, werden diese zuerst aufgelöst. Wenn möglich, werden die Terme vor dem Anwenden von Äquivalenzumformungen noch vereinfacht. Löse die Gleichung 3 (x + 5) – 2 x = ‒ 3 x – 1 und mache die Probe. 3 (x + 5) − 2 x = ‒ 3 (x − 1) 1. Schritt: Die Klammern werden aufgelöst. 3 x + 15 – 2 x = ‒ 3x + 3 2. Schritt: Die Terme werden vereinfacht. x + 15 = ‒ 3 x + 3 | + 3 x 3. Schritt: Die Lösung wird durch Äquivalenzumformungen 4 x + 15 = 3 | – 15 bestimmt und die Probe gemacht. 4 x = ‒ 12 | : 4 x = ‒ 3 L = {‒ 3} Probe: 3 · (‒ 3 + 5) – 2 · (‒ 3) = ‒ 3 · (‒ 3 –1) w 12 = 12 Die Gleichung ist richtig. 556 Löse die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen und mache die Probe. a) 2 (x + 4) + 3 = x – 8 b) 5 (2 x − 3) = 3 (3 x + 2) c) 5 – 3 (2 x − 1) = 5 (‒ x + 2) d) 2 (2 x + 3) – 3 x = 2 (2 + x) e) 3 + 2 (x + 1) = 4 (x − 1) + 3 f) 4 − 2 (4 x + 2) = ‒ 3 (2 x − 1) − 3 557 Löse die Gleichung. a) (x + 1)2 = (x − 3) (x + 3) b) x − x (1 − x) = (x − 5)2 c) (2 x − 1)2 − 4 x2 = 2 (1 − x) d) (3 x − 1) (3 x + 1) = 9 x (x − 1) e) (2 x − 1)2 − x (4 x − 1) = 7 f) (x − 3) (x + 3) − (x + 1)2 = 3 x + 5 H2 H4 –5+8x=67 3x=67 |–3 x = 64 Muster H2 Muster H2 H2 Die quadrierten Variablen müssen in der 3. Klasse immer wegfallen 2x–8=13 |–8 2x=5 |:2 x = 2,5 4–2x=12 |:2 4–x=6 |–4 – x = 2 x = – 2 114 22 Lösen von Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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