Lösungswege 3, Schülerbuch

1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Schulbuchvergütung/Bildrechte: © Bildrecht GmbH/Wien Redaktion: Roman Miksch MSc, Wien; Mag. Brigitte Jug, Graz Herstellung: Alexandra Brych, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Amberg Layout: Petra Michel, Amberg Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth; Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11127-2 (Lösungswege 3 und E-Book) ISBN 978-3-209-11139-5 (Lösungswege 3 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13070-9 (Lösungswege 3 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13072-3 (Lösungswege 3 E-BOOK+ Solo) Lösungswege 3, Schülerbuch und E-Book Schulbuchnummer: 210232 Lösungswege 3, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 210234 Lösungswege 3, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 211411 Lösungswege 3, Schülerbuch E-Book+ Solo Schulbuchnummer: 211413 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 22. Juni 2023, Geschäftszahl: 20210.726.678, gemäß § 14. Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtgesetzes, BGBL Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 3. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: VIENNAMOTION KG, Krisztian Juhasz, Fotograf & Filmemacher; bjdlzx / Getty Images - iStockphoto Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die ganzen Zahlen.................... 6 Darstellen und Vergleichen von ganzen Zahlen 7 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen 12 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen .. . 18 Verbindung der vier Grundrechnungsarten .. . . 22 Zusammenfassung .......................... 26 Selbstkontrolle.............................. 27 B Die rationalen Zahlen................. 30 Darstellen und Vergleichen von rationalenZahlen............................ 31 Das erweiterte Koordinatensystem.. . . . . . . . . . . 34 Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen.. 38 Multiplizieren und Dividieren rationalerZahlen............................ 42 Verbindung der vier Grundrechnungsarten.. . . 44 Zusammenfassung .......................... 46 Selbstkontrolle.............................. 47 DIGI Der Taschenrechner.......................... 50 Rationale Zahlen und der Taschenrechner. . . . . 51 C Potenzen und Wurzeln................ 52 DiePotenzschreibweise.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Rechenregeln bei Potenzen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Die Vorrangregeln erweitern .. . . . . . . . . . . . . . . . 58 Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung .. 60 Quadratwurzeln............................. 64 Zusammenfassung .......................... 66 Selbstkontrolle.............................. 67 D Statistik................................ 70 StatistischeKennzahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Darstellen von Datenmengen.. . . . . . . . . . . . . . . . 76 Zusammenfassung .......................... 80 Selbstkontrolle.............................. 81 E Terme................................... 84 Terme aufstellen und auswerten.. . . . . . . . . . . . . 85 Addieren und Subtrahieren von Termen.. . . . . . 88 Multiplizieren von Termen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 FaktorisierenvonTermen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Binomische Formeln – Verbindung der Grundrechnungsarten........................ 102 Zusammenfassung .......................... 106 Selbstkontrolle.............................. 107 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2 Inhalt Zahlen und Maße Variable, funktionale Abhängigkeiten Geometrische Figuren und Körper Statistische Darstellungen und Kenngrößen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

F Gleichungen und Formeln............ 110 LösenvonGleichungen....................... 111 Textgleichungen............................. 116 Formeln..................................... 120 Zusammenfassung .......................... 122 Selbstkontrolle.............................. 123 G Flächeninhalte ebener Figuren...... 126 Flächeninhalt des Parallelogramms 127 Flächeninhalt des Trapezes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Flächeninhalt des Deltoids.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 FlächeninhaltderRaute.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Flächeninhalt von Dreiecken.. . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren..................................... 140 AufgabenausdemAlltag.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Umkehraufgaben............................ 148 Zusammenfassung .......................... 152 Selbstkontrolle.............................. 153 H Rechnen mit Prozenten............... 156 Grundlagen der Prozentrechnung.. . . . . . . . . . . . 157 Vertiefung der Prozentrechnung.. . . . . . . . . . . . . 162 Zinsrechnung................................ 166 Zusammenfassung .......................... 172 Selbstkontrolle.............................. 173 I Verhältnisse und Ähnlichkeit......... 176 Verhältnisse................................. 177 ÄhnlicheFiguren............................ 182 Zusammenfassung .......................... 188 Selbstkontrolle.............................. 189 J Wachstums- und Abnahmeprozesse. . . 192 Darstellen von direkten Verhältnissen.. . . . . . . . 193 Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse.. . 198 Zusammenfassung .......................... 202 Selbstkontrolle.............................. 203 K Pythagoras............................. 206 Der Lehrsatz des Pythagoras.. . . . . . . . . . . . . . . . 207 Anwendungen des Lehrsatzes des Pythagoras.................................. 212 Zusammenfassung .......................... 218 Selbstkontrolle.............................. 219 L Das Prisma............................. 222 Eigenschaften und Darstellung gerader Prismen..................................... 223 Netz und Oberfläche von Prismen.. . . . . . . . . . . . 226 VolumendesPrismas........................ 232 Zusammenfassung .......................... 238 Selbstkontrolle.............................. 239 M Die Pyramide.......................... 242 Darstellung und Eigenschaften von Pyramiden.................................. 243 Netz und Oberfläche von Pyramiden.. . . . . . . . . 246 Volumen und Masse von Pyramiden .. . . . . . . . . 252 Zusammenfassung .......................... 256 Selbstkontrolle.............................. 257 Anhang Lösungen der Selbstkontrollaufgaben . . . . . . . . 260 Sachregister................................ 269 Bildnachweis............................... 271 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Merke Muster 4 So arbeitest Du mit Lösungswege 3 In der Volksschule hast du schon gelernt, dass man eine Addition von gleichen Summanden als Produkt anschreiben kann. Es gilt: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 ∙ 3 Auch bei Multiplikationen mit gleichen Faktoren kann man eine Abkürzung verwenden. Man schreibt für 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 die Abkürzung 3 4 und spricht „3 hoch 4“. Die Potenzschreibweise Ein Produkt von gleichen Faktoren kann als Potenz angeschrieben werden. Es gilt: a ∙ a ∙ a ∙ ∙ ∙ a ∙ a = a n Es gilt: a 1 = a n Faktoren a) Schreibe 2 3 als Produkt an. b) Schreibe a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a als Potenz an. a) Da die Hochzahl 3 ist, werden drei Faktoren benötigt: 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 b) Da es fünf gleiche Faktoren sind, gilt: a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a = a 5 247 Schreibe die Potenz als Produkt an. a) 3 4 b) 4 3 c) 2 3 d) 5 2 e) 1 2 3 f) 1 1 3 g) a 4 h) m 2 i) b 6 248 Schreibe das Produkt gleicher Faktoren als Potenz an. a) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = b) 2 ∙ 2 ∙ 2 = c) 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = d) g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g = e) c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c = 249 Schreibe die Potenz als Produkt an und berechne ihren Wert. a) 2 2 b) 2 3 c) 2 4 d) 2 5 e) 2 6 f) 3 3 g) 3 4 h) 4 3 i) 5 2 j) 1 3 k) 1 6 l) 6 3 250 Schreibe das Produkt mit Hilfe von Potenzen an. a) a ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b = b) a ∙ a ∙ d = c) a ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b = d) a ∙ a ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c = e) a ∙ a ∙ a ∙ b ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c = f) a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b ∙ b = 251 Verdopple bzw. quadriere die gegebene Zahl. a 1 23456789101112 2 ∙ a a 2 Merke Ó Arbeitsblatt f6ye3w Muster H2 H2 H2 Das Ergebnis einer Potenz wird als Wert der Potenz bezeichnet. H2 H2 Statt hoch 2 sagt man auch quadrieren oder zum Quadrat. 10 Die Potenzschreibweise æ Ich kenne die Potenzschreibweise und kann diese anwenden. æ Ich kann den Wert einer Potenz berechnen. Maria und Hannah unterhalten sich über eine Rechnung. Warum hat Hannah nicht recht mit ihrer Aussage? Kennst du schon eine richtige Abkürzung für Marias Rechnung? Ich muss 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 berechnen. Das ist ja leicht. Hier rechne ich 5 ∙ 2. a n Basis/Grundzahl Exponent/Hochzahl Potenz 53 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigen soll, wo einem der Inhalt dieses Kapitels im Alltag begegnet. Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, um die folgenden Aufgaben gut lösen zu können. Ein Muster-Beispiel zeichnet einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Aufgaben genutzt werden kann. Eine WortspeicherBox gibt Auskunft, warum manche Worte in der Mathematik genutzt werden, oder erklärt einfach nur schwierige Begriffe. 198 200 203 202 Die Punkte neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Punkt bedeutet leicht, zwei Punkte bedeuten mittel und drei Punkte bedeuten schwer. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

] 5 197 Berechne und kürze so weit, wie möglich. a) 2 ‒ 1 3 _ 5 3 : 2 + 2 7 _ 10 3 = b) 2 ‒ 4 3 _ 8 3 : 2 ‒ 3 3 _ 4 3 = c) 2 + 1 3 _ 7 3 : 2 ‒ 2 1 _ 14 3 = d) 2 ‒ 1 2 _ 6 3 : 2 + 1 3 _ 4 3 = 198 Suche zu jeder Rechnung das passende Ergebnis. Es gibt auch zwei falsche Ergebnisse. (‒ 2,3) ∙ (+ 3,4) = (+ 5,3) ∙ (‒ 2,1) = (‒ 4,2) ∙ (‒ 3,05) = (‒ 4,5) ∙ (+ 0,2) = (‒ 3,2) ∙ (‒ 6,5) = (+ 2,6) ∙ (+ 1,3) = ‒ 1,13 ‒ 0,9 ‒ 11,13 + 20,8 + 12,81 ‒ 7,82 + 2,18 + 3,38 199 Berechne. a) (‒ 5,6) : (+ 2,8) = b) (‒ 4,2) : (‒ 1,4) = c) (+ 28,8) : (‒ 7,2) = d) (‒ 35,8) : (+ 0,01) = e) (‒ 7,2) : (+ 3,2) = f) (‒ 13,2) : (+ 3,2) = 200 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch 2 ‒ 3 _ 4 3 · 2 ‒ 4 _ 3 3 = + 1 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 > 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 2 ‒ 1 _ 2 3 : 2 ‒ 3 _ 4 3 > 2 ‒ 4 _ 3 3 · 2 ‒ 1 _ 2 3 2 ‒ 3 _ 4 3 : 2 ‒ 1 _ 2 3 = ‒ 0,75 · (‒ 2) 201 Berechne die Doppelbrüche. a) ‒ 2 _ 3 _ + 3 _ 4 = b) ‒ 3 _ 5 _ ‒ 6 _ 10 = c) ‒ 3 _ 4 _ + 6 _ 12 = d) + 3 _ 5 _ ‒ 4 _ 10 = e) ‒ 4 _ 6 _ + 6 _ 8 = 202 Max hat einen Trick für das Rechnen mit Doppelbrüchen gelernt. i) Erkläre den Trick von Max. Was versteht man unter den Außengliedern bzw. den Innengliedern? ii) Wende den Trick von Max bei diesen beiden Aufgaben an. ‒ 3 _ 4 _ + 8 _ 10 = ‒ 5 _ 7 _ ‒ 10 _ 7 = iii) Erkläre, warum der Trick von Max funktioniert. 203 ] Bei welcher Aufgabe erhält man das größere Ergebnis? Wenn man eine Zahl, die größer als 1 ist, mit sich selbst multipliziert oder wenn man sie mit ihrem Kehrwert multipliziert. Begründe deine Entscheidung. Gecheckt? æ Ich kann rationale Zahlen multiplizieren und dividieren. 204 Berechne das Ergebnis. a) 2 ‒ 5 _ 6 3 ∙ 2 + 12 _ 15 3 = b) 2 ‒ 11 _ 12 3 ∙ 2 ‒ 24 _ 33 3 = c) 2 + 3 _ 8 3 ∙ 2 ‒ 24 _ 9 3 = 205 Berechne das Ergebnis. a) 2 ‒ 2 2 _ 3 3 : 2 ‒ 4 5 _ 9 3 = b) 2 + 2 7 _ 8 3 : 2 ‒ 1 1 _ 4 3 = H2 H2 H2 Ist der Divisor eine Dezimalzahl, dann musst du das Komma nach rechts verschieben: ‒ 3,2 : (+ 1,6) = ‒ 32 : (+ 16) = ‒ 2 H3 H2 Schreibe den Doppelbruch als Division an: ‒ 2 _ 3 _ + 3 _ 4 = 2 ‒ 2 _ 3 3 : 2 + 3 _ 4 3 H2, H4 Ich muss die Außenglieder multiplizieren und die Innenglieder multiplizieren: ‒ 3 _ 5 _ + 1 _ 2 = ‒ 3 ∙ 2 _ 1 ∙ 5 = ‒ 6 _ 5 = ‒ 1 1 _ 5 H4 Ó Komplettlösung nz6e3t H2 H2 Ó Arbeitsblatt f6i9ed 43 B Die rationalen Zahlen Eine Check-it-Box gibt nützliche Tipps, um die Aufgabe zu lösen. Dieses Würfel- Symbol zeigt, dass die Aufgabe ein Rätsel ist. 198 200 203 202 232 Der Code bei diesem Symbol führt zu zusätzlichen Materialien im Lehrwek Online. Ó Der Gecheckt?-Bereich ist der Abschluss eines Kapitels. Hier kann man überprüfen, ob der Inhalt des Kapitels verstanden wurde. Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen, weil man diese in der Aufgabe anwenden soll. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die ganzen Zahlen Du kennst bereits die natürlichen Zahlen und hast dich auch schon mit Dezimalzahlen beschäftigt. Im Alltag gibt es aber auch noch andere Zahlen. In diesem Abschnitt wirst du die ganzen Zahlen kennenlernen. Dabei geht es auch um Zahlen, bei denen ein Minus davor steht, wie z.B. ‒ 7 oder ‒ 8. Diese Zahlen nennt man negative Zahlen. Du wirst diese Zahlen in verschiedenen Anwendungen bereits gesehen haben. Was bedeutet z.B. das Stockwerk ‒ 3 in der nebenstehenden Abbildung? Du wirst in diesem Abschnitt lernen, wie man den von dir bekannten Zahlenstrahl auf eine Zahlengerade erweitert. Weiters wirst du auch negative Zahlen ordnen. In diesem Abschnitt wirst du auch mit ganzen Zahlen rechnen. Hast du eine Idee, was das Ergebnis der folgenden Rechnungen sein könnte? ‒ 3 – 5 = ‒ 8 + 12 = Kannst du die Frage des Buben beantworten? Wie ist deine Meinung zu dieser Frage? Reden wir darüber … Was weißt du schon über negative Zahlen? Wo treten diese im Alltag auf? Welche Gründe könnte es für die Einführung der negativen Zahlen geben? Hast du den Begriff Vorzeichen schon einmal gehört? Was könnte der Unterschied zu einem Rechenzeichen sein? Welche Zahl ist größer ‒ 8 oder ‒ 9? Ich habe ein super Rätsel für dich Wenn in einem Raum drei Leute sind und fünf gehen hinaus, wie viele müssen dann wieder reingehen, damit keiner drinnen ist? ??? 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

1 Darstellen und Vergleichen von ganzen Zahlen In den Aussagen steht vor jeder Zahl ein Minus. Was bedeutet dieses Minus in der jeweiligen Situation? Kennst du ähnliche Beispiele, bei denen ein Minus vor der Zahl eine wichtige Rolle spielt? ææ Ich kenne die beiden Vorzeichen und kann diese anwenden ææ Ich kenne die Menge der ganzen Zahlen und ihre Eigenschaften ææ Ich kann ganze Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen und vergleichen ææ Ich kann den Betrag und die Gegenzahl einer ganzen Zahl angeben In den vergangenen Schuljahren hast du dich mit natürlichen Zahlen (N = {0, 1, 2, 3, …}) und Dezimalzahlen beschäftigt. Sicher hast du auch schon von negativen Zahlen gehört. Diese werden z.B. für die Temperatur oder für Schulden verwendet. In nebenstehender Abbildung siehst du ein Thermometer. Dieses zeigt eine Temperatur von ‒ 5 °C an. Das bedeutet, dass die Temperatur 5 °C kälter als 0 °C ist. Positive und negative Zahlen Die Vorzeichen + und ‒ geben an, ob eine Zahl größer oder kleiner als 0 ist. —— Das Vorzeichen + bedeutet, dass die Zahl größer als 0 ist (z.B. + 5). —— Die Zahl 0 besitzt kein Vorzeichen. Sie ist weder positiv noch negativ. —— Das Vorzeichen – bedeutet, dass die Zahl kleiner als 0 ist (z.B. – 9). 1 Lies die passende Temperatur vom Thermometer ab. Bestimme das Vorzeichen der Zahl. a) b) c) d) 2 Schreibe die Zahl mit dem passenden Vorzeichen an. a) ein Guthaben von 40€ b) Schulden von 57€ c) 30m unter dem Meeresspiegel d) 4. Untergeschoss e) 8. Stock f) 17°C unter 0 °C 3 Gib an, ob das Minus (–) oder das Plus (+) ein Vor- oder ein Rechenzeichen ist. a) 7 – 5 b) 3 + 5 c) ‒ 8 d) + 9 e) ‒ 3 – 12 f) ‒ 8 + 7 g) ‒ 20 – 19 ° C + 20 + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 ÓArbeitsblatt f2jk4d Merke H1 ° C + 20 + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 ° C + 20 + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 ° C + 20 + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 ° C + 20 + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 H1 H1 Das Minus (–) und das Plus (+) haben zwei Funktionen: — als Rechenzeichen: zB 4 + 8 oder 12 – 6 — als Vorzeichen: z B ‒ 4, ‒ 8 Der Kontostand meines Vaters ist – 2125 € Heute bin ich mit dem Lift in die Etage – 3 gefahren Heute hat es eine Temperatur von – 7 °C 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 In einem Parkhaus sucht ein Auto einen Parkplatz und befindet sich gerade im Stockwerk –1. i) Das Auto fährt drei Stockwerke hinunter. Wo befindet es sich jetzt? ii) Das Auto fährt nun sechs Stockwerke hinauf. Wo befindet es sich jetzt? 5 Marius fährt gerne mit dem Aufzug. Der Aufzug fährt in viele Stockwerke und auch in einige Stockwerke unter dem Erdgeschoss. Marius startet im 4. Stock, fährt anschließend 5 Stockwerke hinauf, 7 Stockwerke hinunter, 12 Stockwerke hinauf und wieder 18 Stockwerke hinunter. Wie viele Stockwerke muss er jetzt hinauf oder hinunter fahren, wenn er seine Schwester im Erdgeschoss treffen möchte? 6 Die Erde ist in mehrere Zeitzonen aufgeteilt. In dieser Aufgabe wird die Winterzeit betrachtet. Österreich liegt in der Zeitzone +1. Wenn man in ein Land auf Urlaub fährt oder fliegt, das in einer anderen Zeitzone ist, dann muss man die Uhr nach vor bzw. zurück stellen. Finnland liegt in der Zeitzone + 2. Ist es in Österreich 14:00 Uhr, dann ist es in Finnland 15:00 Uhr. a) In welcher Zeitzone liegen die folgenden Städte? New York, Los Angeles, Dallas, Moskau, Istanbul, Sao Paulo, London b) Wie spät ist es in Dallas, wenn es in Wien 14:00 Uhr ist? c) Wie spät ist es in New York, wenn es in Wien 20:00 Uhr ist? d) Wie spät ist es in Istanbul, wenn es in Dallas 4:00 Uhr ist? Die ganzen Zahlen Erweitert man die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 um die negativen ganzen Zahlen ‒ 1, ‒ 2, ‒ 3, ‒ 4, …, erhält man die ganzen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z abgekürzt. Man schreibt: Z = {…, ‒ 4, ‒ 3, ‒ 2, ‒ 1,0,+1,+2,+3,…} Um die ganzen Zahlen darzustellen, wird der Zahlenstrahl auf eine Zahlengerade erweitert. H1 H1 H3 Viele Länder stellen nicht auf Sommerzeit um Merke –4–3–2–1 0 +1 negative ganze Zahlen Null positive ganze Zahlen +2 +3 +4 +5 1 0 2 3 4 5 6 natürliche Zahlen 7 8 1 Darstellen und Vergleichen von ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 Auf der Zahlengeraden sind einige Zahlen markiert. Fülle die Lücken. Gib auch den Strichabstand und die Schrittweite an. a) Strichabstand: Schrittweite: b) Strichabstand: Schrittweite: c) Strichabstand: Schrittweite: d) Strichabstand: Schrittweite: 8 Gib die auf der Zahlengeraden markierten Zahlen sowie den Strichabstand und die Schrittweite an. a) b) c) d) 9 Zeichne die angegebenen Zahlen auf der Zahlengeraden ein. a) ‒ 3, ‒ 2, + 3, + 4 b) ‒ 8, ‒ 2, + 6, + 9 10 Zeichne eine Zahlengerade und markiere auf dieser die angegebenen Zahlen. Wähle einen passenden Strichabstand und eine passende Schrittweite. a) ‒ 9, + 4, ‒ 5, 0, + 2 b) ‒ 6, + 4, ‒ 3, + 3, ‒ 2, ‒ 1 c) ‒ 30, + 20, ‒ 60, + 10, ‒ 40 d) ‒ 300, + 200, ‒ 100, ‒ 500 11 Erkläre, warum für die Darstellung der ganzen Zahlen ein Zahlenstrahl nicht mehr ausreicht. Warum benötigt man dafür eine Zahlengerade? 12 Die Jugendlichen versuchen zu erklären, warum 1 größer als ‒ 3 ist. Welche Vergleiche findest du passend? Welcher Vergleich ist unpassend? Finde selbst weitere Vergleiche. 13 Setze das richtige Zeichen <, > oder =. a) ‒ 4 4 b) ‒ 8 ‒ 14 c) ‒ 23 ‒ 5 d) ‒ 18 ‒ 55 e) 13 ‒ 8 f) ‒ 4 ‒ 5 g) 104 ‒ 33 h) ‒ 77 77 i) ‒ 12 ‒ 11 j) ‒ 10 ‒ 11 k) 7 ‒ 5 l) ‒ 2 7 H1 –3 0 +1 0 +2 0 +2 –6 0 +40 –20 H1 –45 0 A B C D 120 0 A B C D –21 –42 A B C D –36 –52 A B C D H1 –1 0 +1 –6 0 +8 H1 H4 H4 Wenn ich + 1 € auf dem Konto habe, dann ist das mehr, als wenn ich ‒ 3€ auf dem Konto habe Jemand, der 1 m groß ist, ist größer als jemand, der ‒ 3 m groß ist 1 ist größer als ‒ 3, da ich in einem Aufzug im ersten Stock weiter oben bin als im Stockwerk ‒ 3 Auf einem Thermometer ist 1 °C weiter oben als ‒ 3 °C H2 Erinnere dich! Je weiter links die Zahlen auf der Zahlengeraden liegen, desto kleiner sind die Zahlen 9 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

14 Ordne die Zahlen mithilfe einer steigenden Ungleichungskette. a) ‒ 95, 32, ‒ 188, ‒ 186, ‒ 189, 189, 0, ‒ 34 b) ‒ 7 088, 312, ‒ 1 388, ‒ 1 386, ‒ 57, ‒ 189, 128 c) ‒ 78, ‒ 79, ‒ 83, ‒ 85, 85, ‒ 22, ‒ 128, ‒ 355 d) ‒ 9, ‒ 999, ‒ 99, ‒ 98, ‒ 107, ‒ 108 15 Lukas hat bei der Sortierung der Zahlen einen Fehler gemacht. Finde diesen und bringe die Zahlen in die richtige Reihenfolge. a) –84<–32<11<–5<+8<+22 b) 67>44>–23>4>–3>–5 16 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Es gilt:  >  . 17 ] Bestimme die gesuchte ganze Zahl. a) Ich bin die kleinste negative zweistellige Zahl. b) Ich bin die größte positive dreistellige Zahl. c) Ich bin die größte negative ganze Zahl. d) Ich bin die kleinste negative vierstellige Zahl. e) Ich bin die größte negative zweistellige Zahl. f) Ich bin die kleinste positive ganze Zahl. 18 Ergänze die fehlenden Zahlen in der Tabelle. a) b) c) 19 Ordne den gegebenen Temperaturen jeweils den richtigen Temperaturunterschied zu. a) b) 20 Vervollständige den Satz. a) Die ganzen Zahlen setzen sich zusammen aus … b) Auf dem Zahlenstrahl kann man … c) Die natürlichen Zahlen setzen sich zusammen aus … 21 Gib an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Stelle falsche Aussagen richtig. a) Jede ganze Zahl hat einen Nachfolger in den ganzen Zahlen. b) Jede natürliche Zahl besitzt einen Vorgänger in den natürlichen Zahlen. c) Es gibt eine größte negative ganze Zahl. d) Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. H2 H3 H2   ‒ 19 æ + 8 æ ‒ 45 æ ‒ 5 æ ‒ 82 æ ‒ 30 æ H3 H2 Vorgänger Zahl Nachfolger ‒ 19 20 ‒ 34 Vorgänger Zahl Nachfolger ‒ 128 ‒ 18 ‒ 22 Vorgänger Zahl Nachfolger 4 012 ‒ 4 012 999 H2 + 2 °C; + 9 °C A 3 °C ‒ 5 °C; ‒ 1 °C B 4 °C ‒ 12 °C; + 2 °C C 10 °C ‒ 2 °C; 4 °C D 7 °C E 6 °C F 14 °C + 9 °C; + 15 °C A 3 °C ‒ 4 °C; ‒ 1 °C B 9 °C ‒ 12 °C; ‒ 5 °C C 5 °C ‒ 2 °C; 7 °C D 6 °C E 8 °C F 7 °C H3 H4 10 1 Darstellen und Vergleichen von ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Betrag und Gegenzahl einer ganzen Zahl Zwei Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden, nennt man Gegenzahlen. z.B. Die Gegenzahl von 4 ist ‒ 4. Die Gegenzahl von ‒ 4 ist + 4. Den Abstand einer Zahl a zu 0 nennt man Betrag dieser Zahl. Man schreibt: |a| z.B. |‒ 4| = 4 oder |4| = 4 22 Bestimme den Betrag und die Gegenzahl der angegebenen Zahl. a) ‒ 7 b) + 3 c) ‒ 14 d) ‒ 39 e) + 18 f) ‒ 48 g) – 3 h) ‒ 45 i) – 18 j) 33 k) ‒ 47 23 Vervollständige die Tabelle. Gegenzahl + 9 + 18 ‒ 8 Zahl ‒ 5 ‒ 12 ‒ 5 + 3 Betrag der Zahl 3 6 24 Setze das Zeichen <, > oder =. a) ‒ 4 |‒ 12| b) |‒ 4| |‒ 2| c) 17 |+28| d) |+32| |‒ 32| e) ‒ 97 |‒ 98| 25 Ordne die Zahlen mit einer fallenden Ungleichungskette. a) ‒ 47, 32, |‒ 16|, ‒ 89, |+ 107|, ‒ 25 b) |‒ 38|, |+ 47|, |‒ 22|, |+ 43|, |‒ 88|, |+ 18| 26 Anton, Antonia und Luzino unterhalten sich über die Begriffe Gegenzahl und Betrag. Haben die Jugendlichen recht? Begründe deine Entscheidung. Gecheckt? ææ Ich kenne die beiden Vorzeichen und kann diese anwenden ææ Ich kenne die Menge der ganzen Zahlen und ihre Eigenschaften 27 Erkläre, was man unter den ganzen Zahlen versteht und gib Beispiele für negative und positive ganze Zahlen im Alltag an. ææ Ich kann ganze Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen und vergleichen 28 Zeichne die Zahlen auf einer Zahlengeraden ein und ordne sie mit einer steigenden Ungleichungskette. ‒ 4, 8, ‒ 5, 6, ‒ 9 ææ Ich kann den Betrag und die Gegenzahl einer ganzen Zahl angeben 29 Bestimme den Betrag und die Gegenzahl der angegebenen Zahl. a) ‒ 8 b) + 19 Merke –4–3–2–1 0 1 2 3 4 Gegenzahl von –4 ist +4, |–4| = |+4| = 4 H2 H2 H1 H1 H4 Ó Komplettlösung nx37k2 H3 H1 H2 Ó Arbeitsblatt f2ds83 Der Betrag jeder Zahl ist positiv Die Gegenzahl einer negativen Zahl ist immer gleich dem Betrag dieser Zahl Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben immer den gleichen Betrag Anton Antonia Luzino 11 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann ganze Zahlen addieren und subtrahieren Addieren und Subtrahieren einer natürlichen Zahl von einer ganzen Zahl Wie in den natürlichen Zahlen, kann man auch in den ganzen Zahlen addieren und subtrahieren. Hier kommen dann neben Rechenzeichen auch noch Vorzeichen hinzu. z.B: ‒ 3 + 9 = Frau Meier hat auf ihrem Konto 7€ Guthaben und hebt von diesem 10 € ab Wie lautet ihr neuer Kontostand? Frau Meier hat auf ihrem Konto 4 € Schulden und zahlt 10 € ein Wie lautet ihr neuer Kontostand? Da sie 7€ Guthaben hat und 10 € abhebt, lautet die Rechnung: + 7 – 10 = Da sie 4 € Schulden hat und 10 € einzahlt, lautet die Rechnung: ‒ 4 + 10 = Da Frau Meier 10 € abhebt, muss sie danach weniger Geld auf dem Konto haben Man kann dies auf der Zahlengeraden so veranschaulichen: –3–2–101234567 –10 € w + 7 – 10 = ‒ 3 Da Frau Meier 10 € einzahlt, muss sie danach mehr Geld auf dem Konto haben Man kann dies auf der Zahlengeraden so veranschaulichen: –4–3–2–10 1 2 3 4 5 6 +10 € w ‒ 4 + 10= + 6 30 Auf der Zahlengeraden ist eine Rechnung dargestellt. Schreibe diese Rechnung mit dem Ergebnis an. a) b) c) d) 31 Markiere das Vorzeichen in der Rechnung gelb und das Rechenzeichen rot. Stelle die Rechnung auf einer Zahlengeraden dar und gib das Ergebnis an. a) ‒ 4 + 3 = b) + 3 – 8 = c) ‒ 4 + 7 = d) ‒ 3 – 5 = ÓArbeitsblatt f2w9iz H1 –3–2–10 1 2 3 4 5 +7 € –4–3–2–10 1 2 3 4 5 6 +11 € –5 –2–10123456 –10 € 7 8 –2–10123456 –4 € –3 7 H1 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Lies nebenstehenden Dialog durch. Kannst du nun auch diese Aufgaben lösen? ‒ 2 – 4 = ‒ 2 + 4 = 4 – 6 = Wenn ich im zweiten Untergeschoß bin und noch drei Stockwerke hinunter fahre, bin ich im fünften Untergeschoß Ich erhalte daher ‒ 5 Wieviel ist ‒ 2 – 3? 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

32 Gib den Text als Rechnung an und berechne anschließend. a) Frau Maric hat auf ihrem Konto 12€ und hebt 17€ ab. b) Herr Samuel hat auf seinem Konto ‒ 7€ und zahlt 12€ ein. c) Frau Virtal hat auf ihrem Konto ‒ 6€ und hebt noch einmal 4€ ab. 33 In einem Raum hat es eine Temperatur von ‒ 9 °C. Schreibe eine Rechnung an und berechne die neue Temperatur. a) Es wird um 4 °C kälter. b) Es wird um 8 °C wärmer. c) Es wird um 7°C kälter. 34 Gib einen passenden Text zur Rechnung an und berechne anschließend das Ergebnis. a) ‒ 18 – 4 = b) ‒ 16 + 12 = c) ‒ 7 – 4 = d) ‒ 18 – 5 = 35 Bei einigen Aufgaben sind Fehler passiert. Markiere diese und gib das richtige Ergebnis an. ‒ 18 + 13 = ‒ 31 ‒ 4 + 9 = ‒ 5 ‒ 28 + 34 = +6 18 – 19 = 1 24 – 28 = 4 ‒ 11 – 8 = ‒ 3 ‒ 12 + 3 = ‒ 15 ‒ 18 – 4 = ‒ 22 36 Kreuze an, ob die Rechnungen richtig oder falsch sind, und gib das Lösungswort an. a) r f b) r f ‒ 5 + 7 = ‒ 7 + 5 V H ‒ 3 + 9 = + 9 – 3 F G ‒ 5 − 7 = ‒ 7 – 5 A O ‒ 3 – 9 = ‒ 9 – 3 R I + 5 + 7 = ‒ 5 – 7 S L ‒ 3 + 9 = ‒ 9 + 3 E O ‒ 5 + 7 = 7 – 5 T E ‒ 3 – 9 = 3 + 9 R H 37 Berechne die Ergebnisse. Was fällt dir auf? a) ‒ 8 – 5 = b) ‒ 6 – 3 = c) ‒ 4 – 2 = d) ‒ 7 – 1 = ‒ 8 + 5 = ‒ 6 + 3 = ‒ 4 + 2 = ‒ 7 + 1 = + 8 – 5 = + 6 – 3 = + 4 – 2 = +7–1= + 8 + 5 = + 6 + 3 = + 4 + 2 = +7+1= Berechne das Ergebnis. a) ‒ 28 – 33 = b) ‒ 28 + 33 = Man kann beide Rechnungen z.B. mit Schulden auf einem Bankkonto erklären. a) Man hat 28 € Schulden und hebt noch einmal 33 € ab. Um die Gesamtschulden zu erhalten, addiert man die Zahlen 28 und 33: Nebenrechnung: 28 + 33 = 61 w ‒ 28 – 33 = ‒ 61 b) Man hat 28 € Schulden und zahlt 33 € ein. Da man nachher einen positiven Kontostand hat, erhält man eine positive Zahl. Man subtrahiert 28 von 33: Nebenrechnung: 33 – 28 = + 5 w ‒ 28 + 33 = + 5 38 Ergänze die fehlenden Vorzeichen, Nebenrechnungen und Ergebnisse. Vorzeichen des Ergebnisses Nebenrechnung Ergebnis ‒ 38 – 49 ‒ 38 + 49 = 87 ‒ 87 a) ‒ 25 – 36 = b) ‒ 18 + 29 = c) ‒ 66 + 38 = d) 35 – 77 = H2 H2 H1, H2 H3 H3 H2, H3 Muster H2 Denke daran! Hier kannst du addieren: ‒ 18 – 34 = ‒ (18 + 34) = – 52 Hier kannst du subtrahieren: ‒ 35 + 29 = ‒ (35 – 29) = – 6 13 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

39 Bestimme das Ergebnis. i) Gib zuerst an, ob das Ergebnis der Rechnung positiv oder negativ ist. ii) Gib an, ob du bei der Nebenrechnung addieren oder subtrahieren musst. iii) Bestimme das Ergebnis der Rechnung. a) ‒ 409 – 733 = b) ‒ 803 + 548 = c) + 349 – 807 = d) ‒ 433 + 388 = e) ‒ 299 + 841 = f) + 492 – 807 = g) + 803 – 899 = h) + 305 – 741 = i) ‒ 878 – 392 = 40 Erkläre, wieso diese Rechnung stimmt. a) 77 – 89 = ‒ (89 – 77) b) ‒ 55 – 78 = ‒ (55 + 78) c) ‒ 32 + 99 = ‒ (99 – 32) 41 Hier siehst du die Abschlusstabelle der Qualifikationsgruppe aus der österreichischen Bundesliga aus der Saison 2021/22. T steht für die Anzahl der geschossenen Tore, GT für die Anzahl der erhaltenen Tore (Gegentreffer). Die Tordifferenz ist die Differenz der geschossenen und der erhaltenen Tore. Gib die Tordifferenz der sechs Mannschaften an. 42 Berechne das Ergebnis. a) ‒ 47309 – 7897 = b) ‒ 23 897 + 45 988 = c) +12 085 – 18704 = d) –718 – 903 = e) ‒ 38 507 + 12744 = f) ‒ 85 309 + 48 956 = g) +43 992 – 57806 = h) 468 – 792 = 43 Berechne. a) ‒ 4 – 8 – 7 + 23 + 15 – 18 = b) + 23 – 19 – 38 + 24 – 15 = c) ‒ 12 + 5 – 3 + 37 – 14 – 1 = d) ‒ 18 – 3 – 5 – 7 – 9 – 8 – 12 = e) + 23 – 4 – 6 – 9 – 13 + 28 = f) ‒ 16 – 3 – 5 – 7 + 3 + 5 + 7 = Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Da ganze Zahlen Vorzeichen besitzen, treffen beim Rechnen mit ganzen Zahlen Vor- und Rechenzeichen aufeinander. Dies wird mit Klammern gelöst: z.B. (– 3) – (+ 4) = Um Rechnungen dieser Art zu lösen, bietet sich eine Kurzform an. Um diesen Zusammenhang zu zeigen werden Gutscheine und Schuldscheine verwendet. Addieren einer positiven ganzen Zahl Addieren einer negativen ganzen Zahl (‒ 40) + (+ 20) = (‒ 40) + (‒ 20) = vorher: –20 € –20 € –20 € –20 € +20 € nachher: vorher: –40 € –40 € –20 € nachher: Tom hat 40 € Schulden und gibt 20 € Guthaben dazu Daher hat er nachher weniger Schulden Es gilt daher: (‒ 40) + (+ 20) = ‒ 40 + 20 = ‒ 20 Jemand hat 40 € Schulden und bekommt noch 20 € Schulden dazu Er hat danach 60 € Schulden Es gilt daher: (‒ 40) + (‒ 20) = ‒ 40 – 20 = ‒ 60 Kommt Guthaben dazu, wird das Ergebnis größer Kommen Schulden dazu, wird das Ergebnis kleiner H2 H3 H3 T GT 7 WSG Watters 46 58 8 LASK 44 42 9 SCR Altach 24 49 10 Ried 40 54 11 Hartberg 43 47 12 Admira 36 46 H2 H2 Du kannst Summanden und Subtrahenden zusammenfassen 14 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Die verkürzte Schreibweise nennt man auch Kurzform. Bei dieser darf man die Klammern weglassen. Steht ein Vorzeichen vor der ersten Zahl ist eine Klammer nicht notwendig. Schreibweisen wie ‒ 3 – ‒ 9 = oder ‒ 3 + + 8 = sind nicht erlaubt. Addieren ganzer Zahlen Addiert man ganze Zahlen, kann die Kurzform verwendet werden. Es gilt: a + (+ b) = a + b kurz: aus + (+) wird + a + (‒ b) = a – b kurz: aus + (–) wird – Bringe die Rechnung zuerst in die Kurzform und berechne. a) (‒ 8) + (+ 4) = b) (‒ 2) + (‒ 8) = a) (‒ 8) + (+4) = ‒ 8 + 4 = ‒ 4 b) (‒ 2) + (‒ 8) = ‒ 2 – 8 = ‒ 10 44 Bringe die Rechnung in die Kurzform und berechne anschließend das Ergebnis. a) (‒ 8) + (+ 9) = = b) (‒ 8) + (‒ 3) = = c) (‒ 12) + (+ 4) = = d) (+ 8) + (‒ 5) = = e) (‒ 7) + (+ 3) = = f) (+ 8) + (+ 3) = = g) (‒ 13) + (‒ 7)= = h) (‒ 6) + (‒ 7) = = 45 Schreibe die Rechnung in der Kurzform an und berechne anschließend das Ergebnis. + + 7 ‒ 4 ‒ 8 + 12 ‒ 3 + 6 ‒ 9 ‒ 12 46 Stelle die Sachverhalte als Rechnung dar und berechne anschließend das Ergebnis. a) b) Subtrahieren einer positiven ganzen Zahl Subtrahieren einer negativen ganzen Zahl (+ 40) – (+ 20) = (+ 40) – (– 20) = vorher: 20 € +20 € +20 € nachher: vorher: 60 € –20 € +60 € nachher: Tom hat insgesamt 40 € Guthaben und hebt 20 € Guthaben ab Danach hat er weniger Geld Es gilt daher: (+ 40) – (+ 20) = 40 – 20 = 20 Tom hat 60 € Guthaben und 20 € Schulden und daher insgesamt 40 € Guthaben Dann werden ihm 20 € Schulden erlassen Danach hat er ein größeres Guthaben Es gilt daher: (+ 40) – (– 20) = 40 + 20 = 60 Kommt ein Guthaben weg, dann wird das Ergebnis kleiner Kommen Schulden weg, dann wird das Ergebnis größer Merke Muster H2 H2 H1 vorher: –30 € –30 € –40 € nachher: vorher: –60 € –30 € –60 € –30 € +30 € nachher: 15 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Subtrahieren ganzer Zahlen Subtrahiert man ganze Zahlen, kann die Kurzform verwendet werden. Es gilt: a – (+ b) = a – b kurz: aus – (+) wird – a – (‒ b) = a + b kurz: aus – (–) wird + Bringe die Rechnung zuerst in die Kurzform und berechne. a) (‒ 8) – (+ 4) = b) (‒ 2) – (‒ 8) = a) (‒ 8) – (+4) = ‒ 8 – 4 = ‒ 12 b) (‒ 2) – (‒ 8) = ‒ 2 + 8 = + 6 47 Bringe die Rechnung in die Kurzform und berechne anschließend das Ergebnis. a) (‒ 8) – (+ 9) = = b) (‒ 8) – (‒ 3) = = c) (‒ 12) – (+ 4) = = d) (+ 8) – (‒ 5) = = e) (‒ 7) – (+ 3) = = f) (+ 8) – (+ 3) = = g) (‒ 13) – (‒ 7) = = h) (‒ 6) – (‒ 7) = = 48 Schreibe die Rechnung in der Kurzform an und berechne anschließend das Ergebnis. – + 3 ‒ 8 ‒ 12 + 14 ‒ 3 + 4 ‒ 9 ‒ 12 49 Stelle die Sachverhalte als Rechnung dar und berechne anschließend das Ergebnis. a) b) 50 Setze das Rechenzeichen + oder – so ein, dass das Ergebnis möglichst groß wird. a) (‒ 19) … (‒ 34) = … b) (‒ 19) … (+ 34) = … c) (+ 25) … (+ 34) = … 51 Bringe die Rechnung zuerst auf die Kurzform und berechne anschließend. a) (‒ 12) + (‒ 9) – (‒ 12) – (+ 24) = b) (‒ 58) – (‒ 13) + (‒ 24) – (‒ 15) + (‒ 18) = c) (+5) + (+13) + (‒ 16) – (‒ 8) + (‒ 18) = d) (‒ 1) + (‒ 2) + (‒ 3) + (+ 4) = e) (+23) – (+14) + (‒ 15) – (+17) + (‒ 23) = f) (‒ 6) + (‒ 19) + (‒ 13) + (‒ 7) + (‒ 22) = 52 Bei der Rechnung ist ein Fehler passiert. Finde diesen und stelle die Rechnung richtig. a) (–12) – (+23) + (–38) – (–14) = b) (–1) – (+2) + (–3) – (–1) = =–12–23–38–14= =–1–2–3+1= = – 87 = – 7 c) (–300) - (+203) + (–25) – (–38)= =–300–203–25+38= = – 566 53 ] Bei der Rechnung ist ein Teil verloren gegangen. Ersetze die passende ganze Zahl. a) (‒ 8) + = ‒ 34 b) (‒ 7) – = 18 c) (+ 12) + = ‒ 1 d) (+ 13) – = + 39 Merke Muster H2 Ó Arbeitsblatt f357yx H2 H2 vorher: 70 € +40 € +70 € nachher: vorher: –60 € –20 € –20 € nachher: H1, H2 H2 H3 H2 16 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

54 Die drei Jugendlichen stellen Behauptungen über das Rechnen mit ganzen Zahlen auf. Nur eine Person hat recht. Erkläre den anderen beiden, was sie übersehen haben. 55 Der Marianengraben befindet sich 11 034 Meter unter dem Meeresspiegel. Berechne den Höhenunterschied zum angegebenen Ort. a) Mount Everest: 8 850 m b) Großglockner: 3 798 m c) Wien: 171 m 56 In der Tabelle siehst du für verschiedene Länder die höchste und die niedrigste Temperatur (gerundet), die bis zum Jahr 2021 gemessen wurde. Berechne jeweils den Temperaturunterschied. Land Österreich Deutschland Russland Finnland höchste Temperatur 41 °C 41 °C 44 °C 37 °C niedrigste Temperatur ‒ 26 °C ‒ 38 °C ‒ 68 °C ‒ 52 °C 57 Frau Hauser hat 600 € Schulden auf ihrem Konto. Wie viel muss sie einzahlen, damit sie nachher 600 € Guthaben auf ihrem Konto hat? 58 Herr Mahmud hat einen Kontostand von +2 300 €. Sein Über- ziehungsrahmen beträgt 1 200 €. Von seinem Konto werden folgende Geldbeträge abgebucht: 800 €, 750 €, 1 000 € Können alle Ausgaben abgebucht werden? Wie lautet sein neuer Kontostand? 59 Frau Kollfisch hat einen Kontostand von + 2100 €. Ihr Überziehungsrahmen beträgt 3 200 €. Von ihrem Konto werden folgende Geldbeträge abgebucht: 1 200 €, 740 €, 185 €, 350 € i) Wie lautet ihr neuer Kontostand? ii) Wie viel Euro könnte sie noch abheben, damit sie einen Kontostand von ‒ 3 200 € besitzt? Gecheckt? ææ Ich kann ganze Zahlen addieren und subtrahieren 60 Gib die Rechnung in Kurzform an und berechne. a) (‒ 29) – (‒ 38) = = b) (+ 34) + (‒ 78) = = 61 Berechne das Ergebnis. a) (‒ 28) – (‒ 34) + (‒ 12) – (‒ 18) = b) (‒ 55) + (‒ 44) – (+ 34) – (‒ 89) + (‒ 12) = 62 Frau Tuba hat einen Kontostand von +1 824 €. Ihr Überziehungsrahmen beträgt 800 €. Von ihrem Konto werden folgende Geldbeträge abgebucht: 785 €, 368 €, 1 239 €, 78 € Können alle Ausgaben abgebucht werden? Wie lautet ihr neuer Kontostand? H4 H2 H2 H1 H1 Eine Bank gewährt manchmal einen Überziehungsrahmen Dies ist der maximale Betrag, den das Konto im Minus sein darf Dafür werden auch Zinsen verrechnet H1 Ó Komplettlösung nx45j4 H2 H2 H1 Ó Arbeitsblatt f384my Subtrahiert man eine ganze Zahl von einer natürlichen Zahl, dann wird das Ergebnis immer größer als die Ausgangszahl Addiert man eine positive natürliche Zahl zu einer ganzen Zahl, dann ist das Ergebnis immer größer als die Ausgangszahl Addiert man zwei ganze Zahlen, dann ist das Ergebnis stets kleiner als die beiden Zahlen Alara Julia Lara 17 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann ganze Zahlen multiplizieren und dividieren Multiplizieren ganzer Zahlen Du hast schon gelernt, wie man ganze Zahlen addiert bzw. subtrahiert. Nun soll geklärt werden, wie ganze Zahlen multipliziert werden. Dies wird anhand dieser Beispiele erarbeitet: (+ 3) · (+ 2) = (+ 3) · (‒ 2) = (‒ 3) · (+ 2) = (‒ 3) · (‒ 2) = Angabe Überlegung Lösung (+ 3) · (+ 2) = Diese Rechnung kennt man von den natürlichen Zahlen Das Ergebnis muss daher positiv sein (+ 3) · (+ 2) = + 6 (+ 3) · (‒ 2) = Diese Rechnung kann man umschreiben: (+ 3) · (‒ 2) = (‒ 2) + (‒ 2) + (‒ 2) = ‒ 6 (+ 3) · (‒ 2) = ‒ 6 (‒ 3) · (+ 2) = Auch in den ganzen Zahlen gilt das Kommutativgesetz (es darf die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden): (‒ 3) · (+ 2) = (+ 2) · (‒ 3) = ‒ 6 (‒ 3) · (+ 2) = ‒ 6 (‒ 3) · (‒ 2) = Hier ist folgende Überlegung hilfreich: (‒ 3) · (+ 2) = ‒ 6 (‒ 3) · (+ 1) = ‒ 3 (‒ 3) · 0 = 0 (‒ 3) · (‒ 1) = + 3 (‒ 3) · (‒ 2) = + 6 (‒ 3) · (‒ 2) = + 6 Multiplizieren zweier ganzer Zahlen gleiche Vorzeichen – Ergebnis positiv (+) · (+) = (+) (−) · (−) = (+) ungleiche Vorzeichen – Ergebnis negativ (+) · (−) = (−) (−) · (+) = (−) 63 Berechne und vergleiche deine Ergebnisse. a) (+ 5) · (+ 4) = b) (+ 3) · (+ 7) = c) (+ 8) · (+ 9) = d) (+ 2) · (+ 24) = (+ 5) · (‒ 4) = (+ 3) · (‒ 7) = (+ 8) · (‒ 9) = (+ 2) · (‒ 24) = (‒ 5) · (+ 4) = (‒ 3) · (+ 7) = (‒ 8) · (+ 9) = (‒ 2) · (+ 24) = (‒ 5) · (‒ 4) = (‒ 3) · (‒ 7) = (‒ 8) · (‒ 9) = (‒ 2) · (‒ 24) = ÓArbeitsblatt f4j2k3 Merke H2 3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen Was sagst du zu Pauls Aussage? Welchen Zusammenhang hat seine Aussage mit dem Multiplizieren von ganzen Zahlen? Hat er schon alles bedacht? Kann er wirklich schon mit allen ganzen Zahlen multiplizieren? Multiplizieren mit ganzen Zahlen ist leicht Wenn ich 200 € Schulden verfünffache, dann habe ich nachher 1 000 € Schulden Daher gilt: (‒ 200) · 5 = ‒ 1 000 + 3 + 3 + 3 + 3 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

64 Fülle die Multiplikationstabelle aus. a) b) 65 Ergänze die Rechenschlange. Wenn du richtig rechnest, sollte am Ende der Wert am Kopf der Schlange herauskommen. a) · (‒ 1) · (‒ 3) · (+ 2) · (‒ 1) · (+ 2) · (‒ 1) 2 b) · (‒ 5) · (‒ 1) · (+ 3) · (‒ 1) · (‒ 2) · (+ 1) ‒ 4 66 Zu den beiden Rechnungen gibt es verschiedene Lösungsvorschläge. Zwei Aussagen sind richtig. Male diese Aussagen an. Begründe deine Entscheidung. i) (‒ 1) · (‒ 1) · (‒ 1) ·(‒ 1) · (‒ 1) · (‒ 1) · (‒ 1) = ii) (‒ 1) · (‒ 1) · (‒ 1) ·(‒ 1) · (‒ 1) · (‒ 1) = Bei i) ist das Ergebnis ‒ 1, da die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist Bei i) ist das Ergebnis + 1, da Minus mal Minus Plus ergibt Bei ii) ist das Ergebnis + 1, da die Anzahl der negativen Faktoren gerade ist Bei ii) ist das Ergebnis ‒ 1, da die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist 67 Ergänze den Satz, sodass eine richtige Aussage entsteht. Multipliziert man eine ganze Zahl (ungleich 0) mit ‒ 1, dann erhält man … 68 Berechne das Ergebnis. a) (‒ 2) · (+ 3) · (‒ 4) · (‒ 2) = b) (‒ 1) · (‒ 2) · (‒ 3) · (‒ 5) · (‒ 1) · (‒ 2) = c) (‒ 2) · (‒ 1) · (‒ 5) · (+ 3) = d) (‒ 1) · (+ 3) · (‒ 4) · (‒ 5) · (‒ 2) · (‒ 2) = 69 Ergänze die Lücken so, dass eine mathematisch richtige Aussage entsteht. Das Produkt aus einer negativen Zahl und ihrer Gegenzahl ist immer  , weil die beiden Zahlen  .   positiv æ unterschiedliches Vorzeichen besitzen æ negativ æ gleiches Vorzeichen besitzen æ null æ einander aufheben æ 70 ] Eine dieser Fragen ist nicht lösbar. Welche? Begründe deine Entscheidung. i) Wie oft muss man (‒ 3) mit (‒ 2) multiplizieren um ‒ 48 zu erhalten? ii) Wie oft muss man (+ 3) mit (‒ 5) multiplizieren um + 375 zu erhalten? iii) Wie oft muss man (‒ 6) mit (‒ 2) multiplizieren um +192 zu erhalten? H2 · + 2 ‒ 2 ‒ 9 + 4 ‒ 10 ‒ 5 + 3 ‒ 15 · + 7 ‒ 2 ‒ 8 + 5 ‒ 14 ‒ 3 ‒ 6 ‒ 12 H2 + 24 ‒ 120 H3 H3 H2 H4 H4 19 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Dividieren ganzer Zahlen Auch bei ganzen Zahlen ist das Dividieren die Umkehrung des Multiplizierens. Damit kann man sich die Rechenregeln für die Division überlegen. (+ 3) · (+ 2) = (+ 6) w Probe: (+ 6) : (+ 2) = (+ 3) (+) : (+) muss (+) sein (+ 3) · (‒ 2) = (‒ 6) w Probe: (‒ 6) : (‒ 2) = (+ 3) (‒) : (‒) muss (+) sein (‒ 3) · (+ 2) = (‒ 6) w Probe: (‒ 6) : (+ 2) = (‒ 3) (‒) : (+) muss (‒) sein (‒ 3) · (‒ 2) = (+ 6) w Probe: (+ 6) : (‒ 2) = (‒ 3) (+) : (‒) muss (‒) sein Dividieren zweier ganzer Zahlen gleiche Vorzeichen – Ergebnis positiv (+) : (+) = (+) (−) : (−) = (+) ungleiche Vorzeichen – Ergebnis negativ (+) : (−) = (−) (−) : (+) = (−) 71 Berechne und überprüfe mit der Probe. a) (+ 5) · (+ 3) = Probe: : = b) (+ 5) · (‒ 3) = Probe: : = c) (‒ 5) · (+ 3) = Probe: : = d) (‒ 5) · (– 3) = Probe: : = 72 Berechne das Ergebnis. a) (+ 49) : (+ 7) = b) (‒ 64) : (+ 8) = c) (‒ 100) : (‒ 100) = d) (‒ 50) : (+ 2) = e) (‒ 4) : (+ 2) = f) (+ 9) : (‒ 3) = g) (‒ 8) : (+ 4) = h) (‒ 40) : (+ 5) = 73 Ergänze die Rechenschlange. Wenn du richtig rechnest, sollte am Ende der Wert am Kopf der Schlange herauskommen. : (‒ 1) : (‒ 2) : (‒ 3) : (+ 5) : (+ 2) : (‒ 1) ‒ 180 74 Ergänze den Rechenturm. Hierbei musst du benachbarte Zahlen dividieren. a) b) c) ‒ 32 + 1 ‒ 48 ‒ 4 + 2 ‒ 1 ‒ 64 + 4 ‒ 2 ‒ 1 + 128 ‒ 2 75 Setze <, > oder = ein. a) (+ 18) : (‒ 2) (‒ 18) : (‒ 2) b) (+ 98) : (+ 7) (‒ 98) : (‒ 7) c) (+ 64) : (‒ 8) (‒ 64) : (‒ 8) d) (‒ 25) : (‒ 5) (+ 25) : (+ 5) 76 Berechne den Quotienten. a) (‒ 70 000) : (+ 700) = b) (‒ 49 000 000) : (‒ 70 000) = c) (+ 81 000 000) : (‒ 30 000) = d) (‒ 320 000) : (‒ 4 000) = e) (+ 10 000 000) : (‒ 10) = f) (‒ 640 000 000) : (+ 400) = Merke H2 H2 H2 ‒ 3 H2 H2 H2 Du kannst beim Dividenden und beim Divisor die gleiche Anzahl an Nullen wegstreichen 20 3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

77 Berechne das Ergebnis. a) (+ 49) : |‒ 7| = b) |‒ 100| : (‒ 5) = c) |‒ 225| : (‒ 1) = d) |‒ 4| : (+ 2) = e) (‒ 48) : |‒ 12| = f) (‒ 8) : |+ 4| = 78 ] Dividiere die Zahl + 64 so oft durch ‒ 2 bis du als Ergebnis +1 erhältst. Notiere alle Zwischenergebnisse. Welches Zwischenergebnis ist das kleinste? 79 Die Kinder stellen verschiedene Behauptungen auf. Wer von ihnen hat recht? Erkläre bei falschen Behauptungen, warum diese nicht stimmen. 80 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch Multipliziert man eine positive ganze Zahl mit ‒ 1, so erhält man die Gegenzahl Besitzen bei einer Division der Dividend (ungleich 0) und der Divisor unterschiedliche Vorzeichen, so ist das Ergebnis negativ Das Produkt von 20 negativen Faktoren muss negativ sein 81 Schreibe die Aufgabe als Rechnung an und berechne anschließend das Ergebnis. a) Berechne das Produkt von ‒ 3 und ‒ 9. b) Berechne den Quotienten von ‒ 64 und ‒ 8. c) Der Divisor ist ‒ 35, der Quotient ist ‒ 5. Berechne den Dividenden. Gecheckt? ææ Ich kann ganze Zahlen multiplizieren und dividieren 82 Erkläre die Rechenregeln beim Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen. 83 Berechne die Ergebnisse. a) (+ 8) · (+ 7) = b) (+ 4) · (+ 1) = c) (+ 12) · (+ 9) = (+ 8) · (‒ 7) = (+ 4) · (‒ 1) = (+ 12) · (‒ 9) = (‒ 8) · (+ 7) = (‒ 4) · (+ 1) = (‒ 12) · (+ 9) = (‒ 8) · (‒ 7) = (‒ 4) · (‒ 1) = (‒ 12) · (‒ 9) = 84 Berechne das Ergebnis. a) (+ 100) : (‒ 5) = b) (‒ 200) : (+ 2) = c) (+ 80) : (‒ 5) = d) (‒ 8) : (‒ 1) = e) (+ 9) : (‒ 9) = f) (‒ 8) : (+ 2) = H2 H2 H4 Ob ich eine Zahl mit ‒ 1 multipliziere oder durch ‒ 1 dividiere, ist egal Das Produkt und der Quotient sind gleich Wenn ich eine ganze Zahl mit ‒ 2 multipliziere, dann ist das Ergebnis immer größer als die Zahl Wenn ich eine ganze Zahl mit einer positiven ganzen Zahl multipliziere, dann wird das Ergebnis größer als die beiden Zahlen Wenn ich eine ganze Zahl durch ‒ 1 dividiere, dann erhalte ich stets eine negative ganze Zahl H3 H2 Ó Komplettlösung ny2ka3 H2 H2 H2 Ó Arbeitsblatt f4kc4k Der Betrag einer Zahl ist immer positiv Maria Caro Tom Julia 21 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kenne die Vorrangregeln und kann diese anwenden Wie beim Rechnen mit natürlichen Zahlen, gelten die Vorrangregeln auch beim Rechnen mit ganzen Zahlen. Vorrangregeln ——Rechnungen in Klammern müssen zuerst berechnet werden. KLA —— Punkt- vor Strichrechnung. PUSTRIX ——Man rechnet von links nach rechts. Berechne das Ergebnis. (‒ 4) – [(‒ 4) + (‒ 12) · (+ 3)] : (‒ 2) = Zuerst die eckige Klammer. In der Klammer zuerst die Punktrechnung. (‒ 4) − [(‒ 4) + (‒ 36)] : (‒ 2) = Klammer fertig ausrechnen (Kurzform). = (‒ 4) – [‒ 4 – 36] : (‒ 2) = = (‒ 4) − (‒ 40) : (‒ 2) = Punktrechnung berechnen. = (‒ 4) − (+ 20) = Strichrechnungen von links nach rechts. = ‒ 4 − 20 = ‒ 24 85 Berechne und achte auf die Vorrangregeln. a) (‒ 3) + (‒ 15) · (‒ 2) = b) (‒ 12) − (‒ 5) · (+ 3) = c) + 12 + (‒ 8) · (‒ 3) = d) (‒ 2) − (‒ 28) : (‒ 4) = e) (+ 14) + (+ 25) : (‒ 5) = f) ‒ 3 − (+ 16) : (‒ 4) = 86 Berechne und achte auf die Vorrangregeln. a) [(‒ 3) + (‒ 15)] · (‒ 2) = b) (+ 4) · [(‒ 2) – (‒ 5)] = c) ‒ 28 : [(‒ 9) + (‒ 5)] = 87 Berechne und erkläre, warum hier unterschiedliche Ergebnisse herauskommen. a) (‒ 2) + (‒ 3) · (+ 5) + (‒ 1) = b) (‒ 16) − (‒ 8) : (‒ 4) + (‒ 4) = [(‒ 2) + (‒ 3)] · (+ 5) + (‒ 1) = [(‒ 16) − (‒ 8)] : (‒ 4) + (‒ 4) = (‒ 2) + (‒ 3) · [(+ 5) + (‒ 1)] = (‒ 16) − (‒ 8) : [(‒ 4) + (‒ 4)] = [(‒ 2) + (‒ 3)] · [(+ 5) + (‒ 1)] = [(‒ 16) − (‒ 8)] : [(‒ 4) + (‒ 4)] = 88 Ordne jeder Rechnung den richtigen nächsten Schritt zu. (+ 5) + (‒ 4) · (‒ 1) + (‒ 7) = A (+ 5) + (‒ 4) · (‒ 8) (+ 5) + (‒ 4) · [(‒ 1) + (‒ 7)] = B (+ 5) + (+ 4) + (‒ 7) [(+ 5) + (‒ 4)] · (‒ 1) + (‒ 7) = C (+ 1) · (‒ 8) [(+ 5) + (‒ 4)] · [(‒ 1) + (‒ 7)] = D (+ 1) · (‒ 1) + (‒ 7) ÓArbeitsblatt f4ru8d Merke Muster vor vor Klammerrechnung Punktrechnung Strichrechnung H2 H2 H2 H2 4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten Hannah lernt in der dritten Klasse das Rechnen mit ganzen Zahlen. Dazu sieht sie sich ihr Heft aus der ersten Klasse an. Sie sieht dabei nebenstehende Zeichnung. Kannst du ihr diese erklären? Wobei hat diese geholfen? 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

89 Ergänze die Lücken so, dass eine mathematisch richtige Aussage entsteht. Bei der Rechnung (‒ 3) − (‒ 4) · [(‒ 2) + (‒ 9)] = muss man zuerst die  berechnen, weil die  Vorrang hat.   Addition æ Strichrechnung æ Subtraktion æ Punktrechnung æ Multiplikation æ Rechnung in der Klammer æ 90 Berechne der Reihe nach und finde das Lösungswort. (‒ 2) + (‒ 40) : (‒ 5) + (‒ 1) = w (‒ 2) · [(‒ 40) : (‒ 5) + (‒ 1)] = w [(‒ 2) + (‒ 40)] : (‒ 21) + (‒ 1) = w [(‒ 4) − (‒ 40)] : [(‒ 5) + (+ 1)] = w (‒ 2) · (‒ 1) + (‒ 28) : (‒ 2) · (‒ 1) = 91 Bei jeder Rechnung wurde ein Fehler gemacht. Finde den Fehler und stelle ihn richtig. Beschreibe den Fehler in eigenen Worten. Manchmal wurden schon Klammern vereinfacht und Rechnungen in Kurzform angeschrieben, wie z.B bei dieser Aufgabe: ‒ 8 – 3 · (‒ 2) Diese Schreibweise ist z.B. eine Abkürzung für ‒ 8 – (+ 3) · (‒ 2). Achtung: Ein Vor- und Rechenzeichen dürfen trotzdem nicht ohne Klammer nebeneinander stehen. Berechne das Ergebnis. ‒ 14 – 9 : (‒ 3) – 18 : (+ 2) = Hier wurde bei 9 und 18 das Vorzeichen weggelassen. Man kann dies auf zwei Arten lösen: 1. Art: Man denkt sich bei jeder Zahl 2. Art: Man schreibt sofort ein + dazu: das passende Rechenzeichen auf: ‒ 14 − (+ 9) : (‒ 3) – (+ 18) : (+ 2) = ‒ 14 – 9 : (‒ 3) − 18 : (+ 2) = = ‒ 14 – (‒ 3) − (+ 9) = = ‒ 14 + 3 − 9 = ‒ 20 = ‒ 14 + 3 – 9 = ‒ 20 92 Berechne das Ergebnis, achte dabei auf die Vorrangregeln. a) ‒ 12 − 9 · (‒ 2) = b) 23 + 8 · (‒ 7) = c) ‒ 34 − 12 · (+ 3) = d) ‒ 12 · (‒ 4) + 5 · (‒ 1) = e) ‒ 36 : (+ 6) + 3 : (‒ 3) = f) ‒ 18 · (+ 3) – 12 : (‒ 4) = g) ‒ 7 · [‒ 2 – 3 · (+ 4)] = h) ‒ 3 − [(‒ 12) – 4 · (‒ 2)] = i) ‒ 12 + 9 · (‒ 4) = 93 Berechne das Ergebnis. a) (‒ 5) · |‒ 4| + 3 · (+ 4) = b) |‒ 11| · (‒ 2) – |+ 3| · |‒ 3| = c) (|‒ 12| – |+ 3|) : (‒ 3) = d) [|‒ 5| − 6 · (‒ 2)] : |‒ 17| = e) |‒ 12| − 9·|+1| = f) |‒ 1| − 9 · |+ 1| · (‒ 2) = H4 M T H E A T U Start +5 +18 +7 +3 +16 +7 +1 –12 –5 –9 –14 –3 H2 H2, H4 Muster H2 H2 b) [(– 14) + (– 7)] : [(– 3) − (+ 4)] = = (–14 − 7):(–3 − 4) = − 21 : (+ 1) = − 21 a) (– 4) + (– 18) : (– 2) + (– 1) = = (–22):(–2) + (–1) = =+11−1=10 Erinnere dich: |–4| = 4 23 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

www.oebv.at

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=