7 B Grundbegri ffe der Di fferent ialrechnung Differentialquotient als Tangentensteigung Der Differenzenquotient einer Funktion f in einem Intervall [x; z] ist gleich der Steigung der Sekante des Funktionsgraphen in diesem Intervall, d. h. gleich der Steigung der Geraden durch die Punkte X = (x 1 f(x)) und Z = (z 1 f(z)). Nähert sich z unbegrenzt der Stelle x, so nähert sich der Punkt Z unbegrenzt dem Punkt X und die Sekante nähert sich unbegrenzt einer „Grenzgeraden“ t. Die Steigung dieser „Grenzgeraden“ ist der Grenzwert der Sekantensteigungen: Steigung dieser „Grenzgeraden“ = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = f’(x). Die Gerade durch den Punkt X(x 1 f(x)) mit der Steigung f’(x) bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X. Die Steigung f’(x) dieser Tangente heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. Vorzeichen von f’(x) f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) = 0 Ist f’(x) > 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) positiv und die Tangente somit eine steigende Gerade. Ist f’(x) < 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) negativ und die Tangente somit eine fallende Gerade. Ist f’(x) = 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) gleich 0 und die Tangente somit parallel zur ersten Achse. Richtungsvektor der Tangente Der Vektor (1 1 f’(x 0 )) ist ein Richtungsvektor der Tangente an den Graphen im Punkt X0(x0 1 f(x0 )). Eine Parameterdarstellung dieser Tangente ist gegeben durch: t: X = 2 x 0 f(x 0 ) 3+ s · 2 1 f’(x 0 ) 3 Ableitungsfunktion Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion, für die an jeder Stelle x0 * A der Differentialquotient f’(x0 ) existiert. Dann ist durch f’: x ¥ f’(x) wiederum eine Funktion definiert. Man nennt f’ die Ableitungsfunktion von f (kurz die Ableitung von f). Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren. Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Ableitung einer konstanten Funktion: f(x) = c w f’(x) = 0 (c * R) Potenzregel für natürliche Exponenten: f(x) = xn w f’(x) = n · xn – 1 (n * N*) Regel vom konstanten Faktor: f(x) = c · g(x) w f’(x) = c · g’(x) (c * R) Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) w f’(x) = g’(x) + h’(x) Ableitung einer Polynomfunktion: f(x) = a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0 w f’(x) = n · a n· x n – 1+ (n – 1) · a n – 1· x n – 2 + … + a 1 f t z X z x f (x) x f f (x) x f (x) f x f (x) f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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