6 Grundkompetenzen für die Rei feprüfung AN-R 1 . 2 Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen arbeiten. AN-R 1 . 3 Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. AN-R 2 .1 Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, … Grundwissen in Kurzform Geschwindigkeit Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t), dann setzt man: Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1 ; t 2] = _ v(t 1 ; t2) = s(t 2) – s(t 1) __ t 2– t 1 Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v(t) = lim z ¥ t _ v(t; z) = lim z ¥ t s(z) – s(t) __ z – t Differenzenquotient und Differentialquotient Es sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die Zahl f(b) – f(a) __ b – a heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Der Grenzwert f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x heißt Differentialquotient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x. (Mittlere) Änderungsgeschwindigkeiten sind Spezialfälle von (mittleren) Änderungsraten, wobei x die Zeit ist. Geometrische Deutung des Differenzenquotienten Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die lineare Funktion s mit s(a) = f(a) und s(b) = f(b) heißt Sekantenfunktion von f in [a; b]. Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) der Funktion f in [a; b] ist gleich der Steigung der Sekantenfunktion von f in [a; b]. Zwei Auffassungen des Differenzenquotienten Ein Differenzenquotient f(b) – f(a) __ b – a kann aufgefasst werden als Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b], mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit im Intervall [a; b]. Er ist ein Maß dafür wie „rasch“ eine Funktion in einem Intervall im Mittel wächst oder fällt. b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f B Grundbegriffe der Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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