3 A Gleichungen und Polynomfunkt ionen Grundkompetenzen für die Rei feprüfung AG-R 1 . 2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Gleichungen, Umformungen, Lösbarkeit. FA-R 4 . 3 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können. FA-R 4 . 4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Nullstellen … wissen. Grundwissen in Kurzform Polynome und Gleichungen vom Grad n (1) Ein Ausdruck der Form a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynom vom Grad n. (2) Eine Gleichung der Form a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0= 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n. (3) Eine reelle Funktion f mit f(x) = a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom Grad n. Abspalten von Linearfaktoren Ist f(x) ein Polynom vom Grad n und α eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, dann gilt f(x) = (x – α ) · g(x) für alle x * ℝ, wobei g(x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Hat eine algebraische Gleichung f(x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen α 1 , α 2, …, α k , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x) = (x – α 1) · (x – α 2) ·…· (x – α k) · g(x) Da f(x) vom Grad n ist, lassen sich höchstens n Linearfaktoren abspalten Anzahl von Lösungen bzw. Nullstellen Für eine algebraische Gleichung f(x) = 0 gilt: Die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 sind identisch mit den Nullstellen von f. Da man von f(x) höchstens n Linearfaktoren abspalten kann, ergeben sich die beiden äquivalenten Aussagen: Eine algebraische Gleichung vom Grad n besitzt höchstens n reelle Lösungen. Eine Polynomfunktion vom Grad n besitzt höchstens n Nullstellen. A Gleichungen und Polynomfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=