13 C Untersuchen von Polynomfunkt ionen Extrempunkte des Graphen von f Sei f: A ¥ B eine reelle Funktion. Ist p eine lokale Maximumstelle von f, so nennt man den Punkt H = (p 1 f(p)) einen Hochpunkt des Graphen von f. Ist p eine lokale Minimumstelle von f, so nennt man den Punkt T = (p 1 f(p)) einen Tiefpunkt des Graphen von f. Die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f nennt man Extrempunkte des Graphen von f. Bedingungen für Monotonie und Extremstellen Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist streng monoton steigend in I (2) f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist streng monoton fallend in I (3) p ist lokale Extremstelle von f w f’(p) = 0 (4) Besitzt f’ keine Nullstelle in I, so gilt entweder f’(x) > 0 für alle x * I oder f’(x) < 0 für alle x * I. Die Nullstellen der Ableitung f’ zerlegen den Definitionsbereich von f in Monotonieintervalle, in denen f entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt. Als lokale Extremstellen kommen nur Randstellen der Monotonieintervalle und damit nur Nullstellen der Ableitung in Frage. Extremstellen von Polynomfunktionen in abgeschlossenen Intervallen Die Extremstellen einer Polynomfunktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] können folgendermaßen ermittelt werden: Man bestimmt die Nullstellen x1 , x2 , …, xn von f’ in [a; b] Man berechnet die Funktionswerte f(a), f(x1 ), f(x2 ), …f(xn ) und f(b). Unter diesen Funktionswerten bestimmt man die größte Zahl M und die kleinste Zahl m. Alle Stellen mit dem Funktionswert M sind Maximumstellen von f in [a; b] und alle Stellen mit dem Funktionswert m sind Minimumstellen von f in [a; b]. Krümmung Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion, f’: A ¥ R ihre Ableitung und I a A ein Intervall. Die Funktion f heißt linksgekrümmt in I, wenn f’ in I streng monoton steigend in I ist. rechtsgekrümmt in I, wenn f’ in I streng monoton fallend in I ist. Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f linksgekrümmt in I (2) f’’(x) < 0 für alle inneren Stellen von I w f rechtsgekrümmt in I Wendestellen Eine Stelle p * A heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt (p 1 f(p)) heißt Wendepunkt des Graphen von f. Die Tangente an den Graphen von f im Wendepunkt heißt Wendetangente. Für eine Polynomfunktion f: A ¥ R gilt: Ist p eine Wendestelle von f, so ist f’’(p) = 0. Ist f’’(p) = 0 ? f’’’(p) ≠ 0, so ist p eine Wendestelle von f. Ist f’(p) = 0 ? f’’(p) < 0, so ist p eine lokale Maximumstelle von f. Ist f’(p) = 0 ? f’’(p) > 0, so ist p eine lokale Minimumstelle von f. f Wendetangente Wendepunkt Wendestelle p f (p) Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv
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