10 B Grundbegri ffe der Di fferent ialrechnung B.15 Wird eine Kugel von der 90m hoch gelegenen Plattform eines Aussichtsturmes fallengelassen, so ist der zurückgelegte Weg s (in m) nach t Sekunden annähernd gegeben durch s(t) = 5t2. Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 3 Sekunden! B.16 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t), wobei t in Sekunden und s(t) in Metern angegeben ist. Berechne näherungsweise die Durchschnittsgeschwindigkeit a) im Zeitintervall [0; 10]: b) im Zeitintervall [6; 10]: c) im Zeitintervall [8; 10]: B.17 Die Höhe eines lotrecht nach oben geschossenen Steins zum Zeitpunkt t ist ungefähr gegeben durch h(t) = v0 t – 5t 2, wobei v 0 die Abschussgeschwindigkeit ist (t in Sekunden, h(t) in Meter, v0 in m/s). Berechne für v0 = 24m/s die Geschwindigkeit des Steins zum Zeitpunkt 2! v(2) = B.18 Der Weg s (in m), den ein Körper bei seiner Bewegung zurück legt, lässt sich annähernd durch die Funktionsgleichung s(t) = 1 _ 2t 3 + t beschreiben. Die Zeit t wird dabei in Sekunden gemessen. – Gib die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 3 an. v(3) = – Gib die Beschleunigung des Körpers zum Zeitpunkt t = 3 an. a(3) = B.19 Wird eine Kugel von der 180m hoch gelegenen Dachterrasse eines Hochhauses fallengelassen, so ist der zurückgelegte Weg s (in m) nach t Sekunden gegeben durch s(t) = 5t2. Berechne, mit welcher Geschwindigkeit die Kugel am Boden ankommt! B. 20 Für den Strömungswiderstand F(v) eines mit der Geschwindigkeit v fliegenden Flugzeugs gilt ungefähr F(v) = 2,3 · v2, wobei F(v) in Newton und v in km/h angegeben ist. Berechne die Änderungsrate des Strömungswiderstands bezüglich der Geschwindigkeit bei einer Geschwindigkeit von 600 km/h! B. 21 Die kinetische Energie eines Autos, dessen Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt, sei gegeben durch E(t) = 5000 · t2, wobei t in Sekunden und E(t) in Joule gemessen wird. – Berechne die mittlere Zunahme der kinetischen Energie im Zeitintervall [0; 5]! – Berechne die Zunahmegeschwindigkeit der kinetischen Energie zum Zeitpunkt 5! B. 22 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f sowie drei Tangenten an den Graphen. Bestimme die gesuchten Werte! a) f’(2) = b) f’(1) = f’(4) = f’(3) = f’(6) = f’(5) = AN-R 1 . 2 t s(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 25 50 75 100 125 150 175 0 s AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 – 2 1 2 3 4 5 6 7 8 – 2 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 – 2 1 2 3 4 5 6 7 – 4 – 2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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