2 -2 -4 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 4 6 8 10 12 14 16 18 GRundkompetenz training 7 Malle | Koth | Dorner Mathematik verstehen
Mathematik verstehen Grundkompetenzentraining 7, Arbeitsheft Schulbuchnummer 195130 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 15. April 2019, GZ BMBWF-5.018/0045-Präs/14/2018, gemäß § 14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBI. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrach für die 7. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen - Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2018) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ 2. Auflage (Druck 0003) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2019 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Roman Miksch, BSc, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: DWTC Balgavy, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-10088-7 (Mathematik verstehen OS GK-Training AH 7) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
GRundkompetenztraining für die Reifeprüfung 7 Mathematik verstehen www.oebv.at Univ.-Prof. Mag. Dr. Günther Malle Hochschulprofessorin Mag. Dr. Maria Koth Mag. Dr. Christian Dorner, BSc Prof. Mag. Dr. Helge Woschitz Prof. Mag. Sonja Malle Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhaltsverzeichnis A Gleichungen und Polynomfunktionen 3 B Grundbegriffe der Differentialrechnung 6 C Untersuchen von Polynomfunktionen 12 D Erweiterung der Differentialrechnung 22 E Anwendungen der Differentialrechnung in der Wirtschaft 26 F Wahrscheinlichkeitsverteilungen 31 G Die Binomialverteilung und weitere diskrete Verteilungen 37 H Komplexe Zahlen 42 I Wiederholungsaufgaben zu diversen Reifeprüfungs-Grundkompetenzen 44 Lösungen 56 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 A Gleichungen und Polynomfunkt ionen Grundkompetenzen für die Rei feprüfung AG-R 1 . 2 Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Gleichungen, Umformungen, Lösbarkeit. FA-R 4 . 3 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können. FA-R 4 . 4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Nullstellen … wissen. Grundwissen in Kurzform Polynome und Gleichungen vom Grad n (1) Ein Ausdruck der Form a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynom vom Grad n. (2) Eine Gleichung der Form a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0= 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt (algebraische) Gleichung vom Grad n. (3) Eine reelle Funktion f mit f(x) = a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0 (mit n * N, an , an – 1 , …, a0 * R und an ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom Grad n. Abspalten von Linearfaktoren Ist f(x) ein Polynom vom Grad n und α eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, dann gilt f(x) = (x – α ) · g(x) für alle x * ℝ, wobei g(x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Hat eine algebraische Gleichung f(x) = 0 vom Grad n mehrere Lösungen α 1 , α 2, …, α k , so kann man fortlaufend Linearfaktoren abspalten und erhält: f(x) = (x – α 1) · (x – α 2) ·…· (x – α k) · g(x) Da f(x) vom Grad n ist, lassen sich höchstens n Linearfaktoren abspalten Anzahl von Lösungen bzw. Nullstellen Für eine algebraische Gleichung f(x) = 0 gilt: Die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 sind identisch mit den Nullstellen von f. Da man von f(x) höchstens n Linearfaktoren abspalten kann, ergeben sich die beiden äquivalenten Aussagen: Eine algebraische Gleichung vom Grad n besitzt höchstens n reelle Lösungen. Eine Polynomfunktion vom Grad n besitzt höchstens n Nullstellen. A Gleichungen und Polynomfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 A Gleichungen und Polynomfunkt ionen Üben für die Rei feprüfung A.1 Gib jeweils ein Beispiel einer Gleichung vierten Grades an, die: – keine Lösungen hat – genau eine Lösung hat – genau zwei Lösungen hat – genau drei Lösungen hat A. 2 Zeige, dass x = ‒ 2 Lösung der Gleichung 4x3 – 13x + 6 = 0 ist und ermittle die restlichen Lösungen der Gleichung! A. 3 Zeige, dass x = 2 Lösung der Gleichung x4 + x3 – 22x2 – 16x + 96 = 0 ist und ermittle die restlichen Lösungen der Gleichung! A. 4 Ermittle durch Probieren eine Lösung der gegebenen Gleichung und berechne danach die weiteren Lösungen! a) x3 + 4x2 – 15x – 18 = 0 b) 9x3 – 30x2 + 28x – 8 = 0 A. 5 Kreuze jene beiden Gleichungen an, a) die genau eine Lösung haben, b) die genau zwei verschiedene Lösungen haben! x3 + x = 0 x3 – x = 0 x4 + x = 0 x4 – x2 = 0 x4 + x2 = 0 x5 – x2 = 0 x6 + x = 0 x5 – x4 = 0 x6 + x3 = 0 x6 – x4 = 0 A. 6 Ordne jeder Gleichung in der linken Tabelle die Anzahl ihrer Lösungen aus der rechten Tabelle zu! A. 7 Eine Gleichung der Form x3 + ax2 + bx + c = 0 hat die Lösungen x 1 , x2 und x3 . Berechne a, b und c! a) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 b) x1 = ‒ 2, x2 = 0, x3 = 4 a = , b = , c = a = , b = , c = A. 8 Eine Gleichung der Form x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 hat die Lösungen x 1 , x2 , x3 und x4 . Berechne a, b, c und d! a) x1 = ‒ 2, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3 b) x1 = x2 = ‒ 3, x3 = x4 = 4 a = , b = , c = , d = a = , b = , c = , d = AG-R 1 . 2 AG-R 1 . 2 AG-R 1 . 2 AG-R 1 . 2 AG-R 1 . 2 x3 – 6x2 + 10x = 0 A 0 x4 – 4x2 – 12 = 0 B 1 x4 + 2x2 + 1 = 0 C 2 x6 – 6x4 + 8x2 = 0 D 3 E 4 F 5 AG-R 1 . 2 AG-R 1 . 2 AG-R 1 . 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 A Gleichungen und Polynomfunkt ionen A. 9 Eine Gleichung der Form 1 _ 4x 4 + ax2 + b = 0 hat die Lösungen ±2 und ±4. Berechne a und b! a = , b = A.10 Kreuze jene beiden Funktionen an, a) die mehr als zwei Nullstellen haben, b) die keine Nullstellen haben! f(x) = x4 – 3x2 + 4 f(x) = x3 + 3x2 – x + 5 f(x) = x5 – x3 f(x) = x4 + 2x + 1 f(x) = x4 – x2 – 1 f(x) = 2x2 + 4x + 3 f(x) = x6 – 1 f(x) = x4 + 2x2 + 1 f(x) = x4 – 4x2 + 3 f(x) = 2x4 + 4x3 + 1 A.11 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion mit f(x) = x4 + bx2 + c. Kreuze die beiden falschen Aussagen an! Ist b < 0 und c = 0, so hat die Funktion f genau drei Nullstellen. Hat die Funktion f vier Nullstellen, so ist b < 0. Ist c > 0, so hat die Funktion keine Nullstellen. Ist b < 0, so hat die Funktion f mindestens zwei Nullstellen. Ist c < 0, so hat die Funktion f genau zwei Nullstellen. A.12 Die vier Abbildungen zeigen Graphen von Polynomfunktionen dritten Grades. Ordne jedem dieser Graphen in der linken Tabelle eine passende Zuordnungsvorschrift aus der rechten Tabelle zu! A.13 Die folgenden Abbildungen zeigen Graphen zweier Polynomfunktionen f und g vierten Grades. Gib jeweils die Nullstellen dieser Funktionen an und ermittle eine Funktionsgleichung! Nullstellen von f: f(x) = Nullstellen von g: g(x) = AG-R 1 . 2 FA-R 4 . 3 FA-R 4 . 3 f1 A x ¦ (x + 1) · (x – 2) 2 f2 B x ¦ 2x 3 – 3x2 – 3x + 2 f3 C x ¦ 1 _ 2· (x 2 – 4) · (2x + 1) f4 D x ¦ x 3 – 2,5x + 2 E x ¦ (x + 1)2 · (2 – x) F x ¦ 1 _ 2· (x 2 – 4) · (2x – 1) FA-R 4 . 3 x f1(x) 1 2 3 – 2 – 1 1 2 3 4 – 3 – 2 – 1 0 f1 x f2(x) 1 2 – 2 – 1 1 2 3 4 – 2 – 1 0 f2 x f3(x) 1 2 – 2 – 1 1 2 3 4 – 2 – 1 0 f3 x f4(x) 1 2 – 2 – 1 1 2 3 4 – 2 – 1 0 f4 FA-R 4 . 3 x f(x) 1 2 3 4 – 1 1 2 – 3 – 2 – 1 0 f x g(x) 1 2 3 4 – 3 – 2 – 1 1 – 4 – 3 – 2 – 1 0 g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 Grundkompetenzen für die Rei feprüfung AN-R 1 . 2 Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen arbeiten. AN-R 1 . 3 Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. AN-R 2 .1 Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, … Grundwissen in Kurzform Geschwindigkeit Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t), dann setzt man: Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1 ; t 2] = _ v(t 1 ; t2) = s(t 2) – s(t 1) __ t 2– t 1 Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v(t) = lim z ¥ t _ v(t; z) = lim z ¥ t s(z) – s(t) __ z – t Differenzenquotient und Differentialquotient Es sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die Zahl f(b) – f(a) __ b – a heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f in [a; b]. Der Grenzwert f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x heißt Differentialquotient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x. (Mittlere) Änderungsgeschwindigkeiten sind Spezialfälle von (mittleren) Änderungsraten, wobei x die Zeit ist. Geometrische Deutung des Differenzenquotienten Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Die lineare Funktion s mit s(a) = f(a) und s(b) = f(b) heißt Sekantenfunktion von f in [a; b]. Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) der Funktion f in [a; b] ist gleich der Steigung der Sekantenfunktion von f in [a; b]. Zwei Auffassungen des Differenzenquotienten Ein Differenzenquotient f(b) – f(a) __ b – a kann aufgefasst werden als Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b], mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit im Intervall [a; b]. Er ist ein Maß dafür wie „rasch“ eine Funktion in einem Intervall im Mittel wächst oder fällt. b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f B Grundbegriffe der Differentialrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 B Grundbegri ffe der Di fferent ialrechnung Differentialquotient als Tangentensteigung Der Differenzenquotient einer Funktion f in einem Intervall [x; z] ist gleich der Steigung der Sekante des Funktionsgraphen in diesem Intervall, d. h. gleich der Steigung der Geraden durch die Punkte X = (x 1 f(x)) und Z = (z 1 f(z)). Nähert sich z unbegrenzt der Stelle x, so nähert sich der Punkt Z unbegrenzt dem Punkt X und die Sekante nähert sich unbegrenzt einer „Grenzgeraden“ t. Die Steigung dieser „Grenzgeraden“ ist der Grenzwert der Sekantensteigungen: Steigung dieser „Grenzgeraden“ = lim z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = f’(x). Die Gerade durch den Punkt X(x 1 f(x)) mit der Steigung f’(x) bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X. Die Steigung f’(x) dieser Tangente heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. Vorzeichen von f’(x) f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) = 0 Ist f’(x) > 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) positiv und die Tangente somit eine steigende Gerade. Ist f’(x) < 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) negativ und die Tangente somit eine fallende Gerade. Ist f’(x) = 0, so ist die Steigung der Tangente im Punkt (x 1 f(x)) gleich 0 und die Tangente somit parallel zur ersten Achse. Richtungsvektor der Tangente Der Vektor (1 1 f’(x 0 )) ist ein Richtungsvektor der Tangente an den Graphen im Punkt X0(x0 1 f(x0 )). Eine Parameterdarstellung dieser Tangente ist gegeben durch: t: X = 2 x 0 f(x 0 ) 3+ s · 2 1 f’(x 0 ) 3 Ableitungsfunktion Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion, für die an jeder Stelle x0 * A der Differentialquotient f’(x0 ) existiert. Dann ist durch f’: x ¥ f’(x) wiederum eine Funktion definiert. Man nennt f’ die Ableitungsfunktion von f (kurz die Ableitung von f). Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren. Ableitungsregeln für Polynomfunktionen Ableitung einer konstanten Funktion: f(x) = c w f’(x) = 0 (c * R) Potenzregel für natürliche Exponenten: f(x) = xn w f’(x) = n · xn – 1 (n * N*) Regel vom konstanten Faktor: f(x) = c · g(x) w f’(x) = c · g’(x) (c * R) Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) w f’(x) = g’(x) + h’(x) Ableitung einer Polynomfunktion: f(x) = a nx n+ a n – 1x n – 1 + … + a 1x + a 0 w f’(x) = n · a n· x n – 1+ (n – 1) · a n – 1· x n – 2 + … + a 1 f t z X z x f (x) x f f (x) x f (x) f x f (x) f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 B Grundbegri ffe der Di fferent ialrechnung Üben für die Rei feprüfung B.1 Berechne die mittlere Änderungsrate von f im angegebenen Intervall! a) f(x) = 5x3 – 3x, [‒ 2; 3] b) f(x) = x – 8 _ x2 , [‒ 4; ‒1] B. 2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer reellen Funktion f. Berechne: a) die mittlere Änderungsrate von f in [‒2; 6]: b) die absolute Änderung von f in [‒3; 4]: c) den Differenzenquotienten von f in [2; 7]: B. 3 a) Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle b) Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle ihren Differenzenquotienten im Intervall ihre mittlere Änderungsrate im Intervall [1; 4] zu! [‒ 4; ‒ 2] zu! x ¦ x3 – 3x2 A 1 A ‒ 5 x ¦ 6 9_ x+ x B 3 B ‒ 4 x ¦ x4 – 4x3 C 6 C ‒1 x ¦ 2x2 – 8 _ x D 9 D 1 E 12 E 4 F 18 F 5 B. 4 Schreibe den Differenzenquotienten der Funktion f im angegebenen Intervall an und vereinfache das Ergebnis! a) f(x) = 3x2 + 2x, [x 1 ; x2 ] b) f(x) = 4 _ x+ 3, [a; a + h] B. 5 Von einer reellen Funktion kennt man den Funktionswert f(‒1) = 4. Der Differenzenquotient von f im Intervall [‒1; 3] beträgt 2. Berechne den Funktionswert von f an der Stelle 3! f(3) = B. 6 Von einer reellen Funktion kennt man den Funktionswert f(2) = 4. Der Differenzenquotient von f im Intervall [0; 2] beträgt ‒1, der Differenzenquotient in [2; 5] beträgt 1 und der Differenzenqotient in [0; 6] beträgt ‒2. Berechne die Funktionswerte f(0), f(5) und f(6)! f(0) = , f(5) = , f(6) = B. 7 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f: [‒6; 6] ¥ R. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die mittlere Änderungsrate von f in [‒6; 0] beträgt 0,5. Der Differenzenquotient von f in [0; 4] beträgt 1. Die Steigung der Sekantenfunktion in [‒4; 1] beträgt 0,8. Die Änderung der Funktionswerte in [‒4; 0] beträgt 1,5. Die mittlere Änderungsrate ist in keinem Intervall gleich 0. AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 – 4 – 2 1 2 3 4 5 6 – 2 0 f AN-R 1 . 3 x ¦ x2 + 5x x ¦ 5x + 8 _ x x ¦ 2x3 + x 4 _ 2 x ¦ x2 – 8 _ x AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 – 6 – 4 – 2 1 2 3 4 5 6 7 – 2 0 f AN-R 1 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 B Grundbegri ffe der Di fferent ialrechnung B. 8 Gib jeweils zwei Beispiele für Intervalle [a; b] an, so dass der Differenzenquotient der gegebenen Funktion f in [a; b] mit a) f(x) = 1 _ 4x 2 + 1 den Wert 2 hat, b) f(x) = 12 _ x + 4 den Wert ‒2 hat! B. 9 Gib ein Intervall [a; b] und eine Funktionsgleichung einer Funktion f an, so dass f in [a; b] a) einen positiven Differenzenquotienten hat, b) einen negativen Differenzenquotienten hat, aber nicht monoton steigend ist, aber nicht monoton fallend ist! B.10 Schreibe den Differentialquotienten der Funktion f an der Stelle x als Grenzwert des zugehörigen Differenzenquotienten an und vereinfache das Ergebnis! a) f(x) = 2x2 + 3x, x = 3 b) f(x) = 2 _ x+ 1, x = 2 B.11 Kreuze jeweils die beiden richtigen Aussagen an! a) f(x) = 4 + 2x w f’(‒1) < 0 b) f(x) = 2x2 – 4 w f’(1) = 0 f(x) = 6x – 3x2 w f’(1) > 0 f(x) = 2x3 – 3x2 w f’(‒1) = 0 f(x) = x4 – x5 w f’(‒ 2) > 0 f(x) = 3x2 – 8x w f’(2) = 4 f(x) = x4 – 3x3 w f’(3) > 0 f(x) = 2x4 – x5 w f’(‒1) = 3 f(x) = x2 + 3x w f’(‒ 3) < 0 f(x) = x3 + x4 w f’(1) = 7 B.12 Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle eine richtige Aussage aus der rechten Tabelle zu! a) f(x) = 15 _ 2 x 4 A f’(2) = 160 b) f(x) = 10x3 A f’’(2) = 0 f(x) = 5 _ 2x 6 B f’(2) = 240 f(x) = 3x5 B f’’(2) = 60 f(x) = 5 _ 8x 8 C f’(2) = 320 f(x) = 30x2 C f’’(2) = 120 f(x) = 1 _ 16x 10 D f’(2) = 480 f(x) = 5x4 D f’’(2) = 160 E f’(2) = 560 E f’’(2) = 240 F f’(2) = 640 F f’’(2) = 480 B.13 Kreuze jeweils die beiden richtigen Aussagen an! a) f(x) = a – 2x2 w f’(x) = a – 4x b) f(x) = x2 – a w f’(x) = 2x – 1 f(x) = 2x3 + ax w f’(x) = 6x + a f(x) = a _ 4x 4 w f’(x) = ax3 f(x) = a _ 3x 3 + 3 w f’(x) = ax2 f(x) = x5 – a5 w f’(x) = 5x4 – 5a4 f(x) = a4 x5 w f’(x) = 5a4 x4 f(x) = a2 – x3 w f’(x) = 2a – 3x2 f(x) = a3 x3 w f’(x) = 3a2 x2 f(x) = a3 x3 – x2 w f’(x) = 3a3 x2 – 2x B.14 Gegeben ist die Formel F = 1 _ 2· c 2 M4 – b3 cM2. Berechne die folgenden Ableitungen! a) dF _ db= b) dF _ dc= c) dF _ dM = AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 2 AN-R 2 .1 AN-R 2 .1 AN-R 2 .1 AN-R 2 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 B Grundbegri ffe der Di fferent ialrechnung B.15 Wird eine Kugel von der 90m hoch gelegenen Plattform eines Aussichtsturmes fallengelassen, so ist der zurückgelegte Weg s (in m) nach t Sekunden annähernd gegeben durch s(t) = 5t2. Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 3 Sekunden! B.16 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t), wobei t in Sekunden und s(t) in Metern angegeben ist. Berechne näherungsweise die Durchschnittsgeschwindigkeit a) im Zeitintervall [0; 10]: b) im Zeitintervall [6; 10]: c) im Zeitintervall [8; 10]: B.17 Die Höhe eines lotrecht nach oben geschossenen Steins zum Zeitpunkt t ist ungefähr gegeben durch h(t) = v0 t – 5t 2, wobei v 0 die Abschussgeschwindigkeit ist (t in Sekunden, h(t) in Meter, v0 in m/s). Berechne für v0 = 24m/s die Geschwindigkeit des Steins zum Zeitpunkt 2! v(2) = B.18 Der Weg s (in m), den ein Körper bei seiner Bewegung zurück legt, lässt sich annähernd durch die Funktionsgleichung s(t) = 1 _ 2t 3 + t beschreiben. Die Zeit t wird dabei in Sekunden gemessen. – Gib die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 3 an. v(3) = – Gib die Beschleunigung des Körpers zum Zeitpunkt t = 3 an. a(3) = B.19 Wird eine Kugel von der 180m hoch gelegenen Dachterrasse eines Hochhauses fallengelassen, so ist der zurückgelegte Weg s (in m) nach t Sekunden gegeben durch s(t) = 5t2. Berechne, mit welcher Geschwindigkeit die Kugel am Boden ankommt! B. 20 Für den Strömungswiderstand F(v) eines mit der Geschwindigkeit v fliegenden Flugzeugs gilt ungefähr F(v) = 2,3 · v2, wobei F(v) in Newton und v in km/h angegeben ist. Berechne die Änderungsrate des Strömungswiderstands bezüglich der Geschwindigkeit bei einer Geschwindigkeit von 600 km/h! B. 21 Die kinetische Energie eines Autos, dessen Geschwindigkeit gleichmäßig zunimmt, sei gegeben durch E(t) = 5000 · t2, wobei t in Sekunden und E(t) in Joule gemessen wird. – Berechne die mittlere Zunahme der kinetischen Energie im Zeitintervall [0; 5]! – Berechne die Zunahmegeschwindigkeit der kinetischen Energie zum Zeitpunkt 5! B. 22 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f sowie drei Tangenten an den Graphen. Bestimme die gesuchten Werte! a) f’(2) = b) f’(1) = f’(4) = f’(3) = f’(6) = f’(5) = AN-R 1 . 2 t s(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 25 50 75 100 125 150 175 0 s AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 2 AN-R 1 . 3 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 – 2 1 2 3 4 5 6 7 8 – 2 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 – 2 1 2 3 4 5 6 7 – 4 – 2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 B Grundbegri ffe der Di fferent ialrechnung B. 23 a) Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle b) Ordne jeder Funktion in der linken Tabelle die Steigung der Tangente an den Graphen die Änderungsrate der Funktion an der an der Stelle x = 0 zu! Stelle x = ‒1 zu! x ¦ 4 + 2x A 0 x ¦ 4x – x3 A ‒ 2 x ¦ 2x2 + 2 B 1 x ¦ x2 + 2x B ‒1 x ¦ 4x – x3 C 2 x ¦ x4 + 6x C 0 x ¦ x3 + x D 3 x ¦ x5 – 2x3 D 1 E 4 E 2 F 6 F 3 B. 24 Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f an der Stelle p! a) f(x) = 10 – 2x2, p = 2 b) f(x) = x 2 _ 2 + x4 _ 4, p = ‒1 B. 25 Ermittle alle Stellen p * R, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f die Steigung k hat! a) f(x) = x3 – 9x2 + 15x + 25, k = ‒ 9 b) f(x) = 1 _ 6· (3x 4 + 10x3 – 9x2 + 12x), k = 2 B. 26 Die Tangente an den Graphen der Funktion f mit f(x) = 2x3 + ax2 + b im Punkt P = (‒1 1 5) hat die Steigung k = ‒2. Berechne a und b! a = , b = B. 27 Die Gerade t(x) = ‒ x – 4 ist Tangente an den Graphen der Funktion f mit f(x) = ax2 + bx + 1 im Punkt P = (‒1 1 ‒ 3). Berechne a und b! a = , b = B. 28 Sei a < b. Der Differenzenquotient einer Polynomfunktion f vierten Grades in [a; b] betrage ‒1. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Es ist f(b) = ‒ f(a). Die Funktion f ist in [a; b] streng monoton fallend. Es ist f(a) + a = f(b) + b Die Funktion f ist in [a; b] nicht monoton steigend. Es ist f(b) – f(a) = ‒1. B. 29 Was gibt der Differentialquotient einer Funktion f an einer Stelle x an? Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! die Ableitungsfunktion von f die Änderungsrate von f an der Stelle x die Steigung der Funktion an der Stelle x die Steigung der Sekantenfunktion von f im Intervall [x – 1; x + 1] die erste Ableitung von f an der Stelle x AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 AN-R 1 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Grundkompetenzen für die Rei feprüfung FA-R 1 . 5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen. FA-R 4 .1 Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen. FA-R 4 . 4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen. AN-R 1 . 3 Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. AN-R 3 .1 Den Begriff Ableitungsfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können. AN-R 3 . 2 Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion … in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können. AN-R 3 . 3 Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen. Grundwissen in Kurzform Monotonie und Extremstellen von Funktionen Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A. Die Funktion f heißt monoton steigend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f(x1) ª f(x2) monoton fallend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f(x1) º f(x2) streng monoton steigend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f(x1) < f(x2) streng monoton fallend in M, wenn für alle x1 , x2 * M gilt: x1 < x2 w f(x1) > f(x2) Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt Maximumstelle von f in M, wenn f(x) ª f(p) für alle x * M. Minimumstelle von f in M, wenn f(x) º f(p) für alle x * M. Extremstelle von f in M, wenn p Maximumstelle oder Minimumstelle von f in M ist. Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt globale Maximumstelle von f, wenn p Maximumstelle von f im Definitionsbereich Df ist. globale Minimumstelle von f, wenn p Minimumstelle von f im Definitionsbereich Df ist. globale Extremstelle von f, wenn p globale Maximumstelle oder globale Minimumstelle ist. lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist, lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist. lokale Extremstelle von f, wenn p lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. Unter einer Umgebung U(p) der Stelle p verstehen wir dabei ein beliebiges Intervall, das ganz in A liegt und p als innere Stelle enthält (dh. p ist nicht Randstelle dieses Intervalls). Beachte : Eine Randstelle von A kann keine lokale (wohl aber eine globale) Extremstelle von f sein. C Untersuchen von Polynomfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv
13 C Untersuchen von Polynomfunkt ionen Extrempunkte des Graphen von f Sei f: A ¥ B eine reelle Funktion. Ist p eine lokale Maximumstelle von f, so nennt man den Punkt H = (p 1 f(p)) einen Hochpunkt des Graphen von f. Ist p eine lokale Minimumstelle von f, so nennt man den Punkt T = (p 1 f(p)) einen Tiefpunkt des Graphen von f. Die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f nennt man Extrempunkte des Graphen von f. Bedingungen für Monotonie und Extremstellen Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist streng monoton steigend in I (2) f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I w f ist streng monoton fallend in I (3) p ist lokale Extremstelle von f w f’(p) = 0 (4) Besitzt f’ keine Nullstelle in I, so gilt entweder f’(x) > 0 für alle x * I oder f’(x) < 0 für alle x * I. Die Nullstellen der Ableitung f’ zerlegen den Definitionsbereich von f in Monotonieintervalle, in denen f entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt. Als lokale Extremstellen kommen nur Randstellen der Monotonieintervalle und damit nur Nullstellen der Ableitung in Frage. Extremstellen von Polynomfunktionen in abgeschlossenen Intervallen Die Extremstellen einer Polynomfunktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] können folgendermaßen ermittelt werden: Man bestimmt die Nullstellen x1 , x2 , …, xn von f’ in [a; b] Man berechnet die Funktionswerte f(a), f(x1 ), f(x2 ), …f(xn ) und f(b). Unter diesen Funktionswerten bestimmt man die größte Zahl M und die kleinste Zahl m. Alle Stellen mit dem Funktionswert M sind Maximumstellen von f in [a; b] und alle Stellen mit dem Funktionswert m sind Minimumstellen von f in [a; b]. Krümmung Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion, f’: A ¥ R ihre Ableitung und I a A ein Intervall. Die Funktion f heißt linksgekrümmt in I, wenn f’ in I streng monoton steigend in I ist. rechtsgekrümmt in I, wenn f’ in I streng monoton fallend in I ist. Ist f: A ¥ R eine Polynomfunktion und I a A ein Intervall, dann gilt: (1) f’’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I w f linksgekrümmt in I (2) f’’(x) < 0 für alle inneren Stellen von I w f rechtsgekrümmt in I Wendestellen Eine Stelle p * A heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt (p 1 f(p)) heißt Wendepunkt des Graphen von f. Die Tangente an den Graphen von f im Wendepunkt heißt Wendetangente. Für eine Polynomfunktion f: A ¥ R gilt: Ist p eine Wendestelle von f, so ist f’’(p) = 0. Ist f’’(p) = 0 ? f’’’(p) ≠ 0, so ist p eine Wendestelle von f. Ist f’(p) = 0 ? f’’(p) < 0, so ist p eine lokale Maximumstelle von f. Ist f’(p) = 0 ? f’’(p) > 0, so ist p eine lokale Minimumstelle von f. f Wendetangente Wendepunkt Wendestelle p f (p) Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv
14 C Untersuchen von Polynomfunkt ionen Üben für die Rei feprüfung C .1 Die vier Abbildungen zeigen Graphen von Polynomfunktionen. Ordne jedem dieser Graphen in der linken Tabelle eine passende Zuordnungsvorschrift aus der rechten Tabelle zu! C . 2 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Jede Polynomfunktion 3. Grades hat mindestens eine Nullstelle. Jede Polynomfunktion 4. Grades hat mindestens eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion 5. Grades hat mindestens eine lokale Extremstelle. Jede Polynomfunktion 4. Grades hat mindestens eine Nullstelle. Jede Polynomfunktion 3. Grades hat mindestens eine Wendestelle. C . 3 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion dritten Grades. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die Funktion f hat mindestens so viele Nullstellen wie lokale Extremstellen. Die Funktion f hat mindestens so viele lokale Extremstellen wie Wendestellen. Die Funktion f hat mindestens so viele Nullstellen wie Wendestellen. Hat f zwei lokale Extremstellen, so hat f drei Nullstellen. Hat f zwei lokale Extremstellen, so hat f eine Wendestelle. C . 4 Sei f: R ¥ R eine Polynomfunktion vierten Grades. Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! Die Funktion f hat mindestens so viele Nullstellen wie lokale Extremstellen. Die Funktion f hat mindestens so viele lokale Extremstellen wie Wendestellen. Die Funktion f hat mindestens so viele Nullstellen wie Wendestellen. Hat die Funktion f eine globale Minimumstelle, so hat f keine globale Maximumstelle. Die Funktion f hat genau eine oder genau drei lokale Extremstellen. C . 5 Gib ein konkretes Beispiel für die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion vierten Grades an, für die Folgendes gilt! a) f hat keine Nullstelle und keine Wendestelle. b) f hat genau drei Nullstellen. f1 A x ¦ x 2 · (x – 2) f2 B x ¦ x 3 · (2 – x) f3 C x ¦ x · (x – 2) 2 f4 D x ¦ x · (x – 2) 3 E x ¦ x2 · (2 – x) F x ¦ x2 · (x – 2)2 FA-R 4 .1 x f1(x) 1 2 3 – 1 1 2 – 2 – 1 0 f1 x f2(x) 1 2 3 – 1 1 2 – 2 – 1 0 f2 x f3(x) 1 2 3 – 1 1 2 – 2 – 1 0 f3 x f4(x) 1 2 3 – 1 1 2 – 2 – 1 0 f4 FA-R 4 . 4 FA-R 4 . 4 FA-R 4 . 4 FA-R 4 . 4 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv
15 C Untersuchen von Polynomfunkt ionen C . 6 Kreuze jene beiden Aussagen an, die auf den Graphen der rechts abgebildeten Funktion f: [0; 7] ¥ R nicht zutreffen! Die Stelle 4 ist lokale Maximumstelle von f. Jede Stelle x * [2; 5] ist lokale Minimumstelle von f. Die Stelle 5 ist lokale Maximumstelle von f. Jede Stelle x * (2; 5) ist lokale Maximumstelle von f. Die Stelle 7 ist lokale Minimumstelle von f. C . 7 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f: [‒2 ;6] ¥ R. Ergänze jeweils durch Ankreuzen die folgenden Texte so, dass eine korrekte Aussage entsteht! a) Die Funktion f hat genau lokale Minimumstelle(n) und genau lokale Maximumstelle(n). eine eine zwei zwei drei drei b) Die Funktion f hat genau globale Maximumstelle(n) und genau Wendestelle(n). eine eine zwei zwei drei drei C . 8 Bestimme die Monotonieintervalle der gegebenen Polynomfunktion f! a) f(x) = 2 _ 3x 3 – x2 – 12x f ist streng monoton steigend in: f ist streng monoton fallend in: b) f(x) = x4 + 12x3 + 36x2 f ist streng monoton steigend in: f ist streng monoton fallend in: c) f(x) = x5 – 10x4 + 25x3 f ist streng monoton steigend in: f ist streng monoton fallend in: C . 9 Bestimme die Krümmungsintervalle der gegebenen Polynomfunktion f! a) f(x) = 1 _ 9(x 4 + 4x3) f ist linksgekrümmt in: f ist rechtsgekrümmt in: b) f(x) = 3x5 – 10x3 f ist linksgekrümmt in: f ist rechtsgekrümmt in: x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 – 1 1 2 3 4 5 – 1 0 f FA-R 1 . 5 x f(x) 1 2 3 4 5 6 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 – 1 0 f FA-R 1 . 5 AN-R 3 . 3 AN-R 3 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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pRinz mathematik verstehen casio 7 ablei t inGeR | doRneR | embacheR | uloVec mathematik verstehen GeoGebRa 7 Mathematik verstehen OS 7 Technologietrainings GeoGebra ISBN 978-3-209-09580-0 Casio ISBN 978-3-209-10089-4 ·· Fertigkeiten für den Einsatz von GeoGebra und CASIO ClassPad II ·· Unterstützung des Verstehens von Schulbuchinhalten durch Technologieeinsatz ·· Zahlreiche Screenshots und punktgenaue Erklärungen ·· Beste Vorbereitung auf die Reifeprüfung mit Technologieeinsatz Götz | Kraft Mathematische Formelsammlung 56 Seiten, 14,8 x 21 cm Schulbuchnummer 160866 ISBN 978-3-209-10079-5 Die bewährte Mathematische Formelsammlung bietet alle Inhalte zum neuen Lehrplan. Übersichtlich angeordnet enthält sie die wichtigsten Definitionen, Rechenregeln und Lehrsätze aus allen Schulmathematikgebieten und unterscheidet sich dennoch bewusst von einem Sammelband. Die verwendeten Schreibweisen sind sorgfältig auf die gängigen Mathematikbücher abgestimmt. Alle Formeln der BMB-Formelsammlung sowie des Kontextkataloges sind inkludiert. Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG tel fax + + 43 1 40136-36 43 1 40136-60 service@oebv.at Mehr zu diesem Schulbuch www.oebv.at Direkt beim Verlag bestellbar: Oder im Buchhandel erhältlich.
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