Mathematik verstehen Grundkompetenztraining 6, Arbeitsheft

24 GrunDKoMpetenzen für Die Rei feprüfung Fa-R 6 .1 grafisch oder durch eine gleichung (Formel) gegebene zusammenhänge der art f(x) = a· sin(b· x) als allgemeine sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können. Fa-R 6 . 2 aus graphen und gleichungen von allgemeinen sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können. Fa-R 6 . 3 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können. Fa-R 6 . 4 Periodizität als charakteristische eigenschaft kennen und im Kontext deuten können. Fa-R 6 . 5 Wissen, dass cos(x) = sin(x + π _ 2 ) . GrunDwissen in KurzforM Erweiterung von Sinus und cosinus auf R Periodizität der Winkelfunktionen eine reelle Funktion f: a ¥ R heißt periodisch , wenn es eine positive zahl p gibt, so dass für alle x * a auch x + p * a und f(x + p) = f(x) ist. Die zahl p heißt eine Periode der Funktion f. Die sinus- und cosinusfunktion sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode 2 π . Eigenschaften der Sinus- und cosinusfunktion Schranken : Für alle x * R gilt: ‒1 ª sinx ª 1 und ‒1 ª cos x ª 1 Nullstellen : sinx = 0 É x = k ·2 π (mit k * Z ), cos x = 0 É x = π _ 2 + k ·2 π (mit k * Z ) Symmetrie : Für alle x * R gilt: sin(‒ x) = ‒ sin(x) und cos(‒ x) = cos(x) Beziehungen zwischen Sinus und cosinus: Für alle x * R gilt: cos(x) = sin 2 x + π _ 2 3 und sin(x) = cos 2 x – π _ 2 3 eine Funktion f(x) = a· sin(b· x) mit a, b * R + entspricht einer schwingung, wobei a die amplitude und b die anzahl der vollen Schwingungen im Zeitintervall [0; 2 π ] ist. x sin(x) 1 – 1 0 π 2 π π 2 _ 2 _3 π 2 _3 π 2 _5 π 3 π 4 π 2 _7 π 2 _9 π 5 π π 2 _ – π – – x cos(x) 1 – 1 0 π 2 π π 2 _ 2 _3 π 2 _3 π 2 _5 π 3 π 4 π 2 _7 π 2 _9 π 5 π π 2 _ – π – – 1 2. a. 1. a. – 1 1 – 1 cos x sin x x E WINkelfUNktIoNeN Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv