Mathematik verstehen Grundkompetenztraining 6, Arbeitsheft

18 GrunDKoMpetenzen für Die Rei feprüfung Fa-R 5 .1 verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine gleichung (Formel) gegebene exponentielle zusammenhänge als exponentialfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können. Fa-R 5 . 2 aus tabellen, graphen und gleichungen von exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können. Fa-R 5 . 3 Die Wirkung der Parameter c und a (bzw. λ ) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können. Fa-R 5 . 4 charakteristische eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: f(x + 1) = a· f(x), […] Fa-R 5 . 5 Die Begriffe halbwertszeit und verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können. Fa-R 5 . 6 Die angemessenheit einer Beschreibung mittels exponentialfunktionen bewerten können. GrunDwissen in KurzforM eine reelle Funktion f: a ¥ R mit f(x) = c ·a x (c * R *, a * R + ) heißt Exponentialfunktion mit der Basis a . Eigenschaften von Exponentialfunktionen (1) alle Funktionswerte sind positiv und alle graphen gehen durch den Punkt (0 1 c). (2) eine exponentialfunktion mit c > 0 ist streng monoton steigend, wenn a > 1 ist, konstant, wenn a = 1 ist, streng monoton fallend, wenn 0 < a < 1 ist. (3) D ie graphen der Funktionen f und g mit f(x) = c · a x und g(x) = c · 2 1 _ a 3 x liegen symmetrisch bezüglich der 2. achse. (4) D ie graphen nähern sich für a > 1 unbegrenzt der negativen 1. achse und für 0 < a < 1 unbegrenzt der positiven 1. achse. Darstellung von exponentiellen Wachstums- oder abnahmeprozessen mit hilfe der Eulerschen Zahl e exponentieller Wachstumsprozess: N(t) = N(0) · a t (mit a > 1) oder N(t) = N(0) · e λ t (mit λ > 0) exponentieller abnahmeprozess: N(t) = N(0) · a t (mit 0 < a < 1) oder N(t) = N(0) · e ‒ λ t (mit λ > 0) Verdoppelungszeit bzw. halbwertszeit Wird ein exponentieller Wachstumsprozess (abnahmeprozess) durch N(t) = N 0 · a t beschrieben, so nennt man die zeit t, in der N(t) verdoppelt (halbiert) wird, die Verdoppelungszeit (halbwertszeit) des Prozesses. Diese zeit hängt nur von der Basis a ab, nicht aber vom ausgangswert N 0 . x y 2 4 – 4 – 2 2 4 6 8 10 0 0.5 x 1 x 2 x 3 x D exponentIalfUnktIonen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv