Mathematische Formelsammlung

15.4 Verteilungsfunktion, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung X … diskrete Zufallsvariable; a 1  , a 2  , …, a k bzw. x 1  , x 2  , …, x n … mögliche Werte der Zufallsvariablen X; P(X = a i ) = p i bzw. P(X = x i ) …Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X = a i bzw. X = x i  ; F … Verteilungsfunktion von X; μ = E(X) … Erwartungswert von X; σ 2 = V(X) … Varianz von X; σ … Standardabweichung von X F: R ¥ [0, 1], y = P(X ª x) = ​ ;  x i ª x ​  ​ P(X = x i )​ μ = E(X) = a 1 · p 1 + a 2 · p 2 + … + a k · p k = ​ ;  i = 1 ​  k ​ a i · p i ​ μ = E(X) = x 1 · P(X = x 1 ) + x 2 · P(X = x 2 ) + … + x n · P(X = x n ) = ​ ;  i = 1 ​  n ​ x i · P(X = x i )​ σ 2 = V(X) = (a 1 – μ ) 2  · p 1 + (a 2 – μ ) 2  · p 2 + … + (a k – μ ) 2  · p k = ​ ;  i = 1 ​  k ​ (a i – μ ) 2  · p i ​ σ 2 = V(X) = E​ [ (X – μ ) 2 ] ​= (x 1 – μ ) 2  · P(X = x 1 ) + (x 2 – μ ) 2  · P(X = x 2 ) + … + + (x n – μ ) 2  · P(X = x n ) = ​ ;  i = 1 ​  n ​ (x i – μ ) 2  · P(X = x i )​ σ 2 = V(X) = E(X 2 ) – ​ [ E(X) ] ​ 2 ​= ​ ;  i = 1 ​  k ​ a i 2  · p i – μ 2 ​= ​ ;  i = 1 ​  n ​ x i 2  · P(X = x i ) – μ 2 ​ σ = ​ 9 ___ V(X)​ X … stetige Zufallsvariable; f …Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von X F: R ¥ [0, 1], F(x) = P(‒ • < X ª x) = ​ :  ‒ • ​  x ​ f(t) dt​ μ = E(X) = ​ :  ‒ • ​  • ​ x · f(x) dx​ σ 2 = V(X) = ​ :  ‒ • ​  • ​ (x – μ ) 2  · f(x) dx​ σ = ​ 9 ___ V(X)​ Wahrscheinlichkeitsrechnung 39 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv