Mathematische Formelsammlung

Gleichung von Kreis bzw. Kugel: (X – M) 2 = r 2 (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 = r 2  bzw. (x – x M ) 2 + (y – y M ) 2 + (z – z M ) 2 = r 2 Ax 2 + Ay 2 + 2Bx + 2Cy + D = 0 mit B 2 + C 2 – AD > 0 bzw. x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 mit a 2 + b 2 > 4c (allg. Kreisgleichung) Ax 2 + Ay 2 + Az 2 + 2Bx + 2Cy + 2Dz + E = 0 (allg. Kugelgleichung) Tangente an einen Kreis bzw. Tangentialebene an eine Kugel: (T – M) · (X – T) = 0 (Normalvektorform) (T – M) · (X – M) = r 2  bzw. (X – M) · (P – M) = r 2   (Spaltform) Berührbedingung für die Gerade g: (kx M – y M + d) 2 = r 2  (k 2 + 1)   (x M  , y M ) = (0, 0): d 2 = r 2  (k 2 + 1) 10.6 Kegelschnitte 1. Hauptlage: M(0, 0) bzw. S(0, 0) und F 1,2  (±e, 0) bzw. F(e, 0); 2. Hauptlage: M(0, 0) bzw. S(0, 0) und F 1,2  (0, ±e) bzw. F(0, e); T(x T  , y T ) … Berührpunkt der Tangente; Gerade g: y = kx + d; t * R ; X … Punkt des Kegelschnitts Ellipse M … Mittelpunkt; F 1  , F 2 … Brennpunkte; e = ​ ___ MF​… lineare Exzentrizität; 2a … Länge der Hauptachse; 2b … Länge der Nebenachse Brennpunktseigenschaft: ​ __ XF​ 1 + ​ __ XF​ 2 = 2a e 2 = a 2 – b 2 1. Hauptlage (Zeichnung): Gleichung: ​  x 2 _  a 2 ​+ ​  y 2 _ b 2 ​= 1 bzw. b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 Parameterdarstellung: x = a cos t y = b sin t Gleichung der Tangente in T: b 2 xx T + a 2 yy T = a 2 b 2 Berührbedingung für die Gerade g: d 2 = a 2 k 2 + b 2 2. Hauptlage: Gleichung: ​  x 2 _ b 2 ​+ ​  y 2 _ a 2 ​= 1 bzw. a 2 x 2 + b 2 y 2 = a 2 b 2 X r M T r M t X y x F 1 F 2 M X a e a b Analytische Geometrie 22 Nur zu Prüf wecken – Eigentum des Verlags öbv