Sexl Physik 5 RG, Schulbuch

94.1 L UDWIG B OLTZMANN (1844–1906) lehrte in Graz, Wien, München und Leipzig. Er vertrat konsequent die Atom- und Molekulartheorie der Materie, die sich damals zwar in der Che- mie, aber noch nicht in der Physik durchge- setzt hatte. Boltzmann leistete bedeutende Beiträge zur statistischen Thermodynamik. 94.2 J AMES C LERK M AXWELL (1831–1879), engli- scher Physiker und Mathematiker. Maxwell hat die Methoden der mathematischen Statistik genutzt, um die Verteilung der Molekülge- schwindigkeiten zu berechnen. Er begründete damit die statistische Physik. Eine zweite Meis- terleistung gelang ihm in der Elektrizitätslehre. Mit Hilfe dieser Vorstellung kann man den Druck berechnen, den die vielen Teil- chen des Gases auf die Behälterwände ausüben. Es zeigt sich, dass der Druck proportional zur mittleren kinetischen Energie ääää E k der Moleküle ist. Außerdem sagt uns die Zustandsgleichung des idealen Gases, dass der Druck zur Temperatur proportional ist, wenn sich das Volumen nicht ändert. Es gilt also: p ~ ääää E k , p ~ T , daher ääää E k ~ T . Man erhält das wichtige Resultat: Die mittlere kinetische Energie der Moleküle eines Gases ist proportional zur absoluten Temperatur. Der Proportionalitätsfaktor hat für alle Gase den gleichen Wert. ääää E k = 3 _ 2 k ·T k = 1,38 · 10 −23 J/K … Boltzmann-Konstante Diese Beziehung zwischen der mittleren kinetischen Energie der Moleküle und der absoluten Temperatur gilt universell – für Gase, für Flüssigkeiten und Festkörper.  Um den von vielen Molekülen verursachten Druck zu berechnen, stellen wir uns ein ideales Gas vor, das in einem würfelförmigen Behälter eingeschlossen ist. Die Gasmoleküle fliegen darin völlig regellos umher. Zerlegt man die Geschwindigkeit eines einzelnen Moleküls in 3 Komponenten, die in Richtung der Würfelkanten liegen, so ergeben sich 6 verschiedene Bewegungs- richtungen: vor, zurück, links, rechts, hinauf und hinunter. Keine Richtung ist gegenüber der anderen bevorzugt. Daher bewegt sich im Durchschnitt je ein Sech- stel der Moleküle senkrecht auf eine der sechs Wandflächen A des Würfels zu ( 93.3 ). (Zur Vereinfachung sollen zunächst alle Moleküle dieselbe Geschwindig- keit haben.) Wenn sich N Teilchen im Volumen V befinden, dann ist die Teilchendichte N/V . Während des Zeitintervalls Δ t stoßen jene Teilchen an die Wand, die ihr näher als der Abstand s = v · Δ t sind, den sie mit der Geschwindigkeit v während Δ t zurück- legen. Es treffen daher auf die Fläche A insgesamt 1 _ 6 (N/V) · (v · Δ t) · A Moleküle. Jedes Molekül (Masse m ) hat vor dem Stoß die Geschwindigkeit v , nach dem Stoß −v . Die Geschwindigkeitsänderung während der Zeit Δ t beträgt daher −2 v und die mittlere Beschleunigung −2 v / Δ t . Die Kraft der Wand auf ein einzelnes Molekül ist daher −2 m · v / Δ t . Umgekehrt übt dadurch jedes auftreffende Molekül auf die Wand die Kraft +2 m · v / Δ t aus. Die Kräfte aller im Zeitintervall Δ t auf die Wand treffenden Teilchen müssen ad- diert werden, ihre Summe ergibt die Kraft F der Teilchen auf die Wand: F = 1 _ 6 ( N _ V A · v · Δ t ) 2 m · v __ Δ t = 2 _ 3 · N _ V · A · m · v 2 _ 2 Nach der Mittelwertbildung über die unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Moleküle ergibt sich der Druck auf die Wand: p = F _ A = 2 _ 3 · N _ V · m · äää v 2 _ 2 = 2 _ 3 · N _ V · ääää E k Den Zusammenhang zwischen ääää E k und T erhalten wir, indem wir p mittels der Zu- standsgleichung einsetzen und N =n · N A verwenden: p = n · R _ V · T ääää E k = 3 _ 2 · V _ n · N A · n · R _ V · T = 3 _ 2 · R _ N A · T = 3 _ 2 · k · T , k = R _ N A  94 WÄRMELEHRE Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv