Sexl Physik 5 RG, Schulbuch

Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit 16.3 zeigt einen Körper, der sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung sind die Bahnge- schwindigkeiten æ v der einzelnen Massenpunkte, aus denen der Körper besteht, unterschiedlich. Für die Beschreibung der Kreisbewegung ist es daher zweckmä- ßiger, ein Geschwindigkeitsmaß zu wählen, das für den gesamten Körper gilt. Je- der Massenpunkt des Körpers überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Winkel (be- zogen auf den Kreismittelpunkt, 48.1 ). Man bezeichnet den Quotienten aus dem Winkel Δ φ , der von einem zum Kreismittelpunkt gezogenen Radius überstrichen wird, und der dafür benötigten Zeit Δ t als Winkelgeschwindigkeit ω ( 48.2 ). Winkelgeschwindigkeit ω = Δ φ ___ Δ t Einheit: 1 s ‒ 1 , Winkel gemessen im Bogenmaß Bahngeschwindigkeit und Frequenz In vielen Fällen (etwa bei einem Karussell) wird die Kreisbahn mehrfach mit glei- cher Umlaufzeit durchlaufen. In diesem Fall spricht man von einer periodischen Bewegung . Charakteristisch für derartige Bewegungen sind die Begriffe Umlauf- zeit T und Frequenz f . Unter der Umlaufzeit T versteht man jene Zeitspanne, die der Körper zum Durchlaufen des gesamten Kreisumfangs benötigt. Beispiel: Ein Windrad führt in 3 Sekunden 2 vollständige Umdrehungen durch. Die Zeit für eine Umdrehung beträgt daher 3 s/2 = 1,5 s . Pro Sekunde legt das Rad 2/3 Umdrehungen zurück. Man bezeichnet diese Zahl als Frequenz f . Sie entspricht dem Kehrwert der Dauer für eine Umdrehung (Periode). In unserem Fall ist f = 2/3 s ‒ 1 . Die Frequenz f ist die Zahl der vollständigen Umläufe pro Sekunde. f = 1 _ T Einheit: Hertz (Hz) 1Hz = 1/s = 1 s ‒ 1 In welcher Beziehung stehen Bahngeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, Um- laufzeit und Frequenz? Bei der gleichförmigen Kreisbewegung wird in der Umlaufzeit T der Umfang u = 2 π · r durchlaufen. Die Bahngeschwindigkeit (das ist der Betrag der Ge- schwindigkeit auf der Kreisbahn) ist daher: v = 2 π · r / T = 2 π · r · f Es gilt für den Betrag der Winkelgeschwindigkeit: ω = Δ φ / Δ t = 2π/ T = 2π · f Bei gleichförmigen Kreisbewegungen ergibt sich für den Betrag der Bahnge- schwindigkeit v v = 2π · r / T = 2π · r · f = r · 2π · f = r · ω Wie bei der Translation ist auch bei der Rotation die Bahngeschwindigkeit v eine vektorielle Größe. Betrachtet man nun auch den Radius als Vektor (vom Mittel- punkt weg gerichtet), so ergibt sich æ v als Kreuzprodukt von æ ω und æ r : æ v = æ ω × æ r Bei einem ausgedehnten Körper haben alle Teile des Körpers dieselbe Winkelge- schwindigkeit ( 48.1 ), die Bahngeschwindigkeit ist allerdings verschieden. Sie ist umso größer, je größer der Abstand zum Mittelpunkt des Kreises ist. Gleichförmige Kreisbewegung Bahngeschwindigkeit v = 2π· r ____ T = 2 π r · f Winkelgeschwindigkeit ω = Δ φ ___ Δ t = 2 π· f v = r · ω 1 P 2 ∆ In der wird der überstrichen. Zeit Winkel ∆ ∆ t ϕ ϕ ϕ ϕ 48.1 Zur Festlegung der Winkelgeschwindig- keit ω r v 48.2 Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vek- tor, der normal zur Bahnebene steht. Der Betrag ergibt sich aus ω = 2 π f = v / r v v   48.3 Denkt man sich einen rechts drehenden Korkenzieher in Richtung der Geschwindigkeit geschraubt, so gibt dessen Drehrichtung die Richtung der Winkelgeschwindigkeit an. 48 MECHANIK 1 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum d s Verlags öbv