Sexl Physik 5 RG, Schulbuch

23.1 Blick auf den Turm und den Schan- zentisch der Bergisel-Schanze in Innsbruck: Die Anlaufspur hat eine Länge von rund 90 m und einen Höhenunterschied von fast 50 m. α Hypotenuse Gegenkathete von α Ankathete von α 23.2 Die Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks h g g normal g a parallel = α α b l 23.3 Beschleunigung auf der schiefen Ebe- ne 23.4 Am Rangierbahnhof werden die Waggons mithilfe schiefer Ebenen (Abrollhügel) auf eine ausreichend große Geschwindigkeit beschleu- nigt. Sie rollen dann „antriebslos“ bis zu ihrer Position auf der Gleisharfe. Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung Die Gleichungen, die hier für den freien Fall entwickelt wurden, gelten für alle gleichmäßig beschleunigten Bewegungen ( æ a = const. ). Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ( æ a = const.) ist die Geschwindigkeit nach der Zeitspanne t proportional zu t . Der in dieser Zeit zurückgelegte Weg æ s ist proportional zum Quadrat dieser Zeitspanne. Es gilt für æ a = const: æ v = æ a · t und æ s = ½ æ a · t ² Wegen des konstanten Beschleunigungsvektors ist die Bewegung geradlinig.  Die Bewegung auf der schiefen Ebene Stell dir vor, du beobachtest einen Schispringer auf der Bergisel-Schanze ( 23.1 ). Wir berechnen, wie sich Höhe h und Gefälle der Schanze auf die Endgeschwindig- keit v end beim Absprung auswirken. Zu diesem Zweck betrachten wir die Anlauf- spur als schiefe Ebene . Im Aufriss bilden Höhe, Basis und Länge der schiefen Ebe- ne ein rechtwinkeliges Dreieck. Unter der Steigung einer schiefen Ebene versteht man das Verhältnis von Höhe zu Basis, also den Tangens des Steigungswinkels. Bei Straßen wird die Steigung in Prozent statt als Dezimalzahl angegeben. Eine Steigung von 15% bedeutet daher, dass h / b = 0,15 ist bzw. tan α = 0,15 , entsprechend einem Steigungswinkel von 8,53° . Wesentlich steiler ist die Anlaufspur einer Sprungschanze. Der mittlere Steigungs- winkel der Bergisel-Schanze beträgt rund 29°. Wie groß ist das Gefälle in Prozent? In der Anlaufspur (Länge l ) wird der Schispringer – wie die Kugel in Galileis Ex- periment – nicht mit æ g , sondern nur einem Bruchteil von æ g beschleunigt. Um die Beschleunigung entlang der Anlaufspur zu erhalten, betrachten wir æ g als Summe (oder anders ausgedrückt als Resultierende) zweier Komponenten: die eine Kompo- nente æ g parallel ist parallel zur Anlaufspur (bzw. zur schiefen Ebene), die andere Kom- ponente æ g normal normal dazu ( 23.3 ). Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt: g parallel : g = sin α = h : l . Längs der schiefen Ebene wirkt die Beschleunigung g parallel = a : a = g · h _ l = g · sin α Wie beim freien Fall erfolgt die Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Es gilt daher v = v end = a · t und für die Bahnlänge s = l = ½ a · t 2 . Durch Umformen erhält man v end = 9 ___ 2 a · l = 9 ____ 2 g · h _ l · l = 9 ___ 2 g · h Wir haben ein interessantes Ergebnis erhalten: Beim Gleiten auf einer schiefen Ebene hängt die Endgeschwindigkeit nicht vom Gefälle ab, wenn Reibung und Luftwiderstand nicht berücksichtigt werden. Bei einer Höhendifferenz h = 50m in der Anlaufspur ergibt sich v = 31,3m/s = 112,8 km/h . Die Reibung der Schier in der Spur und der Luftwiderstand verringern die Endgeschwindigkeit. Aus Sicherheitsgründen soll die Absprunggeschwindig- keit nicht wesentlich mehr als 90 km/h betragen, weshalb der Anlauf meist ver- kürzt wird .  Abb. 23.3 zeigt eine schiefe Ebene (z. B. eine Rampe) im Längsschnitt, die Sei- ten l (Länge der Rampe), h (Höhe), b (Basis) bilden ein rechtwinkeliges Dreieck. Mit der Angabe des Steigungswinkels α kommen die Winkelfunktionen Sinus ( sin ), Cosinus ( cos ) und Tangens ( tan ) ins Spiel. Es gilt: sin α = Gegenkathete : Hypotenuse = h / l cos α = Ankathete : Hypotenuse = b / l tan α = Gegenkathete : Ankathete = h / b Rechtwinkeliges Dreieck, Winkelfunktionen, Steigung 23 | MECHANIK 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv