9 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl G 1.07 Unterschied zwischen Unter- und Obersummen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 _ x + 1 . Ermittle die Differenz von Ober- und Untersumme bei Zerlegung von [0; 4] in n gleich lange Teilintervalle! Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? LösunG: Wir teilen das Intervall [0; 4] in n gleich lange Teilintervalle der Länge 4 _ n . Da die Funktion f im Intervall streng monoton fallend ist, ergibt sich für die Unter- und Obersumme in Abhängigkeit von n: US(n) = f 2 1 · 4 _ n 3 · 4 _ n + f 2 2 · 4 _ n 3 · 4 _ n +…+f2 n · 4 _ n 3 · 4 _ n = 4 _ n · ; i = 1 n f 2 i · 4 _ n 3 OS(n) = f 2 0 · 4 _ n 3 · 4 _ n + f 2 1 · 4 _ n 3 · 4 _ n +…+f2 2 n – 1 3 · 4 _ n 3 · 4 _ n = 4 _ n · ; i = 0 n – 1 f 2 i · 4 _ n 3 Im CAS muss die Untersumme so eingegeben werden: US(n) ÷= 4/n*Summe(f(i*4/n), i, 1, n). Die Obersumme ist analog einzugeben. Öffne das CAS und folge den Anweisungen! CAS: Gib die Funktion f ein! 1 2 3 4 5 CAS: Verfahre mit der Obersumme analog! 1 2 3 4 5 CAS: Gib US(n) ÷= 4/n*Summe(f(i*(4/n)), i, 1, n) ein! GeoGebra stellt das Ergebnis mit Hilfe einer Funktion ψ dar, um die wir uns nicht weiter kümmern müssen; wir können mit diesem Ergebnis weiterrechnen. 1 2 3 4 5 CAS: Um die gesuchte Anzahl der Teilintervalle herauszufinden, ermitteln wir zuerst jenes n, für das die Differenz OS(n) – US(n) gleich 0,01 ist. Es ergibt sich n = 320. Ab n = 321 ist somit OS(n) – US(n) < 0,01. 1 2 3 4 5 CAS: Überprüfe das Ergebnis! Berechne die Differenz von Ober- und Untersumme bei 320 Teilungsintervallen und bei 321 Teilungsintervallen! 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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