8 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl G 1.06 Grenzwert von Unter- und Obersummen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 + x2. Berechne den Inhalt der von f im Intervall [0; 3] festgelegten Fläche über den Grenzwert der Unter- bzw. Obersummen! LösunG: Wir zerlegen das Intervall [0; 3] in n gleich lange Teilintervalle der Länge 3 _ n . Da die Funktion f im Intervall [0; 3] streng monoton steigend ist, ergibt sich für die Unter- und Obersumme in Abhängigkeit von n: US(n) = f 2 0 · 3 _ n 3 · 3 _ n + f 2 1 · 3 _ n 3 · 3 _ n +…+f2 (n – 1) · 3 _ n 3 · 3 _ n = 3 _ n · ; i = 0 n – 1 f 2 i · 3 _ n 3 OS(n) = f 2 1 · 3 _ n 3 · 3 _ n + f 2 2 · 3 _ n 3 · 3 _ n +…+f2 n · 3 _ n 3 · 3 _ n = 3 _ n · ; i = 1 n f 2 i · 3 _ n 3 Im CAS muss die Untersumme so eingegeben werden: US(n) ÷= 3/n*Summe(f(i*3/n), i, 0, n-1) . Dabei wird in der runden Klammer zuerst der auf das Summenzeichen folgende Term angegeben, dann die Laufvariable, dann der Startwert der Laufvariablen und zum Schluss der Endwert der Laufvariablen. Die Obersumme ist analog einzugeben. Öffne das CAS und folge den Anweisungen! Hinweis: Die Befehle „Untersumme“ und „Obersumme“ funktionieren nur mit einer konkreten Anzahl an Teilintervallen. Bei Berechnungen mit einer Variablen wie in Aufgabe G 1.06 muss auch im CAS mit dem Summenbefehl gearbeitet werden. CAS: Gib die Funktion f ein! 1 2 3 4 5 CAS: Gib US(n) ÷= 3/n*Summe(f(i*3/n), i, 0, n-1) ein! 1 2 3 4 5 CAS: Gib die Obersumme ein! 1 2 3 4 5 CAS: Berechne den Grenzwert von US(n) für n geht gegen unendlich! 1 2 3 4 5 CAS: Berechne den Grenzwert von OS(n) für n geht gegen unendlich! 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=