GEOGEBRA Ableitinger | Dorner | Embacher | Ulovec Mathematik verstehen
Mathematik verstehen 8. GeoGebra, Technologietraining Schulbuchnummer 180317 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 11. März 2016, GZ BMBF-5.018/0096-B/8/2015, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 8. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 3. Jänner 2020, GZ BMBWF-5.018/0015-Präs/14/2019 teilt das Bundesministerium für Bildung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes Mathematik verstehen 8. GeoGebra, Technologietraining, BNR 180317, kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Umschlagbild: Asurobson / Thinkstock 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2020 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Karin Drucks, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien Umschlaggestaltung und Layout: DWTC Balgavy, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-09581-7 (Mathematik verstehen OS GeoGebra Technologie 8) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
tEchnOlOGiEtRAininG GeoGebra Assoz. Prof. Dr. Christoph Ableitinger mag. Dr. Christian Dorner Doz. Dr. Franz Embacher mmag. Dr. Andreas Ulovec Wissenschaftliche Beratung: Univ.-Prof. Mag. Dr. Günther Malle www.oebv.at 8 mathematik verstehen ABlEitinGER | DORnER | EmBAchER | UlOvEc Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Onlinehinweise zur Durchführung von Schularbeiten und Prüfungen mit GeoGebraExam findet man auf www.oebv.at, indem der Online-Code direkt ins Suchfeld eingegeben wird. Erklärungen zum Technologietraining Die einzelnen Kapitel in diesem Technologietraining laufen parallel zu den Kapiteln im Schulbuch Mathematik verstehen 8. Ziel des Technologietrainings ist es, Fertigkeiten in der Software GeoGebra zu erwerben, die das Verständnis von Inhalten des Schulbuchs unterstützen, die Bearbeitung von Aufgaben aus dem Schulbuch erleichtern, es ermöglichen, handschriftlich erhaltene Ergebnisse rasch mit dem Computer zu überprüfen, bei der standardisierten Reifeprüfung erwartet werden. Zu Beginn jedes Kapitels werden die für die standardisierte Reifeprüfung bzw. vom Lehrplan geforderten Grundkompetenzen angegeben, die in diesem Kapitel mit Hilfe der Technologie vertieft und erweitert werden können. Die Technologie-Fertigkeiten sollen bei der Bearbeitung konkreter Aufgaben erworben werden. Die Idee ist, die vorgezeigten Aufgabenlösungen selbst in GeoGebra nachzuvollziehen. Entsprechende Screenshots des GeoGebra-Bildschirms sollen dabei helfen. Es ist ratsam, vor der Bearbeitung einer neuen Aufgabe ein neues Fenster in GeoGebra zu öffnen, da sich GeoGebra in manchen Fällen Variablennamen merkt und in neuen Aufgaben weiterverwendet. Die Sprechblasen sollen in der angegebenen Reihenfolge 1 2 3 … gelesen und bearbeitet werden. Der Text in einer Sprechblase beginnt immer mit dem Namen jenes Fensters bzw. Bereichs, in dem der nachfolgende Schritt ausgeführt werden soll. Graue Markierungen deuten auf eine spezielle Syntax in GeoGebra hin. Der grau unterlegte Text kann direkt so in GeoGebra eingegeben werden. Falls nicht anders angegeben, ist mit einem „Mausklick“ immer die linke maustaste gemeint. GeoGebra bietet häufig mehrere Wege an, wie bestimmte Eingaben vorgenommen werden können. In einigen Fällen werden diese unterschiedlichen Möglichkeiten angesprochen. Wir verzichten allerdings darauf, wenn dies zu Verwirrungen führen könnte. Wir verwenden in diesem Technologietraining die Version GeoGebra Classic 5 in der Sprache Deutsch (Österreich). G 7.05 Die im Technologietraining verwendeten Aufgaben werden mit einem G gekennzeichnet. Lösungen zu diesen Aufgaben findet man auf www.oebv.at, indem der Online-Code direkt ins Suchfeld eingegeben wird. OO Dieses Symbol weist auf Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 8 hin, die mit den neu erworbenen Fertigkeiten bearbeitet und weiter vertieft werden können. Diese Aufgaben sind im Schulbuch Mathematik verstehen 8 mit gekennzeichnet. Ó c5s8xa Ó x4xa96 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Inhaltsverzeichnis 1 Stammfunktion und Integral 4 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 12 3 Vertiefung der Integralrechnung 20 4 Die Normalverteilung 21 5 Schätzen von Anteilen 33 6 Testen von Anteilen 35 7 Differenzen- und Differentialgleichungen 37 8 Vernetzte Systeme und deren Dynamik 39 9 Technologieeinsatz bei der schriftlichen Reifeprüfung 40 Wo findet man was? 56 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 LERnziElE und GRundkOmpEtEnzEn Inhaltsbereich „Analysis“ Den Begriff Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können. Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können. Das bestimmte Integral als Zahl zwischen allen Unter- und Obersummen auffassen können. Einfache Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen können. Das Ermitteln von Stammfunktionen kann ohne Hilfsmittel recht mühsam sein. Kompliziertere Terme erfordern bestimmte Techniken. GeoGebra bietet einen Befehl, der einige Rechenarbeit erspart. Allerdings muss einem klar sein, dass es Funktionen gibt, deren Stammfunktionen sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen. Auch GeoGebra liefert in solchen Fällen keine Lösung. Manche dieser Funktionen spielen in der Mathematik aber eine große Rolle. StAmmfunktiOnEn G 1.01 Ermitteln einer Stammfunktion Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = x2! LösunG: GeoGebra stellt den Befehl „Integral“ zur Verfügung, um eine Stammfunktion bestimmen zu können. Allerdings hängt die Ausgabe von der verwendeten Ansicht ab. Aus diesem Grund betrachten wir einerseits die Grafikansicht und andererseits das CAS. 1) Grafikansicht: Algebra/Grafik: Betrachte die Termdarstellung der Funktion F und den Graphen von F! GeoGebra gibt in diesem Fall eine mögliche Stammfunktion von F an. Beschrifte die Achsen passend! 1 2 3 Eingabe: Gib die Funktion f ein! 1 2 3 Eingabe: Gib F(x) = Integral(f) ein! 1 2 3 1 Stammfunktion und Integral Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl 2) CAS: In der Mathematik begegnet man oft Funktionen mit mehreren Variablen, wie zum Beispiel h mit h(y) = ax3 + by. Wenn man eine Stammfunktion von h berechnen möchte, dann muss in GeoGebra angegeben werden, von welcher Variablen h abhängt (bzw. nach welcher Variablen integriert werden soll). G 1.02 Stammfunktion einer Funktion mit mehreren Variablen Ermittle eine Stammfunktion der Funktion g! Was fällt auf? a) g(a) = a·bx + c b) g(b) = a·bx + c c) g(x) = a·bx + c d) g(c) = a·bx + c LösunG: Öffne das CAS! Verwende den zuvor gelernten Befehl und füge am Ende das Argument der Funktion hinzu! Die einzelnen Terme unterscheiden sich recht deutlich. Achte also auf das Argument der Funktion! Hinweis: Wenn keine Variable am Ende des Befehls angeführt wird, also einfach Integral(a * b^x + c) geschrieben wird, dann integriert GeoGebra automatisch nach x. Kommt nur eine Variable vor, so integriert GeoGebra nach dieser. CAS: Speichere die Funktion f ein! 1 2 3 CAS: Gib den Befehl Integral(f) ein! 1 2 3 CAS: Betrachte die Ausgabe! GeoGebra zeigt an, dass jede Funktion mit dem Term 1 _ 3 x 3 + c 1 mit c1 * R eine Stammfunktion von f ist. 1 2 3 CAS: Gib Integral(a * b^x + c, a) ein! Achte auf das Multiplikationszeichen, ohne dieses erfasst Geogebra ab als eine Variable. 1 2 CAS: Verfahre analog! 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl G 1.03 Ermitteln einer Stammfunktion Ermittle eine Stammfunktion der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung φ mit φ(x) = 1 _ 9 ___ 2 · π e‒ x2 _ 2 ! LösunG: Öffne das CAS und verwende den Befehl „Integral“! Achte darauf, dass du die Euler‘sche Zahl über die Sonderzeichen in auswählst! Es gibt keine elementare Stammfunktion, aus diesem Grund wirft GeoGebra einen Term mit der Error Function aus. Dieser lässt sich nicht weiter vereinfachen oder anders darstellen. G 1.04 Erstelle das unten abgebildete Applet! Welchen Sinn hat es? OO Aufgaben aus dem Schulbuch mathematik verstehen 8 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 1.05 – 1.10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl UntER- und OBERsummEn; IntEGRAl In diesem Abschnitt soll das Visualisieren von Ober- und Untersummen und das Berechnen von Grenzwerten dieser beider Summen vorgestellt werden. Solche Berechnungen eignen sich für einen Technologieeinsatz, da die einzelnen Schritte mit Stift und Papier teilweise sehr mühsam wären. G 1.05 Näherungsweise Berechnung von Flächeninhalten Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 __ (x + 0,5)2 . Schätze den Inhalt der von f im Intervall [0,5; 3] festgelegten Fläche durch Unter- und Obersummen ab, wobei das Intervall in 5, 10, 50 bzw. 100 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! LösunG: Die Berechnung der jeweiligen Summen gestaltet sich in GeoGebra sehr einfach. Folge den Anweisungen! Verfahre für die Obersummen analog! Werkzeugleiste/Grafik: Erstelle einen Schieberegler mit ganzen Zahlen von 1 bis 100! 1 2 3 4 5 Grafik: Setze den Schieberegler auf die geforderten Werte, um die Aufgabenstellung zu beantworten! 1 2 3 4 5 Algebra/Grafik: GeoGebra liefert den Wert der Untersumme für 5 Teilintervalle und zeichnet die dazugehörigen Rechtecke passend in das Grafikfenster. 1 2 3 4 5 Eingabe: Zeichne den Graphen von f! 1 2 3 4 5 Eingabe: Gib US = Untersumme(f, 0.5, 3, n) ein! (Hinweis: Zuerst wird die Funktion bzw. der Funktionsterm eingegeben, dann die untere Grenze des Intervalls, dann die obere Grenze des Intervalls und abschließend die Anzahl der Teilintervalle.) 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl G 1.06 Grenzwert von Unter- und Obersummen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 + x2. Berechne den Inhalt der von f im Intervall [0; 3] festgelegten Fläche über den Grenzwert der Unter- bzw. Obersummen! LösunG: Wir zerlegen das Intervall [0; 3] in n gleich lange Teilintervalle der Länge 3 _ n . Da die Funktion f im Intervall [0; 3] streng monoton steigend ist, ergibt sich für die Unter- und Obersumme in Abhängigkeit von n: US(n) = f 2 0 · 3 _ n 3 · 3 _ n + f 2 1 · 3 _ n 3 · 3 _ n +…+f2 (n – 1) · 3 _ n 3 · 3 _ n = 3 _ n · ; i = 0 n – 1 f 2 i · 3 _ n 3 OS(n) = f 2 1 · 3 _ n 3 · 3 _ n + f 2 2 · 3 _ n 3 · 3 _ n +…+f2 n · 3 _ n 3 · 3 _ n = 3 _ n · ; i = 1 n f 2 i · 3 _ n 3 Im CAS muss die Untersumme so eingegeben werden: US(n) ÷= 3/n*Summe(f(i*3/n), i, 0, n-1) . Dabei wird in der runden Klammer zuerst der auf das Summenzeichen folgende Term angegeben, dann die Laufvariable, dann der Startwert der Laufvariablen und zum Schluss der Endwert der Laufvariablen. Die Obersumme ist analog einzugeben. Öffne das CAS und folge den Anweisungen! Hinweis: Die Befehle „Untersumme“ und „Obersumme“ funktionieren nur mit einer konkreten Anzahl an Teilintervallen. Bei Berechnungen mit einer Variablen wie in Aufgabe G 1.06 muss auch im CAS mit dem Summenbefehl gearbeitet werden. CAS: Gib die Funktion f ein! 1 2 3 4 5 CAS: Gib US(n) ÷= 3/n*Summe(f(i*3/n), i, 0, n-1) ein! 1 2 3 4 5 CAS: Gib die Obersumme ein! 1 2 3 4 5 CAS: Berechne den Grenzwert von US(n) für n geht gegen unendlich! 1 2 3 4 5 CAS: Berechne den Grenzwert von OS(n) für n geht gegen unendlich! 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl G 1.07 Unterschied zwischen Unter- und Obersummen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 _ x + 1 . Ermittle die Differenz von Ober- und Untersumme bei Zerlegung von [0; 4] in n gleich lange Teilintervalle! Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? LösunG: Wir teilen das Intervall [0; 4] in n gleich lange Teilintervalle der Länge 4 _ n . Da die Funktion f im Intervall streng monoton fallend ist, ergibt sich für die Unter- und Obersumme in Abhängigkeit von n: US(n) = f 2 1 · 4 _ n 3 · 4 _ n + f 2 2 · 4 _ n 3 · 4 _ n +…+f2 n · 4 _ n 3 · 4 _ n = 4 _ n · ; i = 1 n f 2 i · 4 _ n 3 OS(n) = f 2 0 · 4 _ n 3 · 4 _ n + f 2 1 · 4 _ n 3 · 4 _ n +…+f2 2 n – 1 3 · 4 _ n 3 · 4 _ n = 4 _ n · ; i = 0 n – 1 f 2 i · 4 _ n 3 Im CAS muss die Untersumme so eingegeben werden: US(n) ÷= 4/n*Summe(f(i*4/n), i, 1, n). Die Obersumme ist analog einzugeben. Öffne das CAS und folge den Anweisungen! CAS: Gib die Funktion f ein! 1 2 3 4 5 CAS: Verfahre mit der Obersumme analog! 1 2 3 4 5 CAS: Gib US(n) ÷= 4/n*Summe(f(i*(4/n)), i, 1, n) ein! GeoGebra stellt das Ergebnis mit Hilfe einer Funktion ψ dar, um die wir uns nicht weiter kümmern müssen; wir können mit diesem Ergebnis weiterrechnen. 1 2 3 4 5 CAS: Um die gesuchte Anzahl der Teilintervalle herauszufinden, ermitteln wir zuerst jenes n, für das die Differenz OS(n) – US(n) gleich 0,01 ist. Es ergibt sich n = 320. Ab n = 321 ist somit OS(n) – US(n) < 0,01. 1 2 3 4 5 CAS: Überprüfe das Ergebnis! Berechne die Differenz von Ober- und Untersumme bei 320 Teilungsintervallen und bei 321 Teilungsintervallen! 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl G 1.08 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 __ (x + 10)2 . Schätze den Inhalt der von f im Intervall [‒ 9; ‒7] festgelegten Fläche durch Unter- und Obersummen ab, wobei das Intervall in 2, 8, 20 bzw. 200 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! G 1.09 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 _ 2 x 2 + 1. Schätze den Inhalt der von f im Intervall [0; 3] festgelegten Fläche durch Unter- und Obersummen ab, wobei das Intervall in 3, 10, 300 bzw. 1 000 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! G 1.10 Wie verhalten sich die Befehle „Obersumme“ bzw. „Untersumme“ in GeoGebra, wenn die gegebene Funktion im zu untersuchenden Intervall nicht mehr nur streng monoton steigend bzw. nur streng monoton fallend ist? Betrachte die Funktion f mit f(x) = 1 _ 5 x 3 – 27 _ 10 x 2 + 47 _ 5 x – 1 _ 10 und schätze den Inhalt der von f im Intervall [2; 10] festgelegten Fläche durch Ober- und Untersummen ab, wobei das Intervall in 2, 5, 50, 100 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! G 1.11 Bis jetzt wurden ausschließlich Funktionen betrachtet, die im gegebenen Intervall nur positive Funktionswerte haben. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 _ 5 x 3 – 27 _ 10 x 2 + 47 _ 5 x – 281 _ 10 . Schätze den Inhalt der von f im Intervall [2; 10] festgelegten Fläche durch Unter- und Obersummen ab, wobei das Intervall in 2, 10, 100 bzw. 500 Teilintervalle zerlegt wird! Sind die Befehle „Untersumme“ und „Obersumme“ geeignet, um den gesuchten Inhalt abzuschätzen? G 1.12 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = sin (x). Schätze den Inhalt der von f im Intervall [0; 2 π] festgelegten Fläche durch Unter- und Obersummen ab, wobei das Intervall in 2, 10, 300 bzw. 1 000 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! Inwiefern muss man bei der Verwendung der Befehle „Untersumme“ bzw. „Obersumme“ aufpassen? G 1.13 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 5 e x _ 2 . Ermittle die Differenz von Ober- und Untersumme bei Zerlegung von [0; 4] in n gleich lange Teilintervalle! Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? G 1.14 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 10 e ‒ x _ 2 . Ermittle die Differenz von Ober- und Untersumme bei Zerlegung von [0; 4] in n gleich lange Teilintervalle! Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? G 1.15 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x · (10 – x). Berechne den Inhalt der von f im Intervall [0; 10] festgelegten Fläche mittels des Grenzwerts der Unter- bzw. Obersummen! G 1.16 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x3 + 2 x 2. Berechne den Inhalt der von f im Intervall [‒ 2; 0] festgelegten Fläche mittels des Grenzwerts der Unter- bzw. Obersummen! OO Aufgaben aus dem Schulbuch mathematik verstehen 8 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 1.19, 1.20 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 1 StAmmfunktiOn und IntEGRAl BEREchnunG vOn IntEGRAlEn mit StAmmfunktiOnEn Der erste Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung garantiert eine bequeme Methode zur Berechnung von Integralen. Dies ist auch in GeoGebra möglich. G 1.17 Berechnung von Integralen Berechne : 2 6 (x + 3)4 dx! LösunG: Ein bestimmtes Integral wird in GeoGebra ähnlich wie die Summe eingegeben: Integral(f, x, a, b) . In der runden Klammer gibt man zuerst den Funktionsterm, dann die Variable, nach der integriert wird, dann die untere Grenze und abschließend die obere Grenze ein. G 1.18 Berechne mit Hilfe von GeoGebra! Versuche die bestimmten Integrale auch mit Papier und Stift zu berechnen! Gibt es Integrale, die mit der Hand schneller bestimmt werden können? a) : ‒ 1 1 x3 dx e) : 5 10 x‒ 3 dx i) : ‒ 1 1 x __ 9 ____ 5x2 + 3 dx m) : –1 1 1 _ x2 + 25 dx b) : 3 8 2 x2 dx f) : ‒ 1 1 x · (3 x2 – 2)4 dx j) : ‒ 1 1 e(x + 2) dx n) : 1 5 x + 5 _ x2 + x dx c) : ‒ 2 1 1 _ 4 x 4 dx g) : ‒ 1 1 x2 · (2 x3 – 7)8 dx k) : 1 10 x · ln(x) dx o) : 4 7 (9 ___ x – 3+ sin(2x))dx d) : 1 3 x‒ 1 dx h) : 5 10 x __ (x2 – 2)6 dx l) : ‒ π π x · cos(x) dx p) : 1 3 x3 + x2 – 2x + 2 __ x3 – 2x2 + x dx OO Aufgaben aus dem Schulbuch mathematik verstehen 8 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 1.25 – 1.32,1.37 – 1.39 CAS: Gib Integral((x+3)^4, x, 2, 6) ein! 1 2 CAS: Berechne den numerischen Wert! 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 LERnziElE und GRundkOmpEtEnzEn Inhaltsbereich „Analysis“ Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können. FlächEninhAltE Ein Integral kann auf vielfache Weise gedeutet werden. Es lässt sich zum Beispiel als Flächeninhalt deuten. In diesem Abschnitt berechnen und visualisieren wir Flächeninhalte mit GeoGebra. G 2.01 Berechnung von Flächeninhalten Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit f(x) = x3 ‒ x2 ‒ 2x und der x-Achse im Intervall [‒1; 2] eingeschlossen wird! LösunG: In GeoGebra lässt sich der Graph von f leicht plotten. Die Funktion besitzt in dem angegebenen Intervall positive und negative Werte. In diesem Fall sind die Inhalte der Flächen, die über der ersten Achse liegen und die Inhalte der Flächen, die unter der ersten Achse liegen, getrennt zu berechnen. Für das weitere Vorgehen benötigen wir die Nullstellen von f. Öffne GeoGebra und folge den Anweisungen! Eingabe/Werkzeugleiste/Grafik: Berechne die Nullstellen bzw. die Schnittpunkte mit der x-Achse (mehrere Möglichkeiten: Befehl, Werkzeug, …)! 1 2 3 4 5 Eingabe: Gib die Termdarstellung von f ein! 1 2 3 4 5 Eingabe/Grafik/Algebra: Gib Integral(f, – 1, 0) ein, um die rote Fläche zu zeichnen und den Wert des Flächeninhalts zu erhalten! 1 2 3 4 5 Eingabe: Für den Wert des gesuchten Flächeninhalts, gib Flächeninhalt = a – b ein! 1 2 3 4 5 Eingabe/Grafik/Algebra: Gib Integral(f, 0, 2) ein! Man erhält die blaue Fläche und den negativen Wert des Flächeninhalts. 1 2 3 4 5 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 2 EiniGE AnwEndunGEn dER IntEGRAlREchnunG G 2.02 Inhalte von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = ‒ 0,1 x2 + 0,25 und die Funktion g mit g(x) = x4 – 2 x2 + 0,5. Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Funktionsgraphen von f und g eingeschlossen wird! LösunG: In GeoGebra gibt es einen Befehl, der den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet und einzeichnet. Allerdings liefert dieser Befehl nur zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schnittpunkten der beiden Graphen den richtigen Wert. Beachte die Aufgabe 2.16 aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 8! Werkzeugleiste/Grafik: Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen! 1 2 3 4 5 Algebra/Grafik: GeoGebra gibt den Wert des Inhalts der gesuchten Fläche an und zeichnet die Fläche im Grafikfenster ein. 1 2 3 4 5 Eingabe: Gib die Termdarstellungen von f und g ein! 1 2 3 4 5 Eingabe: Berechne den gesamten Flächeninhalt, addiere dazu alle drei Teilflächeninhalte Gesamt = a + b + c ! 1 2 3 4 5 Eingabe: Gib a = IntegralZwischen(f, g, x(A), x(B)) , dann b = IntegralZwischen(g, f, x(B), x(C)) und abschließend c = IntegralZwischen(f, g ,x(C), x(D)) ein! (Hinweis: Zuerst werden die beiden Funktionen eingegeben, dann die untere Grenze und abschließend die obere Grenze des gewünschten Bereichs. Als erste Funktion wird diejenige eingegeben, deren Graph höher liegt.) 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 2 EiniGE AnwEndunGEn dER IntEGRAlREchnunG G 2.03 Flächeninhalt der Rederinsel Berechne näherungsweise den Flächeninhalt der „Rederinsel“ in Steyr! LösunG: Wir benötigen eine Abbildung der Rederinsel mit Maßstab, am besten eignet sich Google Maps dazu (Screenshot anfertigen!). Füge das Bild in GeoGebra ein! Um nun den Flächeninhalt der Insel näherungsweise zu bestimmen, vergleichen wir die Längen (Flächen) im Grafikfenster mit den Längen (Flächen) in der Wirklichkeit. Wir berechnen: 0,6 š 20 m w 0,03 š 1 m w 0,032 š 1 m2 w 27,06 _ 0,032 ≈ 30 067 m2. Der Flächeninhalt der Insel entspricht also etwa 30 067 m2 oder ca. 3 ha. Grafik: Bewege die Eckpunkte A und B des Bildes so, dass das annähernd gerade verlaufende Ufer auf der ersten Achse liegt (siehe Bild darunter)! 1 2 3 4 5 6 7 Grafik: Öffne den Eigenschaften-Dialog des Bildes und reduziere die Deckkraft des Bildes unter der Registerkarte „Farbe“! 1 2 3 4 5 6 7 Eingabe: Erstelle das Polynom, dessen Graph durch die fünf Punkte geht, tippe dazu Polynom(C, D, E, F, G) in die Eingabezeile ein! 1 2 3 4 5 6 7 Eingabe/Algebra: Zeichne eine Strecke vom Anfang bis zum Ende des Maßstabs! Lies die Länge im Algebrafenster ab (hier: 0,6)! 1 2 3 4 5 6 7 Grafik: Zeichne fünf Punkte, die am kurvigen Ufer liegen! 1 2 3 4 5 6 7 Eingabe: Berechne den Flächeninhalt der Insel mit Hilfe des Integralbefehls, Integral(f, x(C), x(G)) ! Achte darauf, dass die x-Koordinate der Punkte C und G wirklich die Integrationsgrenzen sind! Lies den Flächeninhalt im Algebrafenster ab! 1 2 3 4 5 6 7 Grafik: Der Maßstab befindet sich rechts unten im Eck! 1 2 3 4 5 6 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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Mathematik verstehen OS GGb Technologie 8 Schulbuchnummer 180317 ISBN 978-3-209-09581-7 zu dem Schulbuch Mathematik verstehen OS SB 8 Schulbuchnummer 195131 ISBN 978-3-209-09572-5 www.oebv.at • Das Technologietraining vermittelt Fertigkeiten für den Einsatz von GeoGebra. • Zahlreiche Screenshots und punktgenaue Erklärungen zu konkreten Aufgaben ermöglichen die einzelnen Schritte rasch nachzuvollziehen. • Das Verständnis der Inhalte aus dem Schulbuch wird durch den Technologieeinsatz optimal unterstützt. • Zusätzliche Aufgaben für die unterschiedlichsten Anwendungen der Technologie stehen zur Verfügung. ISBN 978-3-209-09581-7
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