9 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG G 2.03 Führe die Konstruktion und Berechnung zu Aufgabe G 2.01 durch und erstelle zusätzlich ein Steigungsdreieck der Geraden g, um zu überprüfen, dass die vom CAS berechnete mittlere Änderungsrate gleich der Steigung von g ist! (Der Befehl „Steigung“, der dies leistet, wurde im Technologietraining zu Mathematik verstehen 5 besprochen). G 2.04 Berechne f(q) – f(1) __q – 1 für die Funktion f von Aufgabe G 2.01 a) durch direkte Eingabe in das CAS, b) durch Faktorisieren des Zählers! Werte das Ergebnis an der Stelle q = 1 aus! HINWEIS: In Aufgabe G 2.01 wurde f(a) – f(1) __a – 1 für die dort angegebene Funktion f und für Werte a > 1 berechnet. In Aufgabe G 2.02 wurde illustriert, dass f(a) – f(1) __a – 1 für a = 1 nicht definiert ist. Wird f(q) – f(1) __q – 1 für eine freie (nun numerisch nicht durch einen Schieberegler festgelegte) Variable q in das CAS eingegeben, so ist das Ergebnis ein Ausdruck, der ohne Probleme für q = 1 berechnet werden kann. Der Grund dafür besteht darin, dass GeoGebra den Zähler faktorisiert und einen Faktor q – 1 findet, der gegen den Nenner gekürzt wird. G 2.05 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = 2 x 3 – x 2 + 5 x – 2. Berechne g(h) – g(0) __ h a) durch direkte Eingabe in das CAS, b) durch Faktorisieren des Zählers! Werte das Ergebnis an der Stelle h = 0 aus! GRENZWERT G 2.06 Grenzwert einer Funktion berechnen Gegeben ist die Funktion v mit v(x) = 9___ x + 3 – 2 __x – 1 . Sie ist an der Stelle 1 nicht definiert, da der angegebene Term für x = 1 auf eine Division „Null durch Null“ führt. Berechne den Grenzwert lim x ¥ 1 v(x)! LÖSUNG: Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Man hätte die Schritte 1 und 2 durch die Eingabe Grenzwert((sqrt(x + 3) – 2)/(x – 1), x, 1) zusammenfassen können. Die Berechnung kann auch über die Eingabezeile erfolgen, wenn das Argument x nach dem ersten Beistrich weggelassen, also Grenzwert(v(x), 1) oder Grenzwert((sqrt(x + 3) – 2)/(x – 1), 1) geschrieben wird. G 2.07 Gegeben ist die Funktion w mit w(x) = sin(x) _ x . Sie ist an der Stelle 0 nicht definiert, da der angegebene Term für x = 0 auf eine Division „Null durch Null“ führt. Berechne den Grenzwert lim x ¥ 0 w(x)! CAS: Gib den Funktionsterm v(x)÷= (sqrt(x + 3) – 2)/(x – 1) ein! 1 2 3 CAS: Gib Grenzwert(v(x), x, 1) ein! 1 2 3 CAS: Der gesuchte Grenzwert wird angezeigt. 1 2 3 Nur zuPrüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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