4 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN LERNZ IELE UND GRUNDKOMPETENZEN Inhaltsbereich „Algebra und Geometrie“ Wissen über algebraische Begriffeangemessen einsetzen können: […] Gleichungen, […] Umformungen, Lösbarkeit. Inhaltsbereich „Funktionale Abhängigkeiten“ Den Zusammenhang zwischen demGrad der Polynomfunktionund der Anzahl der Nullstellen […] wissen. POLYNOME UND ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN G 1.01 Lösen von algebraischen Gleichungen Löse die Gleichung x 3 – 5x 2 + x + 10 = 0 mit dem CAS von GeoGebra a) durch Abspalten eines Linearfaktors, b) unter Verwendung des Befehls „Löse“! LÖSUNG: GeoGebra kann ein Polynom mit rationalen Koeffizienten so weit in lineare und/oder quadratische Ausdrücke mit rationalen Koeffizienten zerlegen (d.h. als Produkt solcher Faktoren schreiben), wie dies möglich ist. Der Befehl „Faktorisiere“, der das leistet, wurde bereits im Technologietraining zu Mathematik verstehen 5 vorgestellt und auf quadratische Terme angewandt. Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Alternativ zu dieser Vorgangsweise kann man zu Beginn f(x)÷= x^3 – 5x^2 + x + 10 eingeben und die obigen Schritte 1 und 4 in der Form Faktorisiere(f(x), x) und Löse(f(x) = 0, x) abkürzen. GeoGebra ist hinsichtlich der genauen Eingabeform recht tolerant. Obwohl mathematisch eigentlich nicht wirklich zutreffend, sind die Eingaben Faktorisiere(f, x) und Löse(f = 0, x) ebenfalls erlaubt. Auch die Kurzformen Faktorisiere(f) und Löse(f = 0) sind möglich (da im Funktionsterm nur eine einzige Variable vorkommt), sogar die Varianten Löse(f(x)) und Löse(f) . Ähnliches gilt auch für viele andere GeoGebraBefehle – wir werden nicht jedes Mal eigens darauf hinweisen. CAS: GeoGebra zeigt alle drei Lösungen der gegebenen Gleichung an. 1 2 3 4 5 CAS: Um nach weiteren Lösungen zu suchen, muss die entsprechende Gleichung mit dem zweiten (quadratischen) Faktor gelöst werden. Gib Löse(x^2 – 3x – 5 = 0, x) ein! GeoGebra zeigt nun beide Lösungen der quadratischen Gleichung an. Damit sind alle drei Lösungen der ursprünglichen Gleichung gefunden. 1 2 3 4 5 CAS: GeoGebra schreibt den Term als Produkt eines Linearfaktors mit einem quadratischen Faktor. Ein Blick auf den Linearfaktor genügt, um zu erkennen, dass 2 eine Lösung der gegebenen Gleichung ist. 1 2 3 4 5 CAS/Werkzeugleiste: Für Teil a) der Aufgabe gib Faktorisiere(x^3 – 5x^2 + x + 10, x) ein! Bestätige mit der Enter-Taste oder durch Klick auf das Werkzeug „Berechne symbolisch“ ! (Wie eine CAS-Eingabe zu bestätigen ist, werden wir von nun an nur mehr dazuschreiben, wenn sie anders erfolgt als hier). 1 2 3 4 5 CAS: Für Teil b) der Aufgabe gib Löse(x^3 – 5x^2 + x + 10 = 0, x) ein! 1 2 3 4 5 Nur zuPrüfzwecken A A – Eigentum des Verlags A A öbv
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