14 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN LERNZ IELE UND GRUNDKOMPETENZEN Inhaltsbereich „Analysis“ Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können. Den Begriff Ableitungsfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können. Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können. Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen. Zielfunktionen in einer Variablen für Optimierungsaufgaben (Extremwertaufgaben) aufstellen und globale Extremstellen ermitteln können. MONOTONIEBEREICHE, EXTREMSTELLEN UND TERRASSENSTELLEN (SATTELSTELLEN) G 3.01 Ermitteln von Monotoniebereichen Ermittle rechnerisch mit dem CAS die Monotoniebereiche der Funktion f mit f(x) = x 4 _ 36 – 5x 3 _ 27 + x 2 _ 6 + x und überprüfe dies grafisch anhand des Graphen von f! LÖSUNG: Die Monotonieintervalle einer Polynomfunktion werden durch Nullstellen ihrer Ableitung begrenzt. Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! CAS: Gib den Funktionsterm f(x)÷= x^4/36 – 5x^3/27 + x^2/6 + x ein! 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS: GeoGebra gibt die Nullstellen der Ableitung an. In diesem Beispiel gibt es nur zwei: ‒1 und 3. 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS: Die Stellen ‒1 und 3 zerlegen die Menge der reellen Zahlen in drei Intervalle, in denen f jeweils streng monoton ist. Um herauszufinden, ob streng monoton fallend oder steigend, berechnet man die Werte von f an diesen beiden Stellen sowie an einer Stelle kleiner als ‒1 und an einer Stelle größer als 3. Diese vier Funktionswerte können in Form einer Liste durch eine einzige Eingabe ermittelt werden. Gib ein: {f(‒2), f(‒1), f(3), f(4)} ! 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS/Werkzeugleiste: GeoGebra zeigt die gewünschten Werte in Bruchschreibweise an. Um sie besser vergleichen zu können, lass GeoGebra sie auch in (genäherter) Dezimaldarstellung anzeigen: Klicke auf die nächste freie Zeile und dann auf das Ergebnis des 3. Schritts, wodurch GeoGebra dieses in die neue Zeile übernimmt! Nun bestätige mit „Berechne numerisch“ ! 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS: Aus den angezeigten Werten ergibt sich, dass die Funktion f im Intervall (‒•; ‒1] streng monoton fallend und in den Intervallen [‒1; 3] und [3; •) streng monoton steigend ist. Das Ergebnis lautet also: f ist streng monoton fallend in (‒•; ‒1] und streng monoton steigend in [‒1; •). 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS: Um die Nullstellen der Ableitungsfunktion zu berechnen, gib Löse(f’(x) = 0, x) ein! 6 7 8 1 2 3 4 5 Nur d d b b zu b b Prüfzwecken ü ü – Eigentum d d b b b b des Verlags x x öbv
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