13 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG LÖSUNG: Folge den Anweisungen! G 2.27 Führe die Konstruktion zu Aufgabe G 2.26 durch und lege ein Steigungsdreieck (vgl. Aufgabe G 2.03 ) an die Tangente! Berechne die Ableitung von f an der Stelle 1 und überprüfe, ob sie gleich der Tangentensteigung ist! G 2.28 Führe die Konstruktion zu Aufgabe G 2.26 durch und miss den Neigungswinkel der Tangente! Wähle dazu das Werkzeug „Winkel“ aus und klicke zuerst auf die x-Achse und danach auf die Tangente! Berechne den Tangens des Neigungswinkels und überprüfe, ob er mit der Tangentensteigung übereinstimmt! G 2.29 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = ‒ x 3 _ 2 + x + 1. Lege einen Punkt P auf den Graphen von g! (Benutze dazu das Werkzeug „Punkt“ und ziele genau auf den Graphen!) Lege eine Tangente an den Graphen im Punkt P und zeichne ein Steigungsdreieck an diese Tangente! Wird der Punkt P entlang des Graphen bewegt, so wird die Steigung der jeweiligen Tangente angezeigt. Berechne die Ableitung an der entsprechenden Stelle! (Die x-Koordinate von P kann in der Form x(P) angesprochen werden. GeoGebra akzeptiert aber statt dessen auch die Eingabe f’(P) .) Bewege P entlang des Graphen und überprüfe, dass die so berechnete Ableitung stets mit der Steigung der Tangente übereinstimmt! Zu guter Letzt miss den Neigungswinkel der Tangente, berechne dessen Tangens und überprüfe, dass dieser Wert ebenfalls stets gleich der Ableitung und der Tangentensteigung ist! G 2.30 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 – 2 x + 5. Bestimme zuerst rechnerisch jene Stelle, an der die Ableitung von f den Wert 4 hat! (Tipp: CAS-Eingabe von f(x), dann Löse(f’(x) = 4, x) .) Zeichne den Graphen von f und die Tangente im betreffenden Punkt! Überprüfe, ob die Steigung der Tangente gleich 4 ist! O Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 7 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 2.43, 2.49, 2.51 – 2.53, 2.56, 2.57, 2.59, 2.80 – 2.82 Algebra/CAS: GeoGebra zeigt die Gleichung der Tangente im Algebrafenster mit Koeffizienten in Dezimaldarstellung (d.h. unter Umständen nur näherungsweise) an. Wird die gleiche Berechnung im CAS vorgenommen, so erfolgt die Anzeige in exakter Form. 1 2 3 4 5 6 Eingabe: Gib die Funktion ein: f(x) = ‒ x^3/2 + 2x ! 1 2 3 4 5 6 Eingabe: Gib g: Tangente(1, f) oder g = Tangente(1, f) ein! 1 2 3 4 5 6 Eingabe: Für eine schönere Darstellung gib auch den Punkt ein, durch den die Tangente verlaufen soll: P = (1, f(1)) ! 1 2 3 4 5 6 Grafik/Werkzeugleiste: Der gleiche Effekt (allerdings ohne den Namen der Tangente vorab bestimmen zu können) lässt sich erzielen, indem anstelle von Schritt 3 das Werkzeug „Tangenten“ ausgewählt und danach zuerst der Punkt P und dann der Graph von f angeklickt wird. 1 2 3 4 5 6 Grafik: GeoGebra zeichnet die Tangente und gibt ihr – wie gewünscht – den Namen g. Hätte man in Schritt 3 nur Tangente(1, f) eingegeben, so hätte sie GeoGebra selbst benannt. 1 2 3 4 5 6 Nur zuPrüfzwecken – Eigentum S S des Verlags öbv
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