12 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG HÖHERE ABLEITUNGEN G 2.21 Berechne die erste und die zweite Ableitung von f mit f(x) = x + 1 _ x! LÖSUNG: Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Analog kann die dritte Ableitung in der Form f’’’(x) eingegeben werden, usw. Merke Schreibweisen für höhere Ableitungen: Anstelle von f’’(x) kann zur Berechnung der zweiten Ableitungsfunktion auch Ableitung(f(x), x, 2) geschrieben werden, allgemein Ableitung(f(x), x, n) zur Berechnung der n-ten Ableitung. G 2.22 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 – 4 _ x + 3 . Berechne f’’(x)! G 2.23 Gegeben ist die Funktion w mit w(t) = 1 _ t 2 + 4 . Berechne w’’(t) und w’’’(t)! G 2.24 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = 1 _ 1 – x . Berechne g(0) und g’(0) sowie die höheren Ableitungen an der Stelle 0 bis zur Ordnung 6! Formuliere eine Vermutung, welchen Wert die n-te Ableitung von g an der Stelle 0 für beliebige n hat! Überprüfe die Vermutung bis zur zehnten Ableitung! G 2.25 Das Fallgesetz von Galileo Galilei lautet (in moderner Formulierung): Wird ein Körper zum Zeitpunkt t = 0 von einer Ausgangshöhe h 0 mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 senkrecht abgeschossen (v 0 > 0 bedeutet: nach oben, v 0 < 0 bedeutet: nach unten), so ist seine Höhe zu einem späteren Zeitpunkt t durch h(t) = h 0 + v 0 t – g _ 2 t 2 gegeben. Dabei ist g = 9,81m/s2 die Erdbeschleunigung. Der Luftwiderstand ist hierbei vernachlässigt. Berechne h’(t) und h’’(t)! Beschreibe den zeitlichen Verlauf von h’(t) und h’’(t) in Worten! Interpretiere physikalisch! TANGENTE AN EINEN FUNKTIONSGRAPHEN G 2.26 Konstruktion einer Tangente an einen Funktionsgraphen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ‒ x 3 _ 2 + 2 x. Zeichne den Graphen von f sowie die Tangente im Punkt (11f(1)) und ermittle die Gleichung der Tangente! CAS: Gib den Funktionsterm f(x)÷= x + 1/x ein! 1 2 3 CAS: Gib f’(x) ein! GeoGebra zeigt einen Term der Ableitung an. 1 2 3 CAS: Gib ein: f’’(x) ! GeoGebra zeigt einen Term der zweiten Ableitung an. 1 2 3 Nur S S zuPrüfzwecken g g g g A A – Ei entum t t S S h h v v des g g g g Verlags A A öbv
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