11 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Um die Aufgabe über dieEingabezeile zu lösen, folge den Anweisungen! Gleichzeitig zeichnet GeoGebra die Graphen von f und f’ in das Grafikfenster. Merke Schreibweisen für die Ableitungsfunktion: Anstelle von f’(x) kann zur Berechnung der Ableitungsfunktion auch Ableitung(f(x), x) geschrieben werden. GeoGebra akzeptiert auch die Schreibweisen Ableitung(f, x) , Ableitung(f(x)) und Ableitung(f) . Anstelle von f(x) oder f kann auch ein Funktionsterm eingegeben werden, also beispielsweise Ableitung(x^2, x) oder Ableitung(x^2) . Enthält ein Funktionsterm neben der Variable noch weitere Symbole (Konstanten), so sollte zur Sicherheit immer die Variable mit angegeben werden, also etwa Ableitung(ax^2, x) . G 2.15 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = 2x 3 – x 2 + x _ 2 – 7. Berechne a) einen Term für die Ableitungsfunktion g’, b) die Ableitungen von g an den Stellen ‒1, ‒ 1 _ 2 , 0, 1 _ 2 und 1! G 2.16 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 – 4 _ x + 3 . Berechne f’(x)! G 2.17 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 4 – 5 x 2 + 1. Berechne f’(‒ 2) und f’(2)! Was fällt auf? Erkläre! G 2.18 Gegeben ist die Funktion f mit w(t) = 1 _ t 2 + 4 . Berechne w’(t)! G 2.19 Lege einen Schieberegler für die Konstante c an und zeichne den Graphen der Funktion f mit f(x) = c (x 3 – x) sowie den Graphen ihrer Ableitungsfunktion f’! Nun variiere c! Wie ändern sich die Extremstellen von f bzw. die Nullstellen von f’? Begründe, warum dies so sein muss! G 2.20 Überprüfe die Summenregel (d.h. die Aussage f(x) = g(x) + h(x) w f’(x) = g’(x) + h’(x)) anhand der Funktionen g(x) = x 2 + 2 x – 1 und h(x) = x 3 – x! Berechne dazu 1) die Ableitung der Summe der beiden Funktionen und 2) die Summe der Ableitungen der beiden Funktionen! Überprüfe auch anhand der Graphen, dass das Ergebnis in beiden Fällen das gleiche ist! Eingabe: Gib den Funktionsterm f(x) = x^3 – 4x^2 + 2x – 5 ein! Anschließend gib f’(x) ein! 1 2 3 4 Eingabe: Gib f’(1/3) ein! 1 2 3 4 Algebra: GeoGebra zeigt den gewünschten Wert an und gibt ihm einen Namen (in diesem Fall a). Beachte: Die Anzeige erfolgt in Dezimaldarstellung, also unter Umständen (wie in diesem Beispiel) nur näherungsweise! 1 2 3 4 Algebra: GeoGebra zeigt einen Term für die Ableitungsfunktion f’ im Algebrafenster an. 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – – Eigentum x x x x des x x Verlags öbv
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