10 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG G 2.08 Zeichne den Graphen der Funktion w von Aufgabe G 2.07! Zeigt sich das Problem mit der Stelle 0? (Tipp: Platziere einen Punkt mit dem Werkzeug „Punkt“ auf den angezeigten Graphen und versuche, ihn so zu verschieben, dass seine x-Koordinate gleich 0 ist! Was beobachtet man? Erkläre!) G 2.09 Gegeben ist die (für alle reellen Zahlen º – 1 definierte) Funktion f mit f(x) = 9___ x + 1. Berechne den Grenzwert lim x ¥ 1 f(x) – f(1) __x – 1 ! Welche Bedeutung hat er? G 2.10 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = x 3 – x 2 + 3 x – 1. Berechne mit dem CAS den Grenzwert lim x ¥ 2 g(x) – g(2) __ x – 2 auf zwei Arten: a) durch Faktorisieren des Terms g(x) – g(2), b) unter Verwendung des Befehls „Grenzwert“! G 2.11 Berechne lim x ¥ 0 x – 1 + 9___ 1 + x __x ! G 2.12 Berechne lim x ¥ 0 e x – 1 _ x ! G 2.13 Die Grenzwerte lim x ¥ 0 1 _ x , lim x ¥ 0 1 _ x 2 und lim x ¥ 0 2 ‒ 1 _ x 2 3 existieren nicht. Beobachte, welche Ausgaben GeoGebra macht, wenn versucht wird, sie zu berechnen! Erkläre die Unterschiede anhand der Graphen der Funktionen x ¦ 1 _ x, x ¦ 1 _ x 2 und x ¦ ‒ 1 _ x 2 ! ABLEITUNGSFUNKTION G 2.14 Berechnung der Ableitungsfunktion und ihres Werts an einer bestimmten Stelle Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 3 – 4x 2 + 2x – 5. Berechne a) einen Term für die Ableitungsfunktion f’, b) die Ableitung von f an der Stelle ‒ 1 _ 3 ! LÖSUNG: Ableitungen können sowohl mit dem CAS als auch über die Eingabezeile berechnet werden. Die Schreibweise ist in beiden Fällen die gleiche. Um die Aufgabe mit demCAS zu lösen, folge den Anweisungen! Gleichzeitig zeichnet GeoGebra den Graphen von f in das Grafikfenster. Um auch den Graphen von f’ im Grafikfenster anzuzeigen, klicke auf den kleinen Kreis unterhalb der Zahl 2 in der zweiten CAS-Zeile! CAS: Gib f’(1/3) ein! GeoGebra zeigt den gewünschten Wert an. 1 2 3 CAS: Gib f’(x) ein! GeoGebra gibt einen Term für die Ableitungsfunktion f’ aus. 1 2 3 CAS: Gib den Funktionsterm f(x)÷= x^3 – 4x^2 + 2x – 5 ein! 1 2 3 Nur zuPrüfzwecken – Eigentum des Verlags ö v
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