GEOGEBRA ABLEI T INGER | DORNER | EMBACHER | ULOVEC Mathematik verstehen
Mathematik verstehen 7. GeoGebra, Technologietraining Schulbuchnummer 180211 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung vom 11. März 2016, GZ BMBF-5.018/0097-B/8/2015, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 7. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Oberstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 5. Februar 2020, GZ BMBWF-5.018/0016-Präs/14/2019 teilt das Bundesministerium für Bildung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes Mathematik verstehen 7. GeoGebra, Technologietraining, BNR 180211, kein Einwand besteht. (Lehrplan 2018) Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: Marcus Lindstrom / iStockphoto.com 2. Auflage (Druck 0002) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2019 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Karin Drucks, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien Umschlaggestaltung und Layout: DWTC Balgavy, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-09580-0 (Mathematik verstehen OS GGb Technologie 7) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum t des Verlags öbv
TECHNOLOGIETRAINING GeoGebra Privatdoz. Dr. Christoph Ableitinger Mag. Dr. Christian Dorner, BSc Doz. Dr. Franz Embacher MMag. Dr. Andreas Ulovec Wissenschaftliche Beratung: Univ.-Prof. Mag. Dr. Günther Malle www.oebv.at 7 Mathematik verstehen ABLEI T INGER | DORNER | EMBACHER | ULOVEC Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags gs öbv
2 Onlinehinweise zur Durchführung von Schularbeiten und Prüfungen mit GeoGebraExam findet man auf www.oebv.at, indem der Online-Code direkt ins Suchfeld eingegeben wird. Erklärungen zum Technologietraining Die einzelnen Kapitel in diesem Technologietraining laufen parallel zu den Kapiteln im Schulbuch Mathematik verstehen 7. Ziel des Technologietrainings ist es, Fertigkeiten in der SoftwareGeoGebra zu erwerben, die das Verständnis von Inhalten des Schulbuchs unterstützen, die Bearbeitung von Aufgaben aus dem Schulbuch erleichtern, es ermöglichen, handschriftlich erhaltene Ergebnisse rasch mit dem Computer zu überprüfen, bei der standardisierten Reifeprüfung erwartet werden. Zu Beginn jedes Kapitels werden die für die standardisierte Reifeprüfung bzw. vom Lehrplan geforderten Grundkompetenzenangegeben, die in diesem Kapitel mit Hilfe der Technologie vertieft und erweitert werden können. Die Technologie-Fertigkeiten sollen bei der Bearbeitung konkreter Aufgaben erworben werden. Die Idee ist, die vorgezeigten Aufgabenlösungen selbst in GeoGebra nachzuvollziehen. Entsprechende Screenshots des GeoGebra-Bildschirms sollen dabei helfen. Es ist ratsam, vor der Bearbeitung einer neuen Aufgabe ein neues Fenster in GeoGebra zu öffnen, da sich GeoGebra in manchen Fällen Variablennamen merkt und in neuen Aufgaben weiterverwendet. Die Sprechblasen sollen in der angegebenen Reihenfolge 1 2 3 … gelesen und bearbeitet werden. Der Text in einer Sprechblase beginnt immer mit dem Namen jenes Fensters bzw. Bereichs, in dem der nachfolgende Schritt ausgeführt werden soll. Graue Markierungen deuten auf eine spezielleSyntax inGeoGebrahin. Der grau unterlegte Text kann direkt so in GeoGebra eingegeben werden. Falls nicht anders angegeben, ist mit einem „Mausklick“ immer die linke Maustaste gemeint. GeoGebra bietet häufig mehrere Wege an, wie bestimmte Eingaben vorgenommen werden können. In einigen Fällen werden diese unterschiedlichen Möglichkeiten angesprochen. Wir verzichten allerdings darauf, wenn dies zu Verwirrungen führen könnte. Wir verwenden in diesem Technologietraining die Version GeoGebra Classic 5 in der Sprache Deutsch (Österreich). G 7.05 Die im Technologietraining verwendeten Aufgaben werden mit einem G gekennzeichnet. Lösungen zu diesen Aufgaben findet man auf www.oebv.at, indem der Online-Code direkt ins Suchfeld eingegeben wird. O Dieses Symbol weist auf Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 7 hin, die mit den neu erworbenen Fertigkeiten bearbeitet und weiter vertieft werden können. Diese Aufgaben sind im Schulbuch Mathematik verstehen 7 mit gekennzeichnet. Ó c5s8xa Ó z27fs9 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
3 INHALTSVERZEICHNIS 1. Gleichungen und Polynomfunktionen 4 2. Grundbegriffe der Differentialrechnung 7 3. Untersuchen von Polynomfunktionen 14 4. Kreis und Kugel 26 5. Ellipse, Hyperbel, Parabel 32 6. Kurven 40 7. Erweiterung der Differentialrechnung 42 8. Exaktifizierung der Differentialrechnung 45 9. Anwendungen der Differentialrechnung 47 10. Wahrscheinlichkeitsverteilungen 54 11. Die Binomialverteilung und weitere Verteilungen 55 12. Komplexe Zahlen 60 Wo findet man was? 63 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN LERNZ IELE UND GRUNDKOMPETENZEN Inhaltsbereich „Algebra und Geometrie“ Wissen über algebraische Begriffeangemessen einsetzen können: […] Gleichungen, […] Umformungen, Lösbarkeit. Inhaltsbereich „Funktionale Abhängigkeiten“ Den Zusammenhang zwischen demGrad der Polynomfunktionund der Anzahl der Nullstellen […] wissen. POLYNOME UND ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN G 1.01 Lösen von algebraischen Gleichungen Löse die Gleichung x 3 – 5x 2 + x + 10 = 0 mit dem CAS von GeoGebra a) durch Abspalten eines Linearfaktors, b) unter Verwendung des Befehls „Löse“! LÖSUNG: GeoGebra kann ein Polynom mit rationalen Koeffizienten so weit in lineare und/oder quadratische Ausdrücke mit rationalen Koeffizienten zerlegen (d.h. als Produkt solcher Faktoren schreiben), wie dies möglich ist. Der Befehl „Faktorisiere“, der das leistet, wurde bereits im Technologietraining zu Mathematik verstehen 5 vorgestellt und auf quadratische Terme angewandt. Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Alternativ zu dieser Vorgangsweise kann man zu Beginn f(x)÷= x^3 – 5x^2 + x + 10 eingeben und die obigen Schritte 1 und 4 in der Form Faktorisiere(f(x), x) und Löse(f(x) = 0, x) abkürzen. GeoGebra ist hinsichtlich der genauen Eingabeform recht tolerant. Obwohl mathematisch eigentlich nicht wirklich zutreffend, sind die Eingaben Faktorisiere(f, x) und Löse(f = 0, x) ebenfalls erlaubt. Auch die Kurzformen Faktorisiere(f) und Löse(f = 0) sind möglich (da im Funktionsterm nur eine einzige Variable vorkommt), sogar die Varianten Löse(f(x)) und Löse(f) . Ähnliches gilt auch für viele andere GeoGebraBefehle – wir werden nicht jedes Mal eigens darauf hinweisen. CAS: GeoGebra zeigt alle drei Lösungen der gegebenen Gleichung an. 1 2 3 4 5 CAS: Um nach weiteren Lösungen zu suchen, muss die entsprechende Gleichung mit dem zweiten (quadratischen) Faktor gelöst werden. Gib Löse(x^2 – 3x – 5 = 0, x) ein! GeoGebra zeigt nun beide Lösungen der quadratischen Gleichung an. Damit sind alle drei Lösungen der ursprünglichen Gleichung gefunden. 1 2 3 4 5 CAS: GeoGebra schreibt den Term als Produkt eines Linearfaktors mit einem quadratischen Faktor. Ein Blick auf den Linearfaktor genügt, um zu erkennen, dass 2 eine Lösung der gegebenen Gleichung ist. 1 2 3 4 5 CAS/Werkzeugleiste: Für Teil a) der Aufgabe gib Faktorisiere(x^3 – 5x^2 + x + 10, x) ein! Bestätige mit der Enter-Taste oder durch Klick auf das Werkzeug „Berechne symbolisch“ ! (Wie eine CAS-Eingabe zu bestätigen ist, werden wir von nun an nur mehr dazuschreiben, wenn sie anders erfolgt als hier). 1 2 3 4 5 CAS: Für Teil b) der Aufgabe gib Löse(x^3 – 5x^2 + x + 10 = 0, x) ein! 1 2 3 4 5 Nur zuPrüfzwecken A A – Eigentum des Verlags A A öbv
5 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN G 1.02 Löse die Gleichung x 3 + 2 x 2 – 7x – 12 = 0 mit dem CAS a) durch Abspalten eines Linearfaktors, b) unter Verwendung des Befehls „Löse“! G 1.03 Löse die Gleichung 2 x 3 – 11 x 2 + 3 x + 30 = 0 mit dem CAS a) durch Abspalten eines Linearfaktors, b) unter Verwendung des Befehls „Löse“! G 1.04 Gegeben sind die Gleichungen x 3 + 3 x 2 – 2 x – 4 = 0 und x 3 + 3 x 2 – 2 x – 5 = 0. Versuche in beiden Fällen, sie mit den Methoden der vorherigen Aufgaben zu lösen! Welcher Unterschied zeigt sich? Erkläre, warum GeoGebra ganz unterschiedlich reagiert! G 1.05 Zeige, dass sich das Polynom x 4 – 4 x 3 – x 2 + 16 x – 12 in Linearfaktoren aufspalten lässt und ermittle danach die Lösungen der Gleichung x 4 – 4 x 3 – x 2 + 16 x – 12 = 0 ohne weitere Rechnung! G 1.06 Löse die Gleichung x 4 + 4 x 3 – 14 x 2 – 3 x + 14 = 0 durch Abspaltung möglichst vieler Linearfaktoren! G 1.07 Löse die Gleichung x 4 + 6 x 3 + 10 x 2 – 3 x – 14 = 0 durch Abspaltung möglichst vieler Linearfaktoren! NULLSTELLEN G 1.08 Nullstellen mit dem Befehl „Nullstelle“ ermitteln Ermittle die Nullstellen der Funktion f mit f(x) = x 3 – 3 x 2 – 2 x + 6 mit dem Befehl „Nullstelle“! LÖSUNG: Folge den Anweisungen! Obwohl Eingabe und Berechnung wahlweise über die Eingabezeile oder im CAS erfolgen können, besteht – wie das Beispiel zeigt – ein wichtiger Unterschied: Im CAS vorgenommene Eingaben führen – sofern GeoGebra dies kann – zu exakten (symbolischen) Anzeigen der Ergebnisse (siehe den nebenstehenden Screenshot), während die Ergebnisse von Berechnungen, die über die Eingabezeile eingegeben wurden, in Dezimaldarstellung, also unter Umständen nur näherungsweise angezeigt werden. So wird im obigen Beispiel die x-Koordinate des Punktes B, die exakt gleich 9_ 2 ist, im Algebrafenster als 1.41 angezeigt. Grafik/Algebra: GeoGebra zeichnet die Schnittpunkte A, B und C des Graphen mit der x-Achse ein und gibt ihre Koordinaten im Algebrafenster in Dezimaldarstellung an. Beachte: Die x-Koordinaten der Punkte A und B werden hier nur näherungsweise angezeigt! 1 2 3 Eingabe: Gib die Funktion ein: f(x) = x^3 – 3x^2 – 2x + 6 ! Anschließend gib Nullstelle(f) ein! 1 2 3 CAS: Wird Nullstelle(f) in das CAS-Fenster eingegeben, so erfolgt die Anzeige des Ergebnisses in exakter (symbolischer) Form! Um die entsprechenden Punkte in der Grafik sichtbar zu machen, klicke auf den kleinen Kreis unterhalb der Zeilennummer 1! GeoGebra legt dann eine Liste von Punkten an und zeichnet sie. 1 2 3 Nur A A A A zu A A Prüfzwecken – Eigentum A A des Verlags öbv
6 1 GLEICHUNGEN UND POLYNOMFUNKTIONEN Merke Vor- und Nachteile der Eingabe des Befehls „Nullstelle“ in Eingabezeile oder CAS Befehl Eingabe über Vorteil Nachteil Nullstelle (…) Eingabezeile Die ermittelten Punkte bekommen individuelle Namen und werden sofort in die Grafik gezeichnet. Die Koordinaten der ermittelten Punkte werden im Algebrafenster in Dezimaldarstellung (also unter Umständen nur näherungsweise) angezeigt. Nullstelle (…) CAS Die Nullstellen werden in exakter (symbolischer) Form angezeigt. Die entsprechenden Punkte werden (wenn gewünscht) als Liste angelegt und (ohne individuelle Beschriftung) in die Grafik gezeichnet. Wird versucht, ein über die Eingabezeile erzeugtes Objekt im CAS anzuzeigen, kann es zu unliebsamen Überraschungen kommen. Werden etwa die Nullstellen wie in Aufgabe G 1.08 via Eingabezeile ermittelt und danach der Punkt B im CAS aufgerufen (Eingabe: B ), so zeigt GeoGebra seine x-Koordinate an wie rechts abgebildet und nicht, wie es korrekt wäre, als 9_ 2! G 1.09 Nullstellen von Polynomen vorgeben Zeichne in der Grafikansicht ein Polynom vierten Grades, das die Nullstellen ‒3, ‒ 2, ‒1 und 1 besitzt! LÖSUNG: GeoGebra stellt den Befehl „Polynom“ zur Verfügung, um den Graphen des Polynoms vom Grad n – 1 durch n vorgegebene Punkte, deren erste Koordinaten alle verschieden sind, zu zeichnen. Folge den Anweisungen! Durch Bewegen des Punktes E im Zugmodus, Werkzeug „Bewege“ , können die Graphen beliebiger Polynomfunktionen mit den vorgegebenen Nullstellen erzeugt werden. G 1.10 Führe die Konstruktion von Aufgabe G 1.09 durch und zeige mittels Vergleich der Graphen, dass alle Polynome, die durch Bewegen des Punktes E im Zugmodus entstehen, Vielfache der Funktion g mit g(x) = (x + 3) (x + 2) (x + 1) (x – 1) sind! Lege dazu einen Schieberegler für eine Konstante a an, zeichne den Graphen der Funktion x ¦ ag(x), wähle einen Ort für E und variiere a, bis die beiden Graphen zur Deckung kommen! O Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 7 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 1.17, 1.22, 1.23 Eingabe: Gib Polynom(A, B, C, D, E) ein! 1 2 3 4 Eingabe oder Grafik: Gib einen Punkt E ein, der nicht auf der x-Achse liegt, und dessen x-Koordinate von denen der bisherigen Punkte verschieden ist! 1 2 3 4 Grafik/Algebra: GeoGebra zeichnet den gewünschten Graphen. Im Algebrafenster wird seine Termdarstellung angegeben. 1 2 3 4 Eingabe oder Grafik: Gib die Punkte A = (‒3, 0), B = (‒2, 0), C = (‒1, 0), D = (1, 0) ein (entweder direkt über die Eingabezeile oder mit dem Werkzeug „Punkt“ durch genaues Zielen auf die betreffenden Stellen der x-Achse)! 1 2 3 4 Nur zuPrüfzwecken – Eigentum P P E E des Verlags öbv
7 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG LERNZ IELE UND GRUNDKOMPETENZEN Inhaltsbereich „Analysis“ Den ZusammenhangDifferenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können. DenDifferenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deutenund entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können. Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können. DIFFERENZENQUOTIENT – MITTLERE ÄNDERUNGSRATE G 2.01 Mittlere Änderungsrate visualisieren und berechnen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 3 _ 8 – x 2 _ 6 – x _ 2 + 2. Berechne und visualisiere die mittlere Änderungsrate dieser Funktion im Intervall [1; a] mit a > 1, wobei a durch einen Schieberegler repräsentiert ist! LÖSUNG: Bereite zunächst die Visualisierung vor: Eingabe: Gib den Funktionsterm f(x) = x^3/8 – x^2/6 – x/2 + 2 ein! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Eingabe: Gib die Punkte A = (1, 0) und B = (a, 0) ein! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grafik: Lege einen Schieberegler für a an (Minimum: 1, Maximum: 4, Schrittweite: 0.01)! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grafik/Werkzeugleiste: Zeichne jeweils eine Normale zur x-Achse durch A und durch B (Werkzeug „Senkrechte Gerade“ )! GeoGebra nennt sie g und h! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grafik/Werkzeugleiste: Ermittle die Schnittpunkte von g und h mit dem Graphen der Funktion f (Werkzeug „Punkt“ )! GeoGebra nennt sie C und D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nur zuPrüfzwecken – Eigentum des G G Verlags öbv
8 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Zur Berechnung der mittleren Änderungsrate öffne die CAS-Ansicht: G 2.02 Führe die Konstruktion und Berechnung zu Aufgabe G 2.01 durch und bewege den Schieberegler bis zu seinem Minimalwert, d.h. a = 1! Wie zeigt GeoGebra dann die mittlere Änderungsrate und die Gerade k an? Erkläre! Grafik: Nun blende die Geraden g und h aus, zeichne die Strecken AC und BD (Werkzeug „Strecke“ ) und formatiere sie ansprechend (z.B. strichliert, da sie Hilfslinien sind). Zeichne die Gerade durch C und D (GeoGebra nennt sie k) und färbe sie rot! Die mittlere Änderungsrate im Intervall [1; a] ist die Steigung der Geraden k für den aktuell mit dem Schieberegler eingestellten Wert von a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Menüleiste: Wähle in den Einstellungen „Runden“ und dort 5 Nachkommastellen für eine genauere Anzeige! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grafik/CAS: Für den im Schieberegler aktuell eingestellten Wert von a zeigt das CAS den Wert der mittleren Änderungsrate an. Geometrisch gedeutet ist er der Anstieg der in der Grafik gezeigten Geraden k (der entsprechenden Sekante des Graphen von f). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 CAS/Werkzeugleiste: Gib die mittlere Änderungsrate ein: (f(a) – f(1))/(a – 1) ! Bestätige mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nur B B zu Prüfzwecken – Eigentum s s B B des Verlags öbv
9 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG G 2.03 Führe die Konstruktion und Berechnung zu Aufgabe G 2.01 durch und erstelle zusätzlich ein Steigungsdreieck der Geraden g, um zu überprüfen, dass die vom CAS berechnete mittlere Änderungsrate gleich der Steigung von g ist! (Der Befehl „Steigung“, der dies leistet, wurde im Technologietraining zu Mathematik verstehen 5 besprochen). G 2.04 Berechne f(q) – f(1) __q – 1 für die Funktion f von Aufgabe G 2.01 a) durch direkte Eingabe in das CAS, b) durch Faktorisieren des Zählers! Werte das Ergebnis an der Stelle q = 1 aus! HINWEIS: In Aufgabe G 2.01 wurde f(a) – f(1) __a – 1 für die dort angegebene Funktion f und für Werte a > 1 berechnet. In Aufgabe G 2.02 wurde illustriert, dass f(a) – f(1) __a – 1 für a = 1 nicht definiert ist. Wird f(q) – f(1) __q – 1 für eine freie (nun numerisch nicht durch einen Schieberegler festgelegte) Variable q in das CAS eingegeben, so ist das Ergebnis ein Ausdruck, der ohne Probleme für q = 1 berechnet werden kann. Der Grund dafür besteht darin, dass GeoGebra den Zähler faktorisiert und einen Faktor q – 1 findet, der gegen den Nenner gekürzt wird. G 2.05 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = 2 x 3 – x 2 + 5 x – 2. Berechne g(h) – g(0) __ h a) durch direkte Eingabe in das CAS, b) durch Faktorisieren des Zählers! Werte das Ergebnis an der Stelle h = 0 aus! GRENZWERT G 2.06 Grenzwert einer Funktion berechnen Gegeben ist die Funktion v mit v(x) = 9___ x + 3 – 2 __x – 1 . Sie ist an der Stelle 1 nicht definiert, da der angegebene Term für x = 1 auf eine Division „Null durch Null“ führt. Berechne den Grenzwert lim x ¥ 1 v(x)! LÖSUNG: Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Man hätte die Schritte 1 und 2 durch die Eingabe Grenzwert((sqrt(x + 3) – 2)/(x – 1), x, 1) zusammenfassen können. Die Berechnung kann auch über die Eingabezeile erfolgen, wenn das Argument x nach dem ersten Beistrich weggelassen, also Grenzwert(v(x), 1) oder Grenzwert((sqrt(x + 3) – 2)/(x – 1), 1) geschrieben wird. G 2.07 Gegeben ist die Funktion w mit w(x) = sin(x) _ x . Sie ist an der Stelle 0 nicht definiert, da der angegebene Term für x = 0 auf eine Division „Null durch Null“ führt. Berechne den Grenzwert lim x ¥ 0 w(x)! CAS: Gib den Funktionsterm v(x)÷= (sqrt(x + 3) – 2)/(x – 1) ein! 1 2 3 CAS: Gib Grenzwert(v(x), x, 1) ein! 1 2 3 CAS: Der gesuchte Grenzwert wird angezeigt. 1 2 3 Nur zuPrüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG G 2.08 Zeichne den Graphen der Funktion w von Aufgabe G 2.07! Zeigt sich das Problem mit der Stelle 0? (Tipp: Platziere einen Punkt mit dem Werkzeug „Punkt“ auf den angezeigten Graphen und versuche, ihn so zu verschieben, dass seine x-Koordinate gleich 0 ist! Was beobachtet man? Erkläre!) G 2.09 Gegeben ist die (für alle reellen Zahlen º – 1 definierte) Funktion f mit f(x) = 9___ x + 1. Berechne den Grenzwert lim x ¥ 1 f(x) – f(1) __x – 1 ! Welche Bedeutung hat er? G 2.10 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = x 3 – x 2 + 3 x – 1. Berechne mit dem CAS den Grenzwert lim x ¥ 2 g(x) – g(2) __ x – 2 auf zwei Arten: a) durch Faktorisieren des Terms g(x) – g(2), b) unter Verwendung des Befehls „Grenzwert“! G 2.11 Berechne lim x ¥ 0 x – 1 + 9___ 1 + x __x ! G 2.12 Berechne lim x ¥ 0 e x – 1 _ x ! G 2.13 Die Grenzwerte lim x ¥ 0 1 _ x , lim x ¥ 0 1 _ x 2 und lim x ¥ 0 2 ‒ 1 _ x 2 3 existieren nicht. Beobachte, welche Ausgaben GeoGebra macht, wenn versucht wird, sie zu berechnen! Erkläre die Unterschiede anhand der Graphen der Funktionen x ¦ 1 _ x, x ¦ 1 _ x 2 und x ¦ ‒ 1 _ x 2 ! ABLEITUNGSFUNKTION G 2.14 Berechnung der Ableitungsfunktion und ihres Werts an einer bestimmten Stelle Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 3 – 4x 2 + 2x – 5. Berechne a) einen Term für die Ableitungsfunktion f’, b) die Ableitung von f an der Stelle ‒ 1 _ 3 ! LÖSUNG: Ableitungen können sowohl mit dem CAS als auch über die Eingabezeile berechnet werden. Die Schreibweise ist in beiden Fällen die gleiche. Um die Aufgabe mit demCAS zu lösen, folge den Anweisungen! Gleichzeitig zeichnet GeoGebra den Graphen von f in das Grafikfenster. Um auch den Graphen von f’ im Grafikfenster anzuzeigen, klicke auf den kleinen Kreis unterhalb der Zahl 2 in der zweiten CAS-Zeile! CAS: Gib f’(1/3) ein! GeoGebra zeigt den gewünschten Wert an. 1 2 3 CAS: Gib f’(x) ein! GeoGebra gibt einen Term für die Ableitungsfunktion f’ aus. 1 2 3 CAS: Gib den Funktionsterm f(x)÷= x^3 – 4x^2 + 2x – 5 ein! 1 2 3 Nur zuPrüfzwecken – Eigentum des Verlags ö v
11 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG Um die Aufgabe über dieEingabezeile zu lösen, folge den Anweisungen! Gleichzeitig zeichnet GeoGebra die Graphen von f und f’ in das Grafikfenster. Merke Schreibweisen für die Ableitungsfunktion: Anstelle von f’(x) kann zur Berechnung der Ableitungsfunktion auch Ableitung(f(x), x) geschrieben werden. GeoGebra akzeptiert auch die Schreibweisen Ableitung(f, x) , Ableitung(f(x)) und Ableitung(f) . Anstelle von f(x) oder f kann auch ein Funktionsterm eingegeben werden, also beispielsweise Ableitung(x^2, x) oder Ableitung(x^2) . Enthält ein Funktionsterm neben der Variable noch weitere Symbole (Konstanten), so sollte zur Sicherheit immer die Variable mit angegeben werden, also etwa Ableitung(ax^2, x) . G 2.15 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = 2x 3 – x 2 + x _ 2 – 7. Berechne a) einen Term für die Ableitungsfunktion g’, b) die Ableitungen von g an den Stellen ‒1, ‒ 1 _ 2 , 0, 1 _ 2 und 1! G 2.16 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 – 4 _ x + 3 . Berechne f’(x)! G 2.17 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 4 – 5 x 2 + 1. Berechne f’(‒ 2) und f’(2)! Was fällt auf? Erkläre! G 2.18 Gegeben ist die Funktion f mit w(t) = 1 _ t 2 + 4 . Berechne w’(t)! G 2.19 Lege einen Schieberegler für die Konstante c an und zeichne den Graphen der Funktion f mit f(x) = c (x 3 – x) sowie den Graphen ihrer Ableitungsfunktion f’! Nun variiere c! Wie ändern sich die Extremstellen von f bzw. die Nullstellen von f’? Begründe, warum dies so sein muss! G 2.20 Überprüfe die Summenregel (d.h. die Aussage f(x) = g(x) + h(x) w f’(x) = g’(x) + h’(x)) anhand der Funktionen g(x) = x 2 + 2 x – 1 und h(x) = x 3 – x! Berechne dazu 1) die Ableitung der Summe der beiden Funktionen und 2) die Summe der Ableitungen der beiden Funktionen! Überprüfe auch anhand der Graphen, dass das Ergebnis in beiden Fällen das gleiche ist! Eingabe: Gib den Funktionsterm f(x) = x^3 – 4x^2 + 2x – 5 ein! Anschließend gib f’(x) ein! 1 2 3 4 Eingabe: Gib f’(1/3) ein! 1 2 3 4 Algebra: GeoGebra zeigt den gewünschten Wert an und gibt ihm einen Namen (in diesem Fall a). Beachte: Die Anzeige erfolgt in Dezimaldarstellung, also unter Umständen (wie in diesem Beispiel) nur näherungsweise! 1 2 3 4 Algebra: GeoGebra zeigt einen Term für die Ableitungsfunktion f’ im Algebrafenster an. 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – – Eigentum x x x x des x x Verlags öbv
12 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG HÖHERE ABLEITUNGEN G 2.21 Berechne die erste und die zweite Ableitung von f mit f(x) = x + 1 _ x! LÖSUNG: Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Analog kann die dritte Ableitung in der Form f’’’(x) eingegeben werden, usw. Merke Schreibweisen für höhere Ableitungen: Anstelle von f’’(x) kann zur Berechnung der zweiten Ableitungsfunktion auch Ableitung(f(x), x, 2) geschrieben werden, allgemein Ableitung(f(x), x, n) zur Berechnung der n-ten Ableitung. G 2.22 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 – 4 _ x + 3 . Berechne f’’(x)! G 2.23 Gegeben ist die Funktion w mit w(t) = 1 _ t 2 + 4 . Berechne w’’(t) und w’’’(t)! G 2.24 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = 1 _ 1 – x . Berechne g(0) und g’(0) sowie die höheren Ableitungen an der Stelle 0 bis zur Ordnung 6! Formuliere eine Vermutung, welchen Wert die n-te Ableitung von g an der Stelle 0 für beliebige n hat! Überprüfe die Vermutung bis zur zehnten Ableitung! G 2.25 Das Fallgesetz von Galileo Galilei lautet (in moderner Formulierung): Wird ein Körper zum Zeitpunkt t = 0 von einer Ausgangshöhe h 0 mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 senkrecht abgeschossen (v 0 > 0 bedeutet: nach oben, v 0 < 0 bedeutet: nach unten), so ist seine Höhe zu einem späteren Zeitpunkt t durch h(t) = h 0 + v 0 t – g _ 2 t 2 gegeben. Dabei ist g = 9,81m/s2 die Erdbeschleunigung. Der Luftwiderstand ist hierbei vernachlässigt. Berechne h’(t) und h’’(t)! Beschreibe den zeitlichen Verlauf von h’(t) und h’’(t) in Worten! Interpretiere physikalisch! TANGENTE AN EINEN FUNKTIONSGRAPHEN G 2.26 Konstruktion einer Tangente an einen Funktionsgraphen Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ‒ x 3 _ 2 + 2 x. Zeichne den Graphen von f sowie die Tangente im Punkt (11f(1)) und ermittle die Gleichung der Tangente! CAS: Gib den Funktionsterm f(x)÷= x + 1/x ein! 1 2 3 CAS: Gib f’(x) ein! GeoGebra zeigt einen Term der Ableitung an. 1 2 3 CAS: Gib ein: f’’(x) ! GeoGebra zeigt einen Term der zweiten Ableitung an. 1 2 3 Nur S S zuPrüfzwecken g g g g A A – Ei entum t t S S h h v v des g g g g Verlags A A öbv
13 2 GRUNDBEGRIFFE DER DIFFERENTIALRECHNUNG LÖSUNG: Folge den Anweisungen! G 2.27 Führe die Konstruktion zu Aufgabe G 2.26 durch und lege ein Steigungsdreieck (vgl. Aufgabe G 2.03 ) an die Tangente! Berechne die Ableitung von f an der Stelle 1 und überprüfe, ob sie gleich der Tangentensteigung ist! G 2.28 Führe die Konstruktion zu Aufgabe G 2.26 durch und miss den Neigungswinkel der Tangente! Wähle dazu das Werkzeug „Winkel“ aus und klicke zuerst auf die x-Achse und danach auf die Tangente! Berechne den Tangens des Neigungswinkels und überprüfe, ob er mit der Tangentensteigung übereinstimmt! G 2.29 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = ‒ x 3 _ 2 + x + 1. Lege einen Punkt P auf den Graphen von g! (Benutze dazu das Werkzeug „Punkt“ und ziele genau auf den Graphen!) Lege eine Tangente an den Graphen im Punkt P und zeichne ein Steigungsdreieck an diese Tangente! Wird der Punkt P entlang des Graphen bewegt, so wird die Steigung der jeweiligen Tangente angezeigt. Berechne die Ableitung an der entsprechenden Stelle! (Die x-Koordinate von P kann in der Form x(P) angesprochen werden. GeoGebra akzeptiert aber statt dessen auch die Eingabe f’(P) .) Bewege P entlang des Graphen und überprüfe, dass die so berechnete Ableitung stets mit der Steigung der Tangente übereinstimmt! Zu guter Letzt miss den Neigungswinkel der Tangente, berechne dessen Tangens und überprüfe, dass dieser Wert ebenfalls stets gleich der Ableitung und der Tangentensteigung ist! G 2.30 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 – 2 x + 5. Bestimme zuerst rechnerisch jene Stelle, an der die Ableitung von f den Wert 4 hat! (Tipp: CAS-Eingabe von f(x), dann Löse(f’(x) = 4, x) .) Zeichne den Graphen von f und die Tangente im betreffenden Punkt! Überprüfe, ob die Steigung der Tangente gleich 4 ist! O Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 7 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 2.43, 2.49, 2.51 – 2.53, 2.56, 2.57, 2.59, 2.80 – 2.82 Algebra/CAS: GeoGebra zeigt die Gleichung der Tangente im Algebrafenster mit Koeffizienten in Dezimaldarstellung (d.h. unter Umständen nur näherungsweise) an. Wird die gleiche Berechnung im CAS vorgenommen, so erfolgt die Anzeige in exakter Form. 1 2 3 4 5 6 Eingabe: Gib die Funktion ein: f(x) = ‒ x^3/2 + 2x ! 1 2 3 4 5 6 Eingabe: Gib g: Tangente(1, f) oder g = Tangente(1, f) ein! 1 2 3 4 5 6 Eingabe: Für eine schönere Darstellung gib auch den Punkt ein, durch den die Tangente verlaufen soll: P = (1, f(1)) ! 1 2 3 4 5 6 Grafik/Werkzeugleiste: Der gleiche Effekt (allerdings ohne den Namen der Tangente vorab bestimmen zu können) lässt sich erzielen, indem anstelle von Schritt 3 das Werkzeug „Tangenten“ ausgewählt und danach zuerst der Punkt P und dann der Graph von f angeklickt wird. 1 2 3 4 5 6 Grafik: GeoGebra zeichnet die Tangente und gibt ihr – wie gewünscht – den Namen g. Hätte man in Schritt 3 nur Tangente(1, f) eingegeben, so hätte sie GeoGebra selbst benannt. 1 2 3 4 5 6 Nur zuPrüfzwecken – Eigentum S S des Verlags öbv
14 3 UNTERSUCHEN VON POLYNOMFUNKTIONEN LERNZ IELE UND GRUNDKOMPETENZEN Inhaltsbereich „Analysis“ Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können. Den Begriff Ableitungsfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können. Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können. Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen. Zielfunktionen in einer Variablen für Optimierungsaufgaben (Extremwertaufgaben) aufstellen und globale Extremstellen ermitteln können. MONOTONIEBEREICHE, EXTREMSTELLEN UND TERRASSENSTELLEN (SATTELSTELLEN) G 3.01 Ermitteln von Monotoniebereichen Ermittle rechnerisch mit dem CAS die Monotoniebereiche der Funktion f mit f(x) = x 4 _ 36 – 5x 3 _ 27 + x 2 _ 6 + x und überprüfe dies grafisch anhand des Graphen von f! LÖSUNG: Die Monotonieintervalle einer Polynomfunktion werden durch Nullstellen ihrer Ableitung begrenzt. Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! CAS: Gib den Funktionsterm f(x)÷= x^4/36 – 5x^3/27 + x^2/6 + x ein! 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS: GeoGebra gibt die Nullstellen der Ableitung an. In diesem Beispiel gibt es nur zwei: ‒1 und 3. 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS: Die Stellen ‒1 und 3 zerlegen die Menge der reellen Zahlen in drei Intervalle, in denen f jeweils streng monoton ist. Um herauszufinden, ob streng monoton fallend oder steigend, berechnet man die Werte von f an diesen beiden Stellen sowie an einer Stelle kleiner als ‒1 und an einer Stelle größer als 3. Diese vier Funktionswerte können in Form einer Liste durch eine einzige Eingabe ermittelt werden. Gib ein: {f(‒2), f(‒1), f(3), f(4)} ! 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS/Werkzeugleiste: GeoGebra zeigt die gewünschten Werte in Bruchschreibweise an. Um sie besser vergleichen zu können, lass GeoGebra sie auch in (genäherter) Dezimaldarstellung anzeigen: Klicke auf die nächste freie Zeile und dann auf das Ergebnis des 3. Schritts, wodurch GeoGebra dieses in die neue Zeile übernimmt! Nun bestätige mit „Berechne numerisch“ ! 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS: Aus den angezeigten Werten ergibt sich, dass die Funktion f im Intervall (‒•; ‒1] streng monoton fallend und in den Intervallen [‒1; 3] und [3; •) streng monoton steigend ist. Das Ergebnis lautet also: f ist streng monoton fallend in (‒•; ‒1] und streng monoton steigend in [‒1; •). 6 7 8 1 2 3 4 5 CAS: Um die Nullstellen der Ableitungsfunktion zu berechnen, gib Löse(f’(x) = 0, x) ein! 6 7 8 1 2 3 4 5 Nur d d b b zu b b Prüfzwecken ü ü – Eigentum d d b b b b des Verlags x x öbv
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Mathematik verstehen OS GGb Technologie 7 Schulbuchnummer 180211 ISBN 978-3-209-09580-0 zu dem Schulbuch Mathematik verstehen OS SB 7 Schulbuchnummer 190239 ISBN 978-3-209-09571-8 www.oebv.at • Das Technologietraining vermittelt Fertigkeiten für den Einsatz von GeoGebra. • Zahlreiche Screenshots und punktgenaue Erklärungen zu konkreten Aufgaben ermöglichen die einzelnen Schritte rasch nachzuvollziehen. • Das Verständnis der Inhalte aus dem Schulbuch wird durch den Technologieeinsatz optimal unterstützt. • Zusätzliche Aufgaben für die unterschiedlichsten Anwendungen der Technologie stehen zur Verfügung. ISBN 978-3-209-09580-0
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