6 GEOGEBRA Ablei t inger | Dorner | Embacher | Ulovec Mathematik verstehen
Mathematik verstehen 6. GeoGebra, Technologietraining Schulbuchnummer: 175238 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 3. März 2015, GZ BMBF-5.018/0058B/8/2014, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen für die 6. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 16. Oktober 2017, GZ BMBF-5.018/0065-IT/3/2017 teilt das Bundesministerium für Bildung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes Malle Mathematik verstehen 6. GeoGebra, Technologietraining, BNR 175.238, kein Einwand besteht. (Lehrplan 2017) Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: LeeYiuTung / Thinkstock 1. Auflage (Druck 0002) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2018 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Thérèse Tomiska, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien Umschlaggestaltung und Layout: DWTC Balgavy, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-09579-4 (Mathematik verstehen OS GGb Technologie 6) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Ass.-Prof. Dr. christoph Ableitinger mag. Dr. christian Dorner, BSc Doz. Dr. Franz Embacher mmag. Dr. Andreas Ulovec Wissenschaftliche Beratung: Univ.-Prof. Mag. Dr. Günther Malle technOlOGietRaininG GeoGebra 6 mathematik verstehen Ablei t inGeR | DORneR | EmbacheR | UlOvec Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Onlinehinweise zur Durchführung von Schularbeiten und Prüfungen mit GeoGebraExam findet man auf www.oebv.at, indem der Online-Code direkt ins Suchfeld eingegeben wird. Erklärungen zum Technologietraining Die einzelnen Kapitel in diesem Technologietraining laufen parallel zu den Kapiteln im Schulbuch Mathematik verstehen 6. Ziel des Technologietrainings ist es, Fertigkeiten in der Software GeoGebra zu erwerben, die das Verständnis von Inhalten des Schulbuchs unterstützen, die Bearbeitung von Aufgaben aus dem Schulbuch erleichtern, es ermöglichen, handschriftlich erhaltene Ergebnisse rasch mit dem Computer zu überprüfen, bei der standardisierten Reifeprüfung erwartet werden. Zu Beginn jedes Kapitels werden die für die standardisierte Reifeprüfung bzw. vom Lehrplan geforderten Grundkompetenzen angegeben, die in diesem Kapitel mit Hilfe der Technologie vertieft und erweitert werden können. Die Technologie-Fertigkeiten sollen bei der Bearbeitung konkreter Aufgaben erworben werden. Die Idee ist, die vorgezeigten Aufgabenlösungen selbst in GeoGebra nachzuvollziehen! Entsprechende Screenshots des GeoGebra-Bildschirms sollen dabei helfen. Es ist ratsam, vor der Bearbeitung einer neuen Aufgabe ein neues Fenster in GeoGebra zu öffnen, da sich GeoGebra in manchen Fällen Variablennamen merkt und in neuen Aufgaben weiterverwendet. Die Sprechblasen sollen in der angegebenen Reihenfolge 1 2 3 … gelesen und bearbeitet werden. Der Text in einer Sprechblase beginnt immer mit dem Namen jenes Fensters bzw. Bereichs, in dem der nachfolgende Schritt ausgeführt werden soll. Graue Markierungen deuten auf eine spezielle Syntax in GeoGebra hin. Der grau unterlegte Text kann direkt so in GeoGebra eingegeben werden. Falls nicht anders angegeben, ist mit einem „Mausklick“ immer die linke maustaste gemeint. GeoGebra bietet häufig mehrere Wege an, wie bestimmte Eingaben vorgenommen werden können. In einigen Fällen werden diese unterschiedlichen Möglichkeiten angesprochen. Wir verzichten allerdings darauf, wenn dies zu Verwirrungen führen könnte. Wir verwenden in diesem Technologietraining die Version GeoGebra Classic 5 in der Sprache Deutsch (Österreich). G 7. 05 Die im Technologietraining verwendeten Aufgaben werden – sofern sie nicht aus dem Schulbuch übernommen worden sind – mit einem G gekennzeichnet. Lösungen zu diesen Aufgaben findet man auf www.oebv.at, indem der Online-Code direkt ins Suchfeld eingegeben wird. O O Dieses Symbol weist auf Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 6 hin, die mit den neu erworbenen Fertigkeiten bearbeitet und weiter vertieft werden können. Diese Aufgaben sind im Schulbuch Mathematik verstehen 6 mit gekennzeichnet. Ó c5s8xa Ó mm45w2 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
3 Inhaltsverzeichnis 1. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 4 2. Ungleichungen 8 3. Reelle Funktionen 14 4. Exponential- und Logarithmusfunktionen 25 5. Winkelfunktionen 31 6. Ergänzungen zu Funktionen 35 7. Folgen 38 8. Reihen 41 9. Vektoren in R3 50 10. Geraden und Ebenen im Raum 65 11. Vektoren in Rn 78 12. Beschreibende Statistik 80 13. Wahrscheinlichkeiten 93 Wo findet man was? 95 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
4 LeRnz iele und GRundkOmpetenzen Inhaltsbereich „Algebra und Geometrie“ Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit WuRzeln und POtenzen G 1 . 01 Eingabe von Wurzeln und Potenzen Berechne näherungsweise a) 9_ 7, b) 3 9_ 5, c) 5 9__ 17! LösunG: Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Für die Berechnung der n-ten Wurzel mit n > 3 gibt es keinen eigenen Befehl in GeoGebra. Man kann aber die Definition einer Potenz mit rationalem Exponenten nutzen: n 9_ a= a 1 _ n . Wie man Potenzen eingibt, wurde bereits im Technologietraining zu Mathematik verstehen 5 gezeigt. So lässt sich die n-te Wurzel leicht bestimmen: cAS/Werkzeugleiste: Gib sqrt(7) ein und bestätige die Eingabe mit dem Werkzeug „Berechne symbolisch“ ! Der Ausdruck wird zwar korrekt, aber (da eine genaue Berechnung nicht möglich ist) nicht in seiner Dezimaldarstellung ausgegeben. 1 2 3 4 cAS/Werkzeugleiste: Auch für die Berechnung der dritten Wurzel existiert ein eigener Befehl. Gib cbrt(5) ein und bestätige die Eingabe mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! 1 2 3 4 cAS/Werkzeugleiste: Gib wieder sqrt(7) ein und bestätige die Eingabe diesmal mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! Es wird ein Näherungswert ausgegeben. 1 2 3 4 cAS/Werkzeugleiste: Gib 17^(1/5) ein und bestätige die Eingabe mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! 1 2 3 4 1 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 1 POtenzen, WuRzeln und LOGaRi thmen G 1 . 02 Bestimme näherungsweise die Quadratwurzel, dritte Wurzel und fünfte Wurzel der Zahl 833! Überlege zuvor, welche der berechneten Wurzeln die kleinste Zahl ergibt! WuRzelGleichunGen G 1 . 03 Lösen von Wurzelgleichungen Ermittle, für welche x * R 9____ 2x – 4– 2 = 0 gilt! LösunG: Zur Lösung von Wurzelgleichungen kann man die schon aus dem Technologietraining zu Mathematik verstehen 5 bekannten Verfahren verwenden. Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Wie bereits im Schulbuch Mathematik verstehen 6 gezeigt, ist es bei Wurzelgleichungen unerlässlich, die Probe zu machen! Diese lässt sich auch mit GeoGebra durchführen: Bei einfachen Gleichungen ist es aber meist schneller, die Probe auf dem Papier zu machen. G 1 . 04 Gibt es ein x * R, für welches 9___ x – 2– 2 = 0 gilt? G 1 . 05 Überlege ohne zu rechnen, ob es ein x * R geben kann, für welches 9___ x + 2+ 2 = 0 gilt! Überprüfe die Vermutung mit GeoGebra! cAS/Werkzeugleiste: Gib die Gleichung ein und wähle das Werkzeug „Löse“ ! 1 2 3 cAS: Alternativ kann man auch den Befehl „Löse“ verwenden. Gib dazu Löse(sqrt(2x – 4) – 2 = 0) ein! 1 2 3 cAS: Um zwei Terme zu vergleichen (zum Beispiel für die Probe die linke und rechte Seite einer Gleichung) verwendet man in GeoGebra das Symbol „= =“. Setze also den eben berechneten Wert für x in die Gleichung ein und mache die Probe! Gib dazu sqrt(2 * 4 – 4) – 2 = = 0 ein! Das Ergebnis ist „true“, x = 4 damit eine Lösung. 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 1 POtenzen, WuRzeln und LOGaRi thmen teRme mit WuRzeln G 1 . 06 Vereinfachen von termen mit Wurzeln, teilweises Wurzelziehen Vereinfache die folgenden Terme durch teilweises Wurzelziehen: a) 9 __ 18, b) 9 ___ 64x 3 LösunG: Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! Diese Methode hat natürlich den Nachteil, dass man nicht genau weiß, welche Vereinfachungen durchgeführt werden. In jenen Fällen, in denen man an einem möglichst einfachen Term interessiert ist und weniger an den genauen Umformungsschritten, ist „Vereinfache“ aber meist eine gute Wahl. G 1 . 07 Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen auf dem Papier den Term 9 ___ x 3 y – 2· 9 ___ x 5 y 3 ! Verwende dann den Befehl „Vereinfache“ in GeoGebra und vergleiche die Ergebnisse! LOGaRithmen G 1 . 08 Eingabe von Logarithmen Berechne die folgenden Logarithmen: a) 3log200, b) 2log110, c) 10log458, d) ln50, e) 3log9 LösunG: Da die Logarithmen zur Basis 2 und 10 sowie der natürliche Logarithmus (zur Basis e) häufig vorkommen, gibt es dafür in GeoGebra eigene Befehle, die hier – neben dem allgemeinen Befehl für die Berechnung des Logarithmus zu einer Basis a – ebenfalls gezeigt werden. Öffne die CAS-Ansicht und folge den Anweisungen! cAS: Gib Vereinfache(sqrt(64x^3)) ein! Bei Termen mit Variablen wird ebenfalls so weit wie möglich vereinfacht. 1 2 cAS: In GeoGebra gibt es keinen eigenen Befehl zum teilweisen Wurzelziehen. Mit Hilfe des Befehls „Vereinfache“ lässt sich aber oft ein gutes Ergebnis erzielen. Gib Vereinfache(sqrt(18)) ein! 1 2 cAS/Werkzeugleiste: Für den natürlichen Logarithmus wird die übliche Abkürzung „ln“ verwendet. Gib ln(50) ein und bestätige wieder mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! 1 2 3 4 5 6 cAS/Werkzeugleiste: Um den Zehnerlogarithmus von 458 zu berechnen, gib lg(458) ein und bestätige wieder mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! 1 2 3 4 5 6 cAS/Werkzeugleiste: Um den Logarithmus von 110 zur Basis 2 zu berechnen, gib ld(110) ein und bestätige mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! Selbstverständlich würde log(2,110) zum gleichen Ergebnis führen. 1 2 3 4 5 6 cAS/Werkzeugleiste: Allgemein lässt sich der Logarithmus von b zur Basis a mit Hilfe des Befehls log(a,b) berechnen. Gib log(3,200) ein und bestätige mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! 1 2 3 4 5 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv
7 1 POtenzen, WuRzeln und LOGaRi thmen Bei den bisher vorgeführten Teilaufgaben a) bis d) wurde die Eingabe im CAS immer mit „Berechne numerisch“ bestätigt. Dies ist auch sinnvoll, da es sich nur um eine näherungsweise Berechnung handelt (die exakten Ergebnisse sind irrationale Zahlen). Teilaufgabe e) würde aber eine exakte Berechnung erlauben: 3log9 ergibt 2. Versucht man aber in GeoGebra diese Eingabe mit „Berechne symbolisch“ zu bestätigen, ist man möglicherweise überrascht: ExpOnentialGleichunGen G 1 . 09 Lösen von Exponentialgleichungen Ermittle näherungsweise jenes x * R, für welches 3 x= 7 gilt. LösunG: Öffne die CAS-Ansicht und folge der Anweisung! OO Aufgaben aus dem Schulbuch mathematik verstehen 6 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 1 . 57, 1 . 67 – 1 . 70 , 1 . 84 – 1 . 86 , 1 .109 , 1 .111 , 1 .115 cAS/Werkzeugleiste: Gib wieder log(3,9) ein und bestätige diesmal mit dem Werkzeug „Berechne numerisch“ ! Das Ergebnis ist wie erwartet 2 (das Symbol ≈ für „ungefähr“ oder „gerundet“ ist allerdings nicht ganz zutreffend, da das Ergebnis ja exakt 2 ist). 1 2 3 4 5 6 cAS/Werkzeugleiste: Gib log(3,9) ein und bestätige mit dem Werkzeug „Berechne symbolisch“ ! Man sieht, dass GeoGebra alle LogarithmusBerechnungen auf die Berechnung des natürlichen Logarithmus zurückführt. 1 2 3 4 5 6 cAS: Verwende den schon bekannten Befehl „Löse“, um die Exponentialgleichung zu lösen. Gib dazu Löse(3^x = 7) ein und bestätige mit ! 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 LeRnz iele und GRundkOmpetenzen Inhaltsbereich „Algebra und Geometrie“ Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können LineaRe UnGleichunGen Im CAS von GeoGebra können Ungleichungen per Knopfdruck gelöst werden. Das soll in diesem Abschnitt erklärt werden. Außerdem kann man durch eine geschickte grafische Darstellung die Lösungsmenge einer Ungleichung im Grafikfenster veranschaulichen. G 2 . 01 Lösen einer linearen Ungleichung Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung 3·(4 x – 3) < 15 und veranschauliche sie im Grafikfenster! LösunG: Öffne zunächst das CAS-Fenster in GeoGebra und folge den Anweisungen! Um die Lösungsmenge grafisch darzustellen, öffne zuerst das Grafikfenster! Es gibt nun zwei verschiedene Möglichkeiten: 1. Möglichkeit: Veranschaulichen der Lösungsmenge im Grafikfenster 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cAS: Gib die Ungleichung 3 * (4x – 3) < 15 ein! Werkzeugleiste/cAS: Wähle das Werkzeug „Löse“ ! Die Lösung der Ungleichung wird sofort im CAS angezeigt. Grafik: Im Grafikfenster wird eine Halbebene farblich markiert. Nachdem eine Ungleichung in nur einer Variablen vorliegt, kann man die Lösungsmenge an der 1. Achse erkennen: L = (‒ •; 2) Eingabe: Gib die Ungleichung 3 * (4x – 3) < 15 ein! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Ungleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 2 UnGleichunGen 2. Möglichkeit: Umformen der Ungleichung und Zeichnen eines entsprechenden Funktionsgraphen Forme zunächst die Ungleichung händisch so um, dass auf der rechten Seite Null steht: 3·(4 x – 3) – 15 < 0 Betrachte nun jene Funktion f, die als Funktionsterm den Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung hat, also f(x) = 3·(4 x – 3) – 15 . Alternativ könnte man diese 2. Möglichkeit auch etwas abwandeln: Statt die Ungleichung zu Beginn umzuformen, kann man den Graphen der Funktion g mit dem Funktionsterm g(x) = 3·(4 x – 3) zeichnen und danach alle Stellen suchen, an denen g einen Funktionswert kleiner als 15 hat. Grafik: Wir visualisieren nun noch die Lösungsmenge etwas deutlicher. Schneide zunächst den Funktionsgraphen von f mit der 1. Achse! Es wird der Punkt (2 1 0) eingezeichnet. Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Strahl“ und zeichne einen Strahl mit Startpunkt (2 1 0) in Richtung der negativen 1. Achse! Klicke dazu zunächst auf den Punkt (2 1 0) und danach zum Beispiel auf den Punkt (‒3 1 0)! Grafik: Im Grafikfenster erscheint der Funktionsgraph von f. Die gesuchte Lösungsmenge ist nun die Menge aller Stellen auf der 1. Achse, denen ein negativer Funktionswert zugeordnet wird. Eingabe: Gib den Ausdruck 3(4x – 3) – 15 ein! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grafik: Ändere die Farbe des Strahls und benenne ihn in L um! Blende den Punkt B und die Beschriftung des Punktes A aus! Verändere die Punktdarstellung von A, um deutlich zu machen, dass 2 nicht zu L gehört! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 2 UnGleichunGen Hinweis: Bei der Ermittlung der Lösungsmenge im CAS wurde das Werkzeug „Löse“ verwendet. Bewegt man den Mauszeiger über dieses Werkzeug, erscheint ein kurzer Beschreibungstext in einem gelben Kasten. Dieser Text „Löst Gleichung(en) exakt“ ist etwas missverständlich. Das Werkzeug dient nämlich nicht nur dazu, Gleichungen zu lösen. In Aufgabe G 2.01 sieht man, dass es auch für Ungleichungen funktioniert! UnGleichunGsketten G 2 . 02 Lösen einer Ungleichungskette Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichungskette 4 – 2x < 3·(8x – 2) ª 17x und veranschauliche sie grafisch! LösunG: Öffne das CAS-Fenster und folge den Anweisungen! Für die grafische Darstellung der Lösungsmenge beschränken wir uns auf die erste Möglichkeit von Aufgabe G 2.01. Wechsle dazu ins Algebra- bzw. Grafikfenster von GeoGebra! OO Aufgaben aus dem Schulbuch mathematik verstehen 6 Die in den Aufgaben G 2.01 und G 2.02 erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra und veranschauliche jeweils die Lösungsmenge grafisch: 2 . 02 – 2 . 06 , 2 . 08 – 2 .10 , 2 .14 – 2 . 20 cAS: Gib die Ungleichungskette 4 – 2x < 3(8x – 2) ª 17x in die erste Zeile ein! Wähle dazu das KleinerGleich-Zeichen im Menü aus, das sich bei einem Klick auf das Symbol öffnet! Alternativ kann man auch <= eingeben. Werkzeugleiste/cAS: Klicke auf das Werkzeug „Löse“ ! Die Lösungsmenge wird im CAS angezeigt. 1 2 3 4 1 2 3 4 Grafik: Die strichlierte Linie zeigt an, dass 5 _ 13 nicht zur Lösungsmenge gehört! Eingabe: Gib die Ungleichungskette 4 – 2x < 3(8x – 2) ª 17x ein! 1 2 3 4 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 2 UnGleichunGen BRuchunGleichunGen G 2 . 03 Lösen einer Bruchungleichung Ermittle die Lösungsmenge der Bruchungleichung x – 7 _ x + 5< ‒ 2 und veranschauliche sie grafisch! LösunG: Bei Bruchungleichungen, bei denen die Unbekannte x im Nenner auftaucht, muss man beim Lösen auf dem Papier stets überlegen, für welche Werte der Bruch überhaupt definiert ist. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Definitionsmenge eines Terms. Die Definitionsmenge von x – 7 _ x + 5ist R\{‒ 5}. Nur Werte dieser Menge kommen als Lösungen in Frage. Diese Überlegung kann man sich bei der Arbeit mit GeoGebra ersparen, das Programm achtet bei der Lösung automatisch auf dieses Detail. Bei der grafischen Darstellung bereitet die erste Lösungsmöglichkeit aus Aufgabe G 2.01 leider Schwierigkeiten. Gibt man die Ungleichung x – 7 _ x + 5< ‒ 2 in die Eingabezeile des Grafikfensters ein, so interpretiert GeoGebra dies als Funktion, zeichnet aber keinen Funktionsgraphen ins Grafikfenster. Wir müssen daher diesmal mit der zweiten Möglichkeit arbeiten und formen die Ungleichung um zu x – 7 _ x + 5+ 2 < 0. Wechsle nun ins Algebra- bzw. Grafikfenster von GeoGebra! G 2 . 04 Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichung 4 + † ‒ 2x + 5 †< 7 und veranschauliche sie auf der Zahlengeraden analog zur Aufgabe G 2.03! OO Aufgaben aus dem Schulbuch mathematik verstehen 6 Die in den Aufgaben G 2.03 und G 2.04 erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra und veranschauliche jeweils die Lösungsmenge grafisch: 2 . 22 – 2 . 23 cAS/Werkzeugleiste: Gib die Ungleichung (x – 7)/(x + 5) < ‒2 ein und löse sie mit Hilfe des Werkzeugs „Löse“ ! 1 2 3 Eingabe: Gib den Funktionsterm (x – 7)/(x + 5) + 2 ein! Zeichne danach eine strichlierte Hilfslinie durch die Eingabe x = ‒5 ein! Man erkennt am Funktionsgraphen, dass die Funktion f im Intervall (‒5; ‒1) negative Funktionswerte hat. Grafik: Markiere die Lösungsmenge (‒5; ‒1) durch Zeichnen einer Strecke zwischen den Punkten (‒5 1 0) und (‒1 1 0)! Formatiere die beiden Endpunkte der Strecke so, dass erkennbar wird, dass ‒5 und ‒1 nicht zur Lösungsmenge gehören! 1 2 3 1 2 3 Nu zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 2 UnGleichunGen LineaRe UnGleichunGen mit PaRameteRn Leider kann GeoGebra lineare Ungleichungen mit Parametern wie in Aufgabe 2.27 aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 6 nicht zuverlässig lösen. Gibt man im CAS beispielsweise Löse((3 – a * x)/2 < 1, x) ein, würde man erwarten, dass GeoGebra die Ungleichung per Fallunterscheidung je nach Wert von a löst (siehe dazu die entsprechende Lösung im Schulbuch). Allerdings liefert das Programm als Ausgabe die leere Menge, was nur für den Fall a = 0 stimmt. Bei solchen Aufgaben bleibt also nichts anderes übrig, als sie per Fallunterscheidung auf dem Papier oder mit Hilfe eines Schiebereglers wie in Aufgabe G 2.05 zu lösen. G 2 . 05 Lege im Grafikfenster von GeoGebra einen Schieberegler für den Parameter a an und gib danach die Ungleichung 3 – ax _ 2 < 1 in die Eingabezeile ein! Wie verändert sich die angezeigte Lösungsmenge der Ungleichung, wenn der Wert von a mit dem Schieberegler verändert wird? QuadRatische UnGleichunGen Die Lösungsmenge einer quadratischen Ungleichung lässt sich in GeoGebra wieder durch beide Möglichkeiten aus Aufgabe G 2.01 veranschaulichen. Um Abbildungen wie im Schulbuch auf der Seite 36 zu erzeugen, verfolgen wir die zweite Möglichkeit. G 2 . 06 Lösen einer quadratischen Ungleichung Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung x2 – 3x – 10 > 0 und veranschauliche sie auf der Zahlengeraden! LösunG: Beginne zunächst im CAS-Fenster! cAS/Werkzeugleiste: Gib die Ungleichung x^2 – 3x – 10 > 0 ein und löse sie mit Hilfe des Werkzeugs „Löse“ ! 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 2 UnGleichunGen Wechsle für die grafische Darstellung der Lösungsmenge ins Algebra- bzw. Grafikfenster! G 2 . 07 Veranschauliche die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung x2 – 3x – 10 > 0 durch Eintragen der Ungleichung in die Eingabezeile! Wie ist das im Grafikfenster erscheinende Ergebnis zu interpretieren? G 2 . 08 Löse die folgende quadratische Ungleichung und veranschauliche die Lösungsmenge grafisch (in GeoGebra)! a) x2 – 9x + 8 < 0 c) ‒ 2x2 – 3x + 14 ª 14 e) 16x2 + 21 º 40x b) 2x2 – 6x º 8 d) ‒ x2 > 3x f) x2 – 5 _ 6 x + 1 _ 3< 0 LineaRe UnGleichunGen in zwei VaRiablen G 2 . 09 Lösen einer Ungleichung in zwei Variablen Stelle die Lösungsmenge der Ungleichung 3x – 4y > 2 mit x, y * ℝ grafisch dar! LösunG: Öffne das Algebra- und das Grafikfenster! OO Aufgaben aus dem Schulbuch mathematik verstehen 6 Die in den Aufgaben G 2.06, G 2.07, G 2.08 und G 2.09 erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra und veranschauliche die Lösungsmenge grafisch: 2 . 30 , 2 . 31 , 2 . 34 Grafik: Markiere die Lösungsmenge (‒ •; ‒2) ± (5; •) durch Zeichnen jeweils eines Strahls ausgehend von (‒2 1 0) nach links bzw. ausgehend von (5 1 0) nach rechts! Formatiere die beiden Punkte so, dass erkennbar wird, dass ‒2 und 5 nicht zur Lösungsmenge gehören! 1 2 3 Eingabe/Grafik/Eigenschaften: Gib den Funktionsterm x^2 – 3x – 10 ein! Skaliere die Achsen so, dass man die Parabel gut sehen und ihre Nullstellen ablesen kann! Man erkennt am Funktionsgraphen, dass die Funktion f in den Intervallen (‒ •; ‒2) und (5; •) positive Funktionswerte hat. 1 2 3 Grafik: Im Grafikfenster erscheint die Lösungsmenge als Halbebene. Die Punkte auf der Geraden gehören nicht mehr zur Lösungsmenge. 1 2 Eingabe: Gib die Ungleichung 3x – 4y > 2 ein! 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 LeRnz iele und GRundkOmpetenzen Inhaltsbereich „Funktionale Abhängigkeiten“ Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können Inhaltsbereich „Analysis“ Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können FunktiOnsGRaphen auf mOnOtOnie unteRsuchen G 3 . 01 monotonie von Graphen Überprüfe anhand des Graphen, dass die Funktion f mit f(x) = ‒ 0,25 x 3 + 2,25 x 2– 6 x + 6,5 im Intervall [2; 4] monoton steigend ist! LösunG: Eine „Überprüfung anhand des Graphen“ ist natürlich keine exakte Berechnung, aber sie kann dennoch wertvolle Hinweise auf das Verhalten einer Funktion liefern. Wir führen zwei Methoden vor: Methode 1: Um deutlicher zum Ausdruck zu bringen, dass die Monotonie von f im Intervall [2; 4] überprüft wird, gib in die Eingabezeile Strecke((2,0), (4,0)) ein! GeoGebra zeichnet das Intervall [2; 4] als Strecke entlang der 1. Achse. Um sie besser sichtbar zu machen, öffne mit Rechtsklick ihren Eigenschaften-Dialog, vergrößere ihre Linienstärke und gib ihr eine schöne Farbe (im obigen Screenshot rot)! Im Algebrafenster wird die Länge der Strecke (oben g genannt) angezeigt. Eingabe: Gib f(x) = –0.25x^3 + 2.25x^2 – 6x + 6.5 ein! 1 2 3 4 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Bewege“ (Zugmodus) und verschiebe den Punkt A entlang des Graphen! 1 2 3 4 Grafik/Algebra: Zu jeder aktuell gewählten Position des Punktes A am Graphen können im Algebrafenster seine Koordinaten (x 1 f(x)) abgelesen werden. Wird A im Bereich 2 ª x ª 4 in die positive x-Richtung bewegt, so wachsen die Funktionswerte! (Der ansteigende Teil des Graphen wird natürlich auch erkannt, ohne den Punkt A zu zeichnen. Dieser dient vor allem zur Kontrolle der x-Werte, die im Intervall 2 ª x ª 4 liegen müssen). 1 2 3 4 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Punkt“ und klicke genau auf den Graphen der Funktion f! GeoGebra zeichnet einen Punkt (und nennt ihn A), der im Zugmodus entlang des Graphen bewegt werden kann. 1 2 3 4 3 Reelle Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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Mathematik verstehen OS GGb Technologie 6 Schulbuchnummer 175238 ISBN 978-3-209-09579-4 www.oebv.at • Das Technologietraining vermittelt Fertigkeiten für den Einsatz von GeoGebra. • Zahlreiche Screenshots und punktgenaue Erklärungen zu konkreten Aufgaben ermöglichen die einzelnen Schritte rasch nachzuvollziehen. • Das Verständnis der Inhalte aus dem Schulbuch wird durch den Technologieeinsatz optimal unterstützt. • Zusätzliche Aufgaben für die unterschiedlichsten Anwendungen der Technologie stehen zur Verfügung. ISBN 978-3-209-09579-4
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