56 7 L ineare Funkt ionen Vergleich linearer Funktionen G 7.12 Kostenfunktionen Eine Firma produziert ein chemisches Reinigungsmittel, das in der Herstellung 3€ pro Liter Flüssigkeit kostet. Die monatlichen Fixkosten betragen 3000€. Beim Verkauf von einem Liter dieser Flüssigkeit ergibt sich ein Erlös von 9€. Wie viel Liter dieser Flüssigkeit müssen verkauft werden, damit der Erlös die Kosten übersteigt? Löse grafisch mit Hilfe linearer Funktionen! Zeichne dazu die einzelnen Graphen der Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion ein! Lösung: Wir erstellen aufgrund der Angabe die Termdarstellung der Erlösfunktion E mit E(x) = 9x und der Kostenfunktion K mit K(x) = 3000 + 3x, wobei x für die Menge des Reinigungsmittels in Litern steht. Wir ermitteln mit GeoGebra jenen Punkt, in dem sich Erlösfunktion und Kostenfunktion schneiden. Die erste Koordinate dieses Punkts gibt jene Menge in Litern an, bei der der Erlös pro Liter gleich den Kosten pro Liter ist. Wir zeichnen diesen Punkt in das Koordinatensystem ein. Gestalte zur besseren Übersicht die Objekte im Grafikfenster farblich und blende das Koordinatengitter ein! Algebra: Gib in die Eingabezeile die Erlösfunktion E(x)=Funktion[9x,0,•] und die Kostenfunktion K(x)=Funktion[3000+3x,0,•] ein! Achte darauf, dass der Startwert 0 ist und der Endwert mit • festgelegt wird, sodass der Graph der beiden Funktionen nur für nicht negative Argumente erscheint, denn für negative Argumente ergibt diese Funktion in unserem Modell keinen Sinn! (Für das Zeichen •, klicke auf das Tastatursymbol und anschließend auf ! Klicke in dieser Ansicht auf und wähle das gewünschte Zeichen aus!) 1 2 3 4 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Schneide“ und klicke anschließend den Graphen der Erlösfunktion und den Graphen der Kostenfunktion an! GeoGebra zeichnet den Schnittpunkt und nennt ihn A. 1 2 3 4 Algebra: Lies die x-Koordinate des Punktes A ab! Es müssen also mehr als 500 ® produziert werden, damit der Erlös die Produktionskosten übersteigt. 1 2 3 4 Algebra: Gib für das Zeichnen des Graphen der Gewinnfunktion G(x) = E(x)–K(x) in die Eingabezeile ein! 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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