Mathematik verstehen 8, Maturatraining

98 5 Aufgaben 5 . 05 Veränderungen einer Datenliste Gegeben ist eine Datenliste x 1 , x 2 , …, x n mit dem arithmetischen Mittel (Mittelwert) _ x, der empirischen Varianz s x 2 und der empirischen Standardabweichung s x . Die Datenliste wird verschiedenen Veränderungen unterworfen, wodurch jeweils eine neue Datenliste y 1 , y 2 , …, y n mit dem arithmetischen Mittel (Mittelwert) _ y, der empirischen Varianz s y 2 und der empirischen Standardabweichung s y entsteht. Aufgabenstellung: a) 1) Jeder Wert der Datenliste wird um c * R + erhöht. Zeigen Sie mit Hilfe der Definitionen des Mittel- werts, der empirischen Varianz und der empirischen Standardabweichung, dass _ y= _ x+ c, s y 2 = s x 2 und s y = s x ! 2) Jeder Wert der Datenliste wird mit c * R + multipliziert. Zeigen Sie mit Hilfe der Definitionen des Mittelwerts, der empirischen Varianz und der empirischen Standardabweichung, dass _ y= c · _ x, s y 2 = c 2 · s x 2 und s y = c · s x ! b) 1) Die gegebene Datenliste wird um zwei zusätzliche Werte x n + 1 = _ x– c und x n + 2 = _ x+ c (mit c * R + ) erweitert. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition für den Mittelwert, dass _ y= _ x! 2) Überprüfen Sie, ob dabei auch die empirische Standardabweichung s x unverändert bleibt, indem Sie in die Datenliste 1, 3, 5 die Werte 2 und 4 einfügen! c) Es sei das Minimum min der kleinste Wert, q 1 das 1. Quartil, q 2 der Median, q 3 das 3. Quartil und das Maximum max der größte Wert der gegebenen Datenliste. Weiters sei m der Modus, _ xder Mittelwert, s x 2 die empirische Varianz, s x die empirische Standardabweichung, q 3 – q 1 der Quartilsabstand und (max – min) die Spannweite der Datenliste. Jeder Wert der Datenliste wird um c * R + vermindert. 1) Ermitteln Sie, welche der genannten Kennzahlen bei dieser Veränderung unverändert bleiben! 2) Führen Sie an, welche Kennzahlen sich um c vermindern! 5 . 06 Dreieck Gegeben sind ein Dreieck ABC sowie die Punkte A 1 = B + _ À AC, B 1 = A + _ À BCund C 1 = A + _ À CB. Aufgabenstellung: a) 1) Stellen Sie mithilfe der Punkte A, B und C die Vektoren _ À A 1 B 1 , _ À B 1 C 1 und _ À C 1 A 1 auf! 2) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Seiten der Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 paarweise zueinander parallel sind! b) 1) Zeigen Sie rechnerisch, dass A, B und C die Seitenmittelpunkte des Dreiecks A 1 B 1 C 1 sind! 2) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 denselben Schwerpunkt S besitzen! 5 . 07 Rechteck Gegeben ist das nebenstehend abgebildete Rechteck ABCD. Der Punkt E teilt die Seite BC im Verhältnis 2 : 1, der Punkt F teilt die Seite DC im Verhältnis 2 : 3. Aufgabenstellung: a) 1) Drücken Sie den Punkt E durch A, B und D aus! 2) Drücken Sie den Punkt F durch A, B und D aus! b) Man kennt die Eckpunktkoordinaten A = (0 1 0), B = (a 1 0) und D = (0 1 b). 1) Geben Sie die Koordinaten der Punkte C, E und F an und ermitteln Sie jeweils eine Parameterdarstellung der Geraden g 1 = AE, g 2 = AF und g 3 = BD sowie die Koordinaten der Schnittpunkte G und H! 2) Ermitteln Sie ein Seitenlängenverhältnis a : b, sodass die Geraden g 2 und g 3 normal zueinander stehen! WS-R 1 . 3 WS-R 1 . 4 AG-R 3 . 2 AG-R 3 . 3 D F C H E G A B AG-R 3 . 2 AG-R 3 . 3 AG-R 3 . 4 AG-R 3 . 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv