Mathematik verstehen 8, Maturatraining

96 5 Aufgaben 5 . 02 Seifenkistenrennen Zwei Seifenkistenautos A und B stehen beim Start am oberen Rand einer schiefen Ebene. Beide Autos sollten gleichzeitig zum Beginn der Zeitmessung (t = 0) starten. Leider hat der Lenker des Autos B zu Beginn Schwierigkeiten und startet etwas später. Die Geschwindigkeiten der beiden Autos lassen sich näherungsweise durch folgende Gleichungen beschreiben (t in Sekunden, v(t) in m/s): v A (t) = 0,08· t (für 0 ª t ª 50) und v B (t) = 0,1 · t – 0,5 (für 5 ª t ª 50) Aufgabenstellung: a) Gegeben ist das nachstehende Koordinatensystem. 1) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen v A und v B in das Koordinatensystem ein! 2) Ermitteln Sie anhand der beiden Funktionsgraphen, wie viele Sekunden nach dem Start des Autos A die beiden Autos die gleiche Geschwindigkeit haben, und entscheiden Sie, ob das Auto B zu diesem Zeitpunkt das Auto A bereits eingeholt hat! Begründen Sie die Antwort! b) 1) Interpretieren Sie den Zeitpunkt t 0 in der Gleichung ​ : 0 ​ ​t​ 0 ​ ​ v​ A (​t)​dt = ​ : 5 ​ t​ ​ 0 ​ ​ v​ B (​t)​dt im Kontext! 2) Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen v A und v B und deuten Sie die Ergebnisse physikalisch! 5 . 03 Vase mit quadratischem Querschnitt Der Hohlraum einer Vase ist 20 cm hoch und sein Querschnitt ist in jeder Höhe ein Quadrat. Die Seitenlänge a(h) dieser Quadrate nimmt mit zunehmender Höhe h linear zu, beträgt am Vasenboden 10cm und am oberen Vasenrand 16 cm. Aufgabenstellung: a) Gegeben sind Abbildungen dreier Vasen. A B C 1) Geben Sie an, welche der drei Vasen A, B oder C die genannten Bedingungen erfüllen könnte, und begründen Sie, dass die beiden anderen dargestellten Vasen nicht in Frage kommen! 2) Zeigen Sie, dass für den Inhalt A(h) der Querschnittsfläche der Vase in der Höhe h gilt: A(h) = 0,09h 2 + 6h + 100 (cm 2 )! Stellen Sie fest, ob bei dieser Vase die Inhalte der quadratischen Querschnittsflächen linear mit steigender Höhe h zunehmen! Begründen Sie die Antwort! b) 1) Berechnen Sie, in welcher Höhe h (in Zentimeter) der Inhalt der Querschnittsfläche 169 cm 2 beträgt und wie groß die Änderungsrate der Funktion A in dieser Höhe ist! 2) Berechnen Sie, wie viel Liter Wasser in die Vase gegossen werden müssen, damit sich der Wasserspiegel 1 cm unter dem oberen Rand der Vase befindet! FA-R 1 . 6 FA-R 2 .1 FA-R 2 . 2 AN-R 1 . 3 AN-R 2 .1 AN-R 4 . 3 Zeit t (in s) Geschwindigkeit (in m/s) 10 20 30 40 50 1 2 3 4 5 0 AG-R 2 .1 FA-R 2 .1 AN-R 1 . 3 AN-R 2 .1 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv