Mathematik verstehen 8, Maturatraining

95 tyP 2 5 . 01 Temperaturverlauf Der folgende Temperaturverlauf wurde für die Dauer von 15 Stunden aufgezeichnet: Aufgabenstellung: a) Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass die Temperatur in den ersten zehn Stunden stets zugenommen hat. Man spricht von – progressiver Zunahme der Temperatur, wenn T’(t) > 0 und T’’(t) > 0 ist, – degressiver Zunahme der Temperatur, wenn T’(t) > 0 und T’’(t) < 0 ist. 1) Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt t 0 die progressive Zunahme der Temperatur in eine degressive Zunahme übergegangen ist! Geben Sie die Bezeichnung des Punktes (t 0 † T(t 0 )) in mathematischer Fachsprache an! 2) Interpretieren Sie die Ausdrücke T(5) – T(4), ​ T(10) – T(0) __ 10 ​und T’(12) unter Verwendung der korrekten mathematischen Begriffe! b) Der Verlauf der Temperatur kann näherungsweise durch eine Funktion T mit T(t) = at 3 + bt 2 + ct (a, b, c * R ) modelliert werden. Aus dem Graphen lassen sich einige Bedingungen ablesen, die für das Ermitteln der Koeffizienten a, b und c notwendig sind. 1) Vervollständigen Sie die drei Bedingungen mithilfe des Graphen der Funktion T: A: Nach fünf Stunden betrug die Temperatur °C. B: Nach fünf Stunden war die Zunahmegeschwindigkeit der Temperatur am . C: Nach zehn Stunden wurde die Temperatur erreicht. 2) Aus diesen Bedingungen ergeben sich die folgenden drei Gleichungen. Geben Sie für jede Gleichung an, zu welcher der Bedingungen A, B oder C sie gehört! 125a + 25b + 5c = 2 gehört zur Bedingung . 300a + 20b + c = 0 gehört zur Bedingung . 30a + 2b = 0 gehört zur Bedingung . c) 1) Zeigen Sie durch Rechnung, dass gilt: T(t) = ‒ 0,008t 3 + 0,12t 2 2) Zeigen Sie, dass die Funktion T in [0; 10] streng monoton steigend, in [10; 15] streng monoton fallend, in [0; 5] linksgekrümmt und in [5; 15] rechtsgekrümmt ist! AG-R 2 . 5 FA-R 1 . 7 FA-R 4 . 3 AN-R 1 .1 AN-R 1 . 3 AN-R 3 . 3 Zeit t (in h) Temperatur T (in °C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 0 T 5 Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv