Mathematik verstehen 8, Maturatraining

72 3 Analysis 3 . 58 Volumen eines Körpers A(z) gibt den Inhalt der Querschnittsfläche eines 4 cm hohen Körpers in der Höhe z (z * [0; 4]) an. Die Funktion z ¦ A(z) ist streng monoton fallend. Die Tabelle enthält einige Wertepaare dieser Funktion. z (in cm) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 A(z) (in cm 2 ) 10,0 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 Aufgabenstellung: Berechnen Sie mittels Unter- und Obersumme Schranken für das Volumen V des Körpers! ª V ª (cm 3 ) 3 . 59 Radrennen Bei einem Radrennen wird auf einem kurzen Streckenabschnitt die Geschwindigkeit v(t) eines Sportlers für t = 0, 1, 2, 3 und 4 gemessen (t in Sekunden). v(0) = 9,6m/s v(1) = 9,4m/s v(2) = 9,6m/s v(3) = 9,3m/s v(4) = 9,0m/s Zwischen den Messzeitpunkten wird ein streng monotoner Verlauf der Geschwindigkeit angenommen. Aufgabenstellung: Stellen Sie die Länge w(0; 4) des in diesen vier Sekunden zurückgelegten Streckenabschnitts durch ein Integral dar und geben Sie eine untere bzw. obere Schranke für w(0; 4) an! w(0; 4) = ª w(0; 4) ª (m) AN-R 4 . 2 Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, ∫k· f(x) dx, ∫f(k· x) dx (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten). Bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können. 3 . 60 Integralberechnungen Gegeben ist eine Funktion f: x ¦ f(x). Aufgabenstellung: Ordnen Sie jeder Termdarstellung von f das dazugehörige Integral (aus A bis F) zu! f(x) = cos(x) A : 1 e f(x) dx= 1 f(x) = sin(x) B : 0 1 f(x) dx= e – 1 f(x) = e x C : 0 π f(x) dx= 2 f(x) = 1 _ x D : 0 π f(x) dx= 0 E : 0 e f(x) dx= e F : 0 π f(x) dx= π 3 . 61 Ermitteln der Integrationsgrenzen Gegeben ist das bestimmte Integral : k 4k x dx. Aufgabenstellung: Ermitteln Sie, für welches k * R + dieses Integral gleich 15 ist! 3 . 62 Unbestimmtes Integral Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = x und g mit g(x) = 1 _ x . Aufgabenstellung: Ermitteln Sie : 2· f(x) dxund : g(x) dx! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv