Mathematik verstehen 8, Maturatraining

128 Lösungen 2) E ’(R) = k _ R w Δ E _ Δ R ≈ k _ R w Δ E ≈ k · Δ R _ R c) 1) (1) E(R) = k · ln 2 R _ R 0 3 w E’(R) = k _ R . Somit erfüllt E die Gleichung f’(R) = k _ R . (2) Sei umgekehrt f eine beliebige Lösung der Gleichung f’(R) = k _ R mit f(R 0 ) = 0. Dann gilt: f(R) = k · ln (R) + c. Aus f(R 0 ) = 0 folgt c = ‒ k · ln (R 0 ). Damit ergibt sich: f(R) = k · ln (R) – k · ln (R 0 ) = k · [ln(R) – ln(R 0 )] = k · ln 2 R _ R 0 3 . Somit ist f = E. 2) E(R·a) = k · ln 2 R·a _ R 0 3 = k · 4 ln 2 R _ R 0 3 + ln(a) 5 = k · ln 2 R _ R 0 3 + k · ln(a) = E(R) + c mit c = k · ln (a) Dabei ist wegen a > 1 und k > 0 die additive Konstante c positiv. 5 .14 a) 1) f k (x) = k · x · (x – 6) 2 = k · (x 3 – 12x 2 + 36x) f k ’(x) = k · (3x 2 – 24x + 36) = 3k · (x 2 – 8x + 12); f k ’’(x) = 3k · (2x – 8) = 6k · (x – 4) f k ’(x) = 0 É x = 2 = x = 6, f k ’’(2) = – 12k < 0 w H k = (2 1 32k), f k ’’(6) = 12k > 0 w T k = (6 1 0) f k ’’(x) = 0 É x = 4, f k ’’’(4) = 6k ≠ 0 w W k = (4 1 16k) 2) Es gilt: _ À H k W k = _ À W k T k = (2 1 ‒16k). DIe beiden Vektoren _ À H k W k und _ À W k T k sind gleich, daher liegen die Punkte H k , W k und T k auf einer Geraden. Steigung dieser Geraden = ‒ 16k _ 2 = ‒ 8k b) 1) A(k) = : 0 6 f k (x) dx= k · 2 x 4 _ 4 – 4x 3 + 18x 2 3 1 0 6 = 108k, A D (k) = 6·32k _ 2 = 96k 2) A D (k) : A(k) = 96k _ 108k = 8 _ 9 = 8 : 9 c) 1) H 0,25 = (2 1 8), T 0,25 = (6 1 0), W 0,25 = (4 1 4) 2) : 0 8 (f 0,25 (x) – x) dx = : 0 8 (0,25x 3 – 3x 2 + 8x) dx= 0 Geometrische Deutung: Die lineare Funktion g, deren Graph durch O = (0 1 0) und W 0,25 = (4 1 4) verläuft, hat die Termdarstellung g(x) = x. Die Schnittstellen der Graphen von f 0,25 und g lauten 0, 4 und 8. Die beiden Gra- phen schließen miteinander über [0; 4] das rote Flächenstück mit dem Inhalt A rot = : 0 4 [f 0,25 (x) – x] dxein, über [4; 8] schließen sie miteinander das blaue Flächenstück mit dem Inhalt A blau = ‒ : 4 8 [f 0,25 (x) – x] dxein. Aus = : 0 8 [f 0,25 (x) – x] dx= 0 folgt : 0 4 [f 0,25 (x) – x] dx+ : 4 8 [f 0,25 (x) – x] dx= 0. Daraus ergibt sich: : 0 4 [f 0,25 (x) – x] dx= ‒ : 4 8 [f 0,25 (x) – x] dx, also A rot = A blau . Das rote und das blaue Flächenstück haben denselben Flächeninhalt. x f 0,25 (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 30 – 20 – 10 0 H 0,25 O W 0,25 T 0,25 f 0,25 g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv