Mathematik verstehen 8, Maturatraining

127 Lösungen 2) Für t * [0; 40] gilt: h(t) = 0 É 2· sin 2 π _ 20 · t 3 + 1 = 0 É sin 2 π _ 20 · t 3 = ‒ 1 _ 2 É É π _ 20 · t = arcsin 2 ‒ 1 _ 2 3 + 2 π ≈ 5,760 = π _ 20 · t = π – arcsin 2 ‒ 1 _ 2 3 ≈ 3,665 É t ≈ 36,7 = t ≈ 23,3 Der Punkt P taucht nach ca. 23,3 Sekunden in das Wasser ein und nach ca. 36,7 Sekunden wieder aus dem Wasser auf. b) 1) h’(t) = 2· π _ 20 · cos 2 π _ 20 · t 3 = π _ 10 · cos 2 π _ 20 · t 3 , h’(5) = π _ 10 · cos 2 π _ 4 3 ≈ 0,22 (m/s) Nach 5 Sekunden nimmt die Höhe des Punktes P mit ca. 0,22m/s zu. 2) 6. Aussage 5 .12 a) 1) P(pos) = P((K ? pos) = (¬K ? pos)) = 0,02·0,95 + 0,98·0,025 = 0,0435 2) P(¬K ? neg) = 0,98·0,975 = 0,9555 b) 1) p os 1 K bedeutet: Das Testergebnis ist positiv, falls X die Krankheit hat. neg 1 ¬K bedeutet: Das Testergebnis ist negativ, falls X die Krankheit nicht hat. ((K ? pos) = (¬K ? neg)) bedeutet: X hat die Krankheit und das Testergebnis ist positiv oder X hat die Krankheit nicht und das Testergebnis ist negativ. Sensitivität: P(pos 1 K) = 0,95 = Wahrscheinlichkeit für zutreffende positive Testergebnisse = Wahr scheinlichkeit, tatsächlich kranke Personen als krank zu entdecken Spezifität: P(neg 1 ¬K) = 0,975 = Wahrscheinlichkeit für zutreffende negative Testergebnisse = Wahrschein - lichkeit, tatsächlich nicht kranke Personen als nicht krank zu entdecken Effizienz: P((K ? pos) = ( ¬K ? neg)) = 0,02·0,95 + 0,98·0,975 = 0,9745 = Wahrscheinlichkeit für zutreffende Testergebnisse = Wahrscheinlichkeit für die richtige Beurteilung in Hinblick auf das Vorliegen der Krankheit auf Grundlage des Tests. 2) c) 1) P (K 1 pos) = P(K) ·P(pos 1 K) ___ P(pos) = 0,02·0,95 ____ 0,02·0,95 + 0,98·0,025 ≈ 0,437 = 43,7% . 2) Dh. falls das Testergebnis positiv ist, hat die untersuchte Person die Krankheit also nur mit einer Wahr- scheinlichkeit von 43,7%. Anders formuliert: Eine Person, deren Testergebnis positiv ist, kann mit mehr als 56%-iger Wahrscheinlichkeit hoffen, nicht erkrankt zu sein. Dieser Umstand ist angesichts der hohen Werte für Sensitivität, Spezifität und Effizienz des Tests überraschend. 5 .13 a) 1) – E(R 0 ) = k · ln (1) = k ·0 = 0; R > R 0 w R _ R 0 > 1 w E(R) = k · ln 2 R _ R 0 3 > 0 – E’(R) = k · 1 _ R 0 ·  1 _ R _ R 0 = k _ R > 0 für R > R 0 w E ist streng monoton steigend in [R 0 ; • ). E’’(R) = – k _ R 2 < 0 für R > R 0 w E ist rechtsgekrümmt in [R 0 ; • ). 2) – Interpretation von R 0 : R 0 ist die kleinste Reizstärke, bei der eine Empfindung wahrnehmbar ist („Reizschwelle“). – Interpretation der Funktionseigenschaften von E: Mit zunehmender Reizstärke R nimmt die Empfindungs- stärke E zwar stets zu, E steigt aber immer schwächer. b) 1) Für ein konstantes Δ R > 0 gilt: Δ E = E(R + Δ R) – E(R) = k · ln 2 R + Δ R _ R 0 3 – k · ln 2 R _ R 0 3 = k · 4 ln 2 R + Δ R _ R 0 3 – ln 2 R _ R 0 3 5 = k · ln 2 R + Δ R _ R 0 _ R _ R 0 3 = k · ln 2 1 + Δ R _ R 3 Wegen k > 0 und ln 2 1 + Δ R _ R 3 > 0 ist Δ E > 0. Daher führt jeder Reizstärkenzuwachs zu einem Zuwachs der Empfindungsstärke. Wir untersuchen jetzt das Monotonieverhalten des Terms k· ln 2 1 + Δ R _ R 3 in Abhängigkeit von R: Für zunehmendes R nimmt der Wert des Ausdrucks 2 1 + Δ R _ R 3 ab. Weil die natürlichen Logarithmusfunk- tion streng monoton steigt und k > 0 ist, nimmt auch der Zuwachs der Empfindungsstärke Δ E = k · ln 2 1 + Δ R _ R 3 bei zunehmender Reizstärke R ab. K 0,95 0,02 0,98 0,05 0,025 0,975 ¬ K pos neg pos neg Testergebnis positiv Testergebnis negativ Summe Krankheit liegt vor 0,95·40 = 38 0,05·40 = 2 0,02·2000 = 40 Krankheit liegt nicht vor 0,025·1 960 = 49 0,975·1 960 = 1 911 0,98·2000 = 1 960 Summe 87 1 913 2000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv