Mathematik verstehen 8, Maturatraining

126 Lösungen 5 .10 a) 1) Die Tabelle muss richtig lauten: 2) K(x) = k · x + d. Aus K(200) = 40 und K(800) = 70 ergibt sich k = 0,05 und d = 30. Also gilt: K(x) = 0,05· x + 30 Interpretation von 0,05: Eine Produktionszunahme von 1ME bewirkt eine Produktionskostenzunahme von 0,05GE. Interpretation von 30: Auch wenn nicht produziert wird, fallen Fixkosten von 30GE an. Graph von K: siehe neben stehende Abbildung! b) 1) Der Graph von E liegt auf einer Ursprungsgeraden, daher ist E eine direkte Proportionalitätsfunktion mit der Termdarstel- lung E(x) = k · x. Aus der Abbildung entnimmt man zB E(1 000) = 90. Daraus ergibt sich: k ·1 000 = 90 w k = 0,09 w E(x) = 0,09· x. Deutung von 0,09: Jede Steigerung der verkauften Menge um 1ME erhöht den Erlös um 0,09GE. 2) 1. und 2. Aussage c) 1) grafisch: Schnittpunkt = (750 1 68). rechnerisch: K(x) = E(x) É 0,05x + 30 = 0,09x É x = 750; Schnittpunkt = (750 1 E(750)) = (750 1 67,5). 2) Werden monatlich 750ME produziert und auch verkauft, dann betragen die Produktionskosten und der Erlös 67,5GE und der erzielte Gewinn ist gleich 0. Die Produktionsmenge von 750ME ist die Gewinnschwelle (= Break-even-Menge) der Produktion. d) 1) G(x) = E(x) – K(x) = 0,09x – 0,05x – 30 = 0,04x – 30; Graph von G: siehe obige Abbildung. 2) Die Gewinnfunktion G: [0; 1 200] ¥ ℝ ist streng monoton steigend. Daher ist G(x) dann maximal, wenn die Produktionsmenge x möglichst groß ist. Das ist bei Produktion an der Kapazitätsobergrenze von 1 200ME der Fall. Der maximale monatliche Gewinn beträgt dann G(1 200) = 18GE. e) 1) _ K(x) gibt die Durchschnittskosten für die Produktion eines Stücks (einer Mengeneinheit) des Produkts an, wenn insgesamt x Stück (Mengeneinheiten) hergestellt werden. _ K(x) ist zu x nicht indirekt proportional, weil K(x) nicht konstant ist. 2) _ K(x) = 0,05· x + 30 __ x = 0,05 + 30 _ x w K’(x) = ‒ 30 _ x 2 < 0 für x > 0 w _ Kist streng monoton fallend für x > 0. _ Kist streng monoton fallend in ]0; 1 200] w _ K(x) ist am kleinsten für x = 1 200ME f) 1) G(x) = 0,04· x – 30 º ‒15 É x º 375. Die Mindestmenge beträgt 375ME. 2) Ist p der Preis pro ME, dann ist E(x) = p· x und G(x) = p· x – (0,05· x + 30) = (p – 0,05) · x – 30. Wir verkleinern nun den Preis p. Dadurch nimmt die Steigung von G ab, der Graph von G verläuft daher immer flacher und geht dabei stets durch den Punkt (0 1 ‒ 30). Dies bewirkt, dass die Nullstelle von G (die Gewinnschwelle) zu immer größeren Werten von x verschoben wird. Verkleinert man p solange bis die Gewinnschwelle die größtmögliche Produktionsmenge an der Kapazitätsobergrenze 1 200ME erreicht, dann erhält man den kleinsten Preis, bei dem gerade noch ohne Verlust produziert werden kann. Für diesen kleinsten Preis p muss also gelten: G(1 200) = (p – 0,05) ·1 200 – 30 = 0 É p = 0,075. Dh. die ChemAG kann, ohne mit Verlust zu arbeiten, ihr Produkt zum Niedrigstpreis von 0,075GE/ME anbieten, wenn sie monatlich 1 200ME produziert und auch verkauft. 5 .11 a) 1) Wir wählen das nebenstehend eingezeichnete Koordinaten- system. Der Punkt P befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 in der Position P0 und zum Zeitpunkt t in der Position P t = (2· cos(b· t) 1 2· sin(b· t) + 1). Somit ist h von der Form h(t) = 2· sin(b· t) + 1. Da der Punkt P in 40 s eine volle Umdrehung ausführt, ist b·40 = 2 π und somit b = π _ 20 . Damit erhält man h(t) = 2· sin 2 π _ 20 · t 3 + 1. Produktionsmenge x in (ME) 200 400 500 700 800 Produktionskosten K(x) in (GE) 40 50 55 65 70 x (in ME) E(x), K(x), G(x) (in ME) 200 400 600 800 1 0001 200 1400 20 40 60 80 100 120 – 40 – 20 0 E K G 2 · cos(b · t) 1 2 3 –1 –1 –2 1 2 1 3 0 y x 2 · sin(b · t) h(t) D P 0 P 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv