Mathematik verstehen 8, Maturatraining

125 Lösungen 5 . 07 a) 1) E = B + 2 _ 3 · _ À BC= B + 2 _ 3 · _ À AD= B + 2 _ 3 · (D – A), 2) F = D + 2 _ 5 · _ À DC= D + 2 _ 5 · _ À AB= D + 2 _ 5 · (B – A) b) 1) C = (a 1 b), E = 2 a 1 2b _ 3 3 , F = 2 2a _ 5 1 b 3 g 1 : X = A + r · _ À AE= r · 2 a 1 2b _ 3 3 , g 2 : X = A + s · _ À AF= s · 2 2a _ 5 1 b 3 , g 3 : X = B + t · _ À BD= (a 1 0) + t · (‒ a 1 b) G = 2 3a _ 5 1 2b _ 5 3 , H = 2 2a _ 7 1 5b _ 7 3 2) 2 2a _ 5 b  3 © 2 – a b  3 É 2 2a _ 5 b  3 · 2 – a b  3 = 0 É ‒ 2 _ 5 a 2 + b 2 = 0 É 2a 2 = 5b 2 É a 2 _ b 2 = 5 _ 2 w a : b = 9 _ 5: 9 _ 2 5 . 08 a) 1) h 180 (36) = 5 _ 180 , h 7622 (36) = 205 _ 7622 , 2) h 180 (36) – 1 _ 37 ≈ 0,00075, 1 _ 37 – h 7622 (36) ≈ 0,00013 In Abbildung 2 liegt die relative Häufigkeit von 36 näher bei 1 _ 37 . b) 1) Dies steht nicht im Widerspruch zum empirischen Gesetz der großen Zahlen. Es kommt nicht auf die absolu- ten Häufigkeiten, sondern die relativen Häufigkeiten an. h 180 (7) – h 180 (11) = 5 _ 180 – 4 _ 180 ≈ 0,00556, h 7622 (11) – h 7622 (7) = 225 _ 7622 – 205 _ 7622 ≈ 0,00262 In Abb. 2 unterscheiden sich die relativen Häufigkeiten von 7 und 11 weniger als in Abb. 1. 2) H 7622 (12) ≈ 233; H 7622 (18) ≈ 203 Der Trugschluss dürfte dadurch entstanden sein, dass der Stab bei 12 in der Abbildung doppelt so hoch erscheint wie der bei 18, aber nicht beachtet wurde, dass die Skala auf der 2. Achse nicht bei 0 beginnt. Der falsche Eindruck könnte vermieden werden, wenn man die Skala auf der 2. Achse bei 0 beginnen lässt. c) 1) P(Es kommt eine Zahl aus 12P) = 12 _ 37 . Falls eine solche Zahl kommt, wird das 36 _ 12 -fache, dh. das 3-fache des Einsatzes, also 30€ ausbezahlt. 2) Zur Berechnung des Gewinns legen wir folgende Tabelle an: Es kommt eine Zahl aus 12P Es kommt keine Zahl aus 12P Wahrscheinlichkeit 12 _ 37 25 _ 37 Auszahlungsbetrag 30 0 Gewinn 20 ‒10 E(Gewinn pro Drehung) = 20· 12 _ 37 – 10· 25 _ 37 = – 10 _ 37 ≈ ‒ 0,27. Wenn man sehr oft spielt, wird man also im Mittel pro Drehung ca. 0,27€ verlieren. Auf lange Sicht kann man damit nur verlieren. 5 . 09 a) 1) 2) M(A) = 0 É log 10 A = 0 É A = 1. Die Nullstelle von M liegt bei 1 μm = 0,001 mm. b) 1) Für 0 < A < 1 (μm) ist M(A) negativ. 2) M = log 10 A(M) É A(M) = 10 M ; A(M + 1) = 10 M + 1 = 10 M ·10 = A(M) ·10 c) 1) – log 10 E = 4,8 + 1,5·M É E = 10^4,8 + 1,5·M E(M) = 10 4,8 + 1,5·M = 10 4,8 ·10 1,5·M = 10 4,8 · (10 1,5 ) M ≈ 63095,73445·31,6227766 M , dh. c = 10 4,8 ≈ 63095,73445 und a = 10 1,5 ≈ 31,6227766 – c = 10 4,8 gibt die bei einem Erdbeben der Magnitude 0 frei gesetzte Energie in Joule an. Jede Zunahme der Magnitude um 1 erhöht die frei gesetzte Energie auf das a-Fache (10 1,5 -Fache). 2) E Fukushima __ E Hiroshima = 10 4,8 · (10 1,5 ) 9 ___ 13000·4,184·10 12 ≈ 36,7. Bezüglich der frei gesetzten Energie entsprechen also dem Fukushima-Beben ca. 36,7 Hiroshima-Bomben. A (in mm) M(A) 3,2 3,5 0,5 2,7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv