Mathematik verstehen 8, Maturatraining

124 Lösungen b) 1) A(h) = 0,09·h 2 + 6h + 100 = 169 w h = 10 A’(h) = 0,18·h + 6; A’(10) = 7,8 cm 2 /cm 2) Volumen, wenn sich der Wasserspiegel 1 cm unter dem oberen Vasenrand befindet = Volumen bis 19 cm Höhe = V(19) = : 0 19 A(h) dh= : 0 19 (0,09h 2 + 6h + 100) dh= 3188,77 cm 3 ≈ 3,19 Liter 5 . 04 a) 1) Der Graph von f 0 wird zuerst mit dem Faktor a normal zur 1. Achse gestreckt und anschließend um b parallel zur 2. Achse nach oben verschoben. 2) f 1 : a = 1, b = 0, z = 2, f 2 : a = ‒1, b = 1, z = 2, f 3 : a = 1, b = 0, z = ‒ 2, f 4 : a = 1, b = 1, z = ‒1 b) 1) f besitzt eine lokale Extremstelle für a * R *, b * R und z = 2, 4, 6, 8, … 2) Der Graph von f nähert sich asymptotisch der 2. Achse und ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse für a * R *, b * R und z = ‒ 2, ‒ 4, ‒ 6, ‒ 8, … c) 1) 3. und 4. Aussage 2) 5 . 05 a) 1) _ y= y 1 + … + y n __ n = (x 1 + c) + … + (x n + c) ___ n = x 1 + … + x n + n· c ___ n = x 1 + …+ x n __ n + c = _ x+ c s y 2 = (y 1 – _ y) 2 + … + (y n – _ y) 2 ____ n = (x 1 + c – _ x– c) 2 + … + (x n + c – _ x– c) 2 _____ n = (x 1 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 ____ n = s x 2 w s y = s x 2) _ y= y 1 + … + y n __ n = c x 1 + … + c x n __ n = c · x 1 + … + x n __ n = c · _ x s y 2 = (y 1 – _ y) 2 + … + (y n – _ y) 2 ____ n = (c x 1 – c · _ x) 2 + … + (c x n – c · _ x) 2 _____ n = c 2 · (x 1 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 ____ n = c 2 · s x 2 w s y = c · s x b) 1) _ y= x 1 + … + x n + x n + 1 + x n + 2 ____ n + 2 = n· _ x+ _ x– c + _ x+ c ___ n + 2 = (n + 2) · _ x __ n + 2 = _ x 2) Für die Datenliste 1, 3, 5 ergibt sich _ x= 3 und s x = 9 _ 8 _ 3 ≈ 1,63. Für die Datenliste 1, 2, 3, 4, 5 ergibt sich _ x= 3 und s x = 9 _ 2≈ 1,41. Der Mittelwert bleibt also gleich, die empirische Standardabweichung kann sich ändern. c) 1) Die empirische Varianz s x 2 , die empirische Standardabweichung s x , der Quartilsabstand und die Spannweite bleiben unverändert. 2) min, q 1 , q 2 , q 3 , max, m und _ xvermindern sich um c. 5 . 06 a) 1) _ À A 1 B 1 = (A + _ À BC) – (B + _ À AC) = (A + C – B) – (B + C – A) = A + C – B – B – C + A = 2·A – 2·B _ À B 1 C 1 = (A + _ À CB) – (A + _ À BC) = (A + B – C) – (A + C – B) = A + B – C – A – C + B = 2·B – 2·C _ À C 1 A 1 = (B + _ À AC) – (A + _ À CB) = (B + C – A) – (A + B – C) = B + C – A – A – B + C = 2·C – 2·A 2) _ À A 1 B 1 = 2·A – 2·B = 2· (A – B) = 2· _ À BA= (‒ 2) · _ À AB w _ À A 1 B 1 u _ À AB _ À B 1 C 1 = 2·B – 2·C = 2· (B – C) = 2· _ À CB= (‒ 2) · _ À BC w _ À B 1 C 1 u _ À BC _ À C 1 A 1 = 2·C – 2·A = 2· (C – A) = 2· _ À AC= (‒ 2) · _ À CA w _ À C 1 A 1 u _ À CA b) 1) Mittelpunkt der Seite A 1 B 1 = 1 _ 2 · (A 1 + B 1 ) = 1 _ 2 · (B + C – A + A + C – B) = 1 _ 2 ·2·C = C Mittelpunkt der Seite B 1 C 1 = 1 _ 2 · (B 1 + C 1 ) = 1 _ 2 · (A + C – B + A + B – C) = 1 _ 2 ·2·A = A Mittelpunkt der Seite C 1 A 1 = 1 _ 2 · (C 1 + A 1 ) = 1 _ 2 · (A + B – C + B + C – A) = 1 _ 2 ·2·B = B 2) S A 1 B 1 C 1 = 1 _ 3 · (A 1 + B 1 + C 1 ) = 1 _ 3 · (B + C – A + A + C – B + A + B – C) = 1 _ 3 · (A + B + C) = S ABC f(x) = 9 _ x D f(x) = 2· 9 _ x E f(x) = 2 _ 9 _ x A f(x) = ‒ 9 _ x C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv