Mathematik verstehen 8, Maturatraining

123 LÖsungen Typ 2 5 . 01 a) 1) Zum Zeitpunkt t 0 = 5. Der Punkt (5 1 2) ist ein Wendepunkt des Graphen der Funktion T. 2) T(5) – T(4) = absolute Änderung der Temperatur im Zeitintervall [4; 5] ​ T(10) – T(0) __ 10 ​= mittlere Änderungsrate der Temperatur im Zeitintervall [0; 10] T’(12) = (momentane) Änderungsrate zum Zeitpunkt 12 b) 1) A: Nach fünf Stunden betrug die Temperatur 2° C . B: Nach fünf Stunden war die Zunahmegeschwindigkeit der Temperatur am größten . C: Nach zehn Stunden wurde die maximale Temperatur erreicht. 2) 125a + 25b + 5c = 2 gehört zur Bedingung A 300a + 20b + c = 0 gehört zur Bedingung C 30a + 2b = 0 gehört zur Bedingung B c) 1) Die Lösung des Gleichungssystems in b) liefert a = ‒ 0,008, b = 0,12, c = 0 2) T(t) = ‒ 0,008t 3 + 0,12t 2 T’(t) = ‒ 0,024t 2 + 0,24t = 0,024t · (‒ t + 10); T’’(t) = ‒ 0,048t + 0,24 = 0,048t · (‒ t + 5) – Für 0 < t < 10: T’(t) = ‒ 0,024t · (‒ t + 10) > 0 w T ist streng monoton steigend in [0; 10]. – Für 10 < t < 15: T’(t) = ‒ 0,024t · (‒ t + 10) < 0 w T ist streng monoton fallend in [10; 15]. – Für 0 < t < 5: T’’(t) = 0,048· (‒ t + 5) > 0 w T ist linksgekrümmt in [0; 5]. – Für 5 < t < 15: T’’(t) = 0,048· (‒ t + 5) < 0 w T ist rechtsgekrümmt in [5; 15]. 5 . 02 a) 1) 2) –  Der Grafik entnimmt man: v A (25) = v B (25) w Zum Zeitpunkt t = 25 (s) haben beide Autos die gleiche Geschwindigkeit. –  Der vom Auto A bis zu Zeitpunkt t = 25 (s) zurückgelegte Weg w A (0; 25) kann als Inhalt der Fläche unter dem Graphen von v A in [0; 25] berechnet werden. Dh. w A (0; 25) = ​ 25·2 _ 2 ​= 25 (m). Der vom Auto B bis zu Zeitpunkt t = 25 (s) zurückgelegte Weg w B (5; 25) kann als Inhalt der Fläche unter dem Graphen von v B in [5; 25] berechnet werden. Dh. w B (5; 25) = ​ 20·2 _ 2 ​= 20 (m). Wegen w B (5; 25) < w A (0; 25) hat das Auto B das Auto A bis zum Zeitpunkt t = 25 (s) noch nicht eingeholt. b) 1) Zum Zeitpunkt t 0 haben beide Autos die gleiche Weglänge zurückgelegt, dh. das Auto B hat das Auto A eingeholt. 2) v A ’(t) = 0,08, v B ’(t) = 0,1, dh. das Auto A beschleunigt mit 0,08m/s 2 und das Auto B mit 0,1m/s 2 . 5 . 03 a) 1) Die Vase C könnte alle Bedingungen erfüllen. Bei Vase A ist a(h) in jeder Höhe h gleich groß, bei Vase B nimmt a(h) nicht stets zu. 2) Für die Seitenlänge a(h) gilt: a(h) = k ·h + d. Aus a(0) = 10 und a(20) = 16 folgt k = 0,3 und d = 10. Also ist a(h) = 0,3·h + 10 und A(h) = [a(h)] 2 = (0,3·h + 10) 2 = 0,09·h 2 + 6h + 100. Der Inhalt A(h) der quadratischen Querschnittsflächen nimmt nicht linear mit der Höhe h zu, weil die Funktion h ¦ A(h) eine quadratische Funktion ist. Zeit t (in s) Geschwindigkeit (in m/s) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 2 3 4 0 v A v B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv