Mathematik verstehen 8, Maturatraining

117 Lösungen 3 . 37 Zum Beispiel: 3 . 38 A und D 3 . 39 2. und 5. Aussage 3 . 40 1. und 5. Aussage 3 . 41 1. und 5. Aussage 3 . 42 (‒ • ; –2] und [4; 10] 3 . 43 N ullstellen: 3 , lokale Extremstellen: 2 , Wendestellen: 1 3 . 44 2. und 5. Aussage 3 . 45 Die Funktion f ist im Intervall ​ 4 0; ​ 2 _ 3 ​ 5 ​ streng monoton fallend , da f’(x) < 0 für alle x * ​ 2 0; ​ 2 _ 3 ​ 3 ​ . 3 . 46 2. und 3. Aussage 3 . 47 1. und 5. Aussage 3 . 48 Die Funktion f hat bei x = 0 eine lokale Maximumstelle , da f’(0) = 0 und f’’(0) < 0 . 3 . 49 Die Funktion f hat keine Wendestelle , da die zweite Ableitung von f konstant 2a ≠ 0 ist . 3 . 50 2. und 4. Aussage 3 . 51 3. und 4. Aussage 3 . 52 Nur die Nullstellen von f’’ können Wendestellen von f sein. Wegen f’’(x) = 6ax + 2b = 0 É x = ‒ ​ b _ 3a ​kann f höchstens eine Wendestelle besitzen. Wegen f’’​ 2 ‒ ​ b _ 3a ​ 3 ​= 0 ? f’’’​ 2 ‒ ​ b _ 3a ​ 3 ​= 6a ≠ 0 ist ‒ ​ b _ 3a ​die einzige Wendestelle von f. 3 . 53 2. und 4. Aussage 3 . 54 b = ‒1, c = 0, f(x) = x 2 – x 3 . 55 Zum Beispiel: 3 . 56 F 3 . 57 3 . 58 Die Funktion z ¦ A(z) ist streng monoton fallend, daher findet man eine Untersumme U und eine Obersumme O so: U = 9,5·0,5 + 9,0·0,5 + … + 6,0·0,5 = 31 (cm 3 ) und O = 10,5·0,5 + 9,5·0,5 + … + 6,5·0,5 = 33 (cm 3 ) Daraus folgt: 31 ª V ª 33 (cm 3 ). 3 . 59 Länge des zurückgelegten Streckenabschnitts = w(0; 4) = ​ : 0 ​ 4 ​ v(t) dt​ Zwischen den Messzeitpunkten wird ein streng monotoner Verlauf der Geschwindigkeit angenommen. Daher wird in jedem der vier Zeitintervalle [0; 1], [1; 2], [2; 3] und [3; 4] die kleinste bzw. größte Geschwindigkeit zu einem Messzeitpunkt erreicht. Daher erhält man eine Untersumme und eine Obersumme O so: U = 9,4·1 + 9,4·1 + 9,3·1 + 9,0·1 = 37,1 (m) und O = 9,6·1 + 9,6·1 + 9,6·1 + 9,3·1 = 38,1 (m). Daraus folgt: 37,1 ª w(0; 4) ª 38,1 (m) 3 . 60 3 . 61 für k = ​ 9 _ 2​ 3 . 62 ​ : ​​ 2· f(x) dx​= ​x​ 2 ​+ c (mit c * R ) ​ : ​​ g(x) dx​= ln( † x † ) + c (mit c * R ) x f(x), F(x) 1 2 3 – 1 1 2 3 4 0 f F x f(x) 2 4 6 – 6 – 4 – 2 2 – 2 0 f ​ : 0 ​ 8 ​ f(x) dx​= 22 ​ : 0 ​ 8 ​ f(x) dx​​ª 22 ​ : 0 ​ 8 ​ f(x) dx​> 22 ​ : 0 ​ 7 ​ f(x) dx​< ​ : 0 ​ 8 ​ f(x) dx​ ​ : 0 ​ 1 ​ f(x) dx​= 1      f(x) = cos(x) D f(x) = sin(x) C f(x) = ​e​ x ​ B f(x) = ​ 1 _ x ​ A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv