Mathematik verstehen 8, Maturatraining

109 Lösungen 1 . 85 Jeder Vektor _ À g, der auf _ À nnormal steht, für den also _ À g· _ À n= 0 gilt, ist ein Richtungsvektor von g. Wählt man zB _ À g= (1 1 9 1 1) und als festen Punkt von g den Ursprung O, so lautet eine Parameterdarstellung von g: X = t · (1 1 9 1 1). 1 . 86 Ein Normalvektor von g ist _ À n= (2 1 ‒1). Eine Gleichung von g ist 2 2 ‒1 3 · 2 x y  3 = 2 2 ‒1 3 · 2 0 1  3 bzw. 2x – y = ‒1. { g: 2x – y = ‒1 h: 3x + y = 6 w x = 1 ? y = 3 w g und h schneiden einander im Punkt (1 1 3). 1 . 87 h 2 , h 3 1 . 88 h 2 = ‒ 4 _ 5 , h 3 = ‒ 2 1 . 89 Die Geraden g und h sind zueinander parallel , da ihre Normalvektoren zueinander parallel sind . 1 . 90 1. und 5. Aussage 1 . 91 b = 21 1 . 92 Wir stellen h so dar: h: 3x – y = ‒ 5. Ein Normalvektor von h ist (3 1 ‒1), ein Richtungsvektor von h ist somit (1 1 3). Für a = 2 sind die Richtungsvektoren von g und h parallel und somit auch g und h parallel. 1 . 93 Zum Beispiel: r = 2, s = 2 1 . 94 h 2 und h 5 1 . 95 Zum Beispiel: h: X = (2 1 ‒ 3) + s · (5 1 1) bzw. h: ‒ x + 5y = ‒17 1 . 96 Setzt man A für X ein, ergibt sich: 2 1 0 1 3 = 2 ‒ 2 3  3 + t · 2 4 1 3 w { 0 = ‒ 2 + t 11 = 3 + 4t w t = 2 w A * g Setzt man B für X ein, ergibt sich: 2 ‒1 6  3 = 2 ‒ 2 3  3 + t · 2 4 1 3 w { ‒1 = ‒ 2 + t w t = 1 6 = 3 + 4t w t = 3 _ 4 w B + g 1 . 97 3. und 5. Aussage 1 . 98 3. Aussage 1 . 99 Die beiden Geraden sind identisch , da die angegebenen Richtungsvektoren parallel sind und der Punkt (3 1 ‒2) auf beiden Geraden liegt . 1 .100 M = 1 _ 2 · (P + Q), t = 1 _ 2 1 .101 2. und 3. Aussage 1 .102 1 .103 Zum Beispiel: (1 1 2), (‒1 1 ‒ 2), (2 1 4), (‒ 2 1 ‒ 4) 1 .104 _ À AB= (1 1 ‒ 2 1 3); (1 1 ‒ 2 1 3) · (5 1 n 2 1 1) = 5 – 2n 2 + 3 = 0 w n 2 = 4 1 .105 1. und 2. Aussage 1 .106 Zum Beispiel: Ein weiterer Normalvektor zu _ À a= (2b 1 1 2b 2 ); ein weiterer Normalvektor zu _ À b= (‒ a 1 1 ‒ a 2 ) 1 .107 _ À AB= (5 I ‒1), _ À BC= (1 1 5), C = B + _ À BC= (6 1 ‒ 2) + (1 1 5) = (7 1 3), D = A + _ À BC= (1 1 ‒1) + (1 1 5) = (2 1 4) 1 .108 φ = tan ‒1 2 d _ w 3 1 .109 sin δ = r _ t , tan φ = v _ r 1 .110 1. und 5. Gleichung 1 .111 1. und 4. Antwort 1 .112 tan φ = 6 _ 4 w φ ≈ 56,31° 1 .113 sin α = 2 _ 3 w α ≈ 41,8° 1 .114 tan α = p _ 100 É p = 100· tan α 1 .115 tan φ = x _ s w s = x _ tan φ 1 .116 cos 50° = 40 _ x w x = 40 __ cos 50° ≈ 62 (cm) 1 .117 2. und 5. Formel 1 .118 Diese Formel kann auch bei Rechtecken eingesetzt werden, da sin90° = 1 . y x 3 2 g 1 0 y x 3 2 g 2 0 y x 0 3 2 g 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv