Mathematik verstehen 8, Maturatraining

105 Typ 2 5 .14 Hoch-, Tief- und Wendepunkte einer Funktionenschar Gegeben sind die Funktionen f k mit f k (x) = k · x · (x – 6) 2 und k > 0. In der nachstehenden Abbildung ist die Funktion f k mit k = 1 dargestellt. Aufgabenstellung: a) 1) Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Graph der Funktion f k den Hochpunkt H k = (2 1 32k), den Tiefpunkt T k = (6 1 0) und den Wendepunkt W k = (4 1 16k) besitzt, und überprüfen Sie dies anhand der Abbildung! 2) Zeigen Sie, dass H k , T k und W k auf einer Geraden liegen und drücken Sie die Steigung dieser Geraden in Abhängigkeit von k aus! b) Der Graph von f k begrenzt mit der x-Achse ein Flächenstück. 1) Drücken Sie den Inhalt A(k) dieses Flächenstücks sowie den Flächeninhalt A D (k) des Dreiecks OT k H k in Abhängigkeit von k aus! 2) Zeigen Sie, dass das Verhältnis A D (k) : A(k) für alle k gleich groß ist! c) Sei nun speziell k = 0,25. 1) Geben Sie die Koordinaten des Hochpunkts, des Tiefpunkts und des Wendepunkts des Graphen von ​f​ 0,25 ​an und skizzieren Sie den Graphen der Funktion f 0,25 im nachstehenden Koordinatensystem! 2) Zeigen Sie, dass in diesem Fall ​ : 0 ​ 8 ​ [f​ ​ 0,25 ​(x) – x] dx = 0​ gilt, und geben Sie eine geometrische Deutung dieser Aussage an! AG-R 2 .1 AG-R 3 .1 AG-R 3 . 2 AN-R 2 .1 AN-R 3 . 3 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 x f 1 (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – 1 10 20 30 40 50 – 10 0 O T 1 W 1 H 1 f 1 x f 0,25 (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – 1 10 20 30 – 10 – 20 – 30 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv